Дипломная работа на тему "Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр"
Главная → Математика → Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной работы?
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата;
- антиплагиат до 90%;
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
Чтобы узнать стоимость, кликайте на кнопку ниже
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии
Допущена к защите
Зав. кафедрой Шеметков Л. А.
" " 2005г.
Дипломная работа
Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Исполнитель
студентка группы М-51
Шутова И. Н.
Руководитель
Д., ф-м н., профессор Монах ов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение
1. Основные определения и используемые результаты
2. Свойство централизаторов универсальных алгебр
3. Мультикольцо
Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com
Актуальный банк готовых защищённых студентами дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по требуемой вам теме. Высококлассное написание дипломных работ на заказ в Волгограде и в других городах РФ.
Заключение
Список использованных источников
Введение
В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах. Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа 
группы централизует подгруппу тогда и только тогда, когда конгруэнции, индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.
Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т. е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.
В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.
Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.
Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.
Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.
Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].
Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара , где - непустое множество, - (возможно пустое) множество операций на .
Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре называется всякое отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй алгебры .
Определение 1.3. [1] Если и - алгебры сигнатуры , то отображение называется гомоморфизмом, если для любой -арной операции и любых элементов выполняется равенство:
Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.
Теорема 1.1. [1] Пусть - гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество
является конгруэнцией на алгебре и называется ядром гомоморфизма
Теорема 1.2. [1] Пусть - гомоморфное наложение, тогда .
Теорема 1.3. [1] Пусть - конгруэнции на алгебре и , тогда .
Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр сигнатуры называется многообразием, если замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.
Многообразие называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из попарно перестановочны.
Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция , что во всех алгебрах из справедливы тождества
Определение 1.5. [3] Пусть и - факторы алгебры . Тогда они называются:
1) перспективными, если либо и , либо и ;
2) проективными, если в найдутся такие факторы , что для любого факторы и перспективны.
Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры , принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в равны.
Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества не пуст, то содержит максимальные элементы.
2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр
Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие . Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если - конгруэнция на алгебре , то - класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , - факторалгебра алгебры по конгруэнции . Если и - конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . Очевидно, что тогда и только тогда, когда . или и или - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .
Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1. Пусть и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:
1) из всегда следует ;
2) для любого элемента всегда выполняется
3) если , то .
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть . Тогда:
существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1;
;
если , то .
Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать .
Лемма 2.2. Пусть - конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:
;
, где ;
если, , либо
, либо
, то всегда ;
из всегда следует .
Доказательство. 1). Очевидно, что - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 .
2). - конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .
3). Пусть . Тогда
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор такой, что , для любых элементов . Тогда получим
Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть . Тогда справедливы следующие соотношения:
Следовательно, , где - мальцевский оператор. Тогда , т. е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры , содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть . Тогда для любой конгруэнции на
Доказательство. Обозначим и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:
тогда и только тогда, когда , где , . Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре , причем .
Пусть , т. е. , . Тогда и, значит, .
Пусть, наконец, имеет место и . Тогда справедливы следующие соотношения:
Применяя мальцевский оператор к этим трем соотношениям, получаем: . Из леммы 2.2 следует, что . Так как и , то . Значит, . Но , следовательно, . Итак, и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5. Пусть и - конгруэнции на алгебре , и - изоморфизм, определенный на . Тогда для любого элемента отображение определяет изоморфизм алгебры на алгебру , при котором . В частности, .
Доказательство. Очевидно, что - изоморфизм алгебры на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям и . Так как , то определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм алгебры на алгебру такой, что для любых элементов и , принадлежащих . Но тогда легко проверить, что - конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции . Это и означает, что . Лемма доказана.
Если и - факторы на алгебре такие, что , то конгруэнцию обозначим через и назовем централизатором фактора в .
Напомним, что факторы и на алгебре называются перспективными, если либо и , либо и .
Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1. Пусть - конгруэнции на алгебре . Тогда:
если , то ;
если , то ;
;
если , и факторы , перспективны, то
если - конгруэнции на и , то
Доказательство. 1). Так как конгруэнция централизует любую конгруэнцию и , то .
2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что , а в силу леммы 2.4 получаем, что .
Пусть - изоморфизм . Обозначим
По лемме 2.5 , а по определению
Следовательно, .
3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций и на алгебре имеет место равенство:
Покажем вначале, что
Обозначим . Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:
а) если , то ;
б) для любого элемента , ;
в) если и , то .
Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:
Очевидно, что (, и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т. е. централизует .
Пусть
Тогда и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.
Если , то , значит,
Пусть, наконец, имеет место (1) и
Тогда . Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т. е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:
тогда и только тогда, когда
и ,
