Дипломная работа на тему "Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр"
Главная → Математика → Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной /курсовой работы/диссертации?
МЫ ЗАМОРОЗИЛИ ЦЕНЫ + СКИДКИ!
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Узнать стоимость и оформить заказ
Профессиональная помощь с диссертацией - кликайте сюда!
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л. А.
" " 2005г.
Дипломная работа
Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Исполнитель
студентка группы М-51
Шутова И. Н.
Руководитель
Д., ф-м н., профессор Монах ов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Основные определения и используемые результаты
2. Свойство централизаторов универсальных алгебр
3. Мультикольцо
Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com
Актуальный банк готовых защищённых студентами дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по требуемой вам теме. Высококлассное написание дипломных работ на заказ в Волгограде и в других городах РФ.
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах. Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа группы
централизует подгруппу
тогда и только тогда, когда конгруэнции, индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.
Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т. е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом
, когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.
Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.
Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.
Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].
Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара , где
- непустое множество,
- (возможно пустое) множество операций на
.
Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре называется всякое отношение эквивалентности на
, являющееся подалгеброй алгебры
.
Определение 1.3. [1] Если и
- алгебры сигнатуры
, то отображение
называется гомоморфизмом, если для любой
-арной операции
и любых элементов
выполняется равенство:
Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Теорема 1.1. [1] Пусть - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество
является конгруэнцией на алгебре и называется ядром гомоморфизма
Теорема 1.2. [1] Пусть - гомоморфное наложение, тогда
.
Теорема 1.3. [1] Пусть - конгруэнции на алгебре
и
, тогда
.
Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры
называется многообразием, если
замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.
Многообразие называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из
попарно перестановочны.
Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция
, что во всех алгебрах из
справедливы тождества
Определение 1.5. [3] Пусть и
- факторы алгебры
. Тогда они называются:
1) перспективными, если либо и
, либо
и
;
2) проективными, если в найдутся такие факторы
, что для любого
факторы
и
перспективны.
Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры , принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в
равны.
Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества не пуст, то
содержит максимальные элементы.
2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если
- конгруэнция на алгебре
, то
- класс эквивалентности алгебры
по конгруэнции
,
- факторалгебра алгебры
по конгруэнции
. Если
и
- конгруэнции на алгебре
,
, то конгруэнцию
на алгебре
назовем фактором на
. Очевидно, что
тогда и только тогда, когда
.
или
и
или
- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры
.
Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1. Пусть и
- конгруэнции на алгебре
. Тогда
централизует
(записывается:
), если на
существует такая конгруэнция
, что:
1) из всегда следует
;
2) для любого элемента всегда выполняется
3) если , то
.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть . Тогда:
существует единственная конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1;
;
если
, то
.
Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре
существует такая единственная наибольшая конгруэнция
, что
. Эту конгруэнцию
будем называть централизатором конгруэнции
в
и обозначать
.
Лемма 2.2. Пусть - конгруэнции на алгебре
,
,
,
. Тогда справедливы следующие утверждения:
;
, где
;
если,
, либо
, либо
, то всегда
;
из
всегда следует
.
Доказательство. 1). Очевидно, что - конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1
.
2). - конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. Значит,
.
3). Пусть . Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что
, для любых элементов
. Тогда получим
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, , где
- мальцевский оператор. Тогда
, т. е.
. Так как
и
, то
. Таким образом
. Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию
, является конгруэнцией на
.
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции
на
Доказательство. Обозначим и определим на алгебре
бинарное отношение
следующим образом:
тогда и только тогда, когда , где
,
. Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что
- конгруэнция на алгебре
, причем
.
Пусть , т. е.
,
. Тогда
и, значит,
.
Пусть, наконец, имеет место и
. Тогда справедливы следующие соотношения:
Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем:
. Из леммы 2.2 следует, что
. Так как
и
, то
. Значит,
. Но
, следовательно,
. Итак,
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть и
- конгруэнции на алгебре
,
и
- изоморфизм, определенный на
. Тогда для любого элемента
отображение
определяет изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором
. В частности,
.
Доказательство. Очевидно, что - изоморфизм алгебры
на алгебру
, при котором конгруэнции
,
изоморфны соответственно конгруэнциям
и
. Так как
, то определена конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм
алгебры
на алгебру
индуцирует в свою очередь изоморфизм
алгебры
на алгебру
такой, что
для любых элементов
и
, принадлежащих
. Но тогда легко проверить, что
- конгруэнция на алгебре
изоморфная конгруэнции
. Это и означает, что
. Лемма доказана.
Если и
- факторы на алгебре
такие, что
, то конгруэнцию
обозначим через
и назовем централизатором фактора
в
.
Напомним, что факторы и
на алгебре
называются перспективными, если либо
и
, либо
и
.
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1. Пусть - конгруэнции на алгебре
. Тогда:
если
, то
;
если
, то
;
;
если
,
и факторы
,
перспективны, то
если
- конгруэнции на
и
, то
Доказательство. 1). Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и
, то
.
2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что
.
Пусть - изоморфизм
. Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно, .
3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и
на алгебре
имеет место равенство:
Покажем вначале, что
Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре
существует такая конгруэнция
, что выполняются следующие свойства:
а) если , то
;
б) для любого элемента ,
;
в) если и
, то
.
Построим бинарное отношение на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда и
,
. Покажем, что
- конгруэнция на
. Пусть
,
. Тогда
и
,
. Так как
- конгруэнция, то для любой
-арной операции
имеем:
Очевидно, что (,
и
,
. Следовательно,
. Очевидно, что для любой пары
. Значит,
. Итак, по лемме 2.3,
- конгруэнция на
. Покажем теперь, что
удовлетворяет определению 2.1, т. е.
централизует
.
Пусть
Тогда и
. Так как
,
и
, то
. Следовательно,
удовлетворяет определению 2.1.
Если , то
, значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда . Так как
и
, то
, следовательно,
. Из (2) следует, что
, а по условию
. Значит,
и поэтому
. Тем самым показано, что конгруэнция
удовлетворяет определению 2.1, т. е.
централизует
. Докажем обратное включение. Пусть
. Тогда на алгебре
определена конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение
на алгебре
следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и ,