Дипломная работа на тему "Сингулярные интегралы"

ГлавнаяМатематика → Сингулярные интегралы



Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной работы?

Для вас:

- только проверенные авторы;

- работа со всеми системами антиплагиата;

- антиплагиат до 90%;

- соблюдение сроков;

- бесплатные доработки;

- ведение до защиты.

Чтобы узнать стоимость, кликайте на кнопку ниже

Узнать стоимость


Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Сингулярные интегралы.

Выполнила:

студентка V ку рса

математического факультета

Сколова Ирина Юрьевна

____________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

____________________

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Высококлассное написание дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Новосибирске и в других городах РФ.

Подгорная Ирина Иссаковна

____________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.

« » _______________

Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.

« » _______________

Киров 2005

Оглавление

Введение………………………………………………………………………...с. 3

§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11

§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18

§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23

Литература……………………………………………………………………...с. 27


Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.

Определение. Если в точке x будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то точка x называется точкой Лебега функции f (t).

Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если, в частности, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., h)=E∙[Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-h, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+h]. Это тоже измеримое множество.

Предел отношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при h→0 называется плотностью множества E в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и обозначается через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если существует такое измеримое множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. точкой плотности, что f (x) вдоль E непрерывна в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то говорят, что f (x) аппроксимативно непрерывна в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε>0 отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оказывается

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (3)

то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна.

Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Система функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.

Определение. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ортонормальная система и f (x) некоторая функция из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называются коэффициентами Фурье функции f (x) в системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ряд Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется рядом Фурье функции f (x) в системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..


§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.

Рассмотрим функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) можно образовать величину

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2)

Докажем, что во всякой точке x (0<x<1), в которой функция f(t) непрерывна, будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Для этого прежде всего отметим, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (4)

Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к нулю разность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем произвольное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и найдем такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Считая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., представим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оценивается следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В интеграле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не зависит от n. Аналогично Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что при достаточно больших n будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.

Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: при больших значениях n те значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x. Но около точки x функция f (t) почти равна f (x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t) на f (x), т. е. он почти равен интегралу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и, в силу (4), почти равен f (x).

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обладающая подобными свойствами, носит название ядра.

Определение. Пусть функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (n=1, 2, …), заданная в квадрате (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при условии, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Интеграл вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, называется сингулярным интегралом.

В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со значением функции

f (t) в точке x. Так как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на величине Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то необходимо потребовать, чтобы значение f (x) функции f (t) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t), и т. п.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., … Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (5)

и если при всяком c (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (6)

то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f (t), справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (7)

Доказательство. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (8)

Рассмотрим непрерывную функцию f (t), и для наперед заданного Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разложим [a, b] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t) было меньше, чем ε.

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (9)

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что первая сумма из (9) не больше, чем (b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. окажется меньшей, чем ε. Для этих n будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).

Пусть f (t) измеримая ограниченная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε. Значит, для этих n будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.

Пусть f (t) произвольная суммируемая функция.

Возьмем ε>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого измеримого множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с мерой me<δ было Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это возможно по

Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно считать, что на множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция g(t) равна нулю.

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при достаточно больших n будет меньше ε, и при этих n окажется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и доказывает теорему.

Пример. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом доказана

Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции

f (t) будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В частности, коэффициенты Фурье Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю.

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

Во всем дальнейшем будем считать, что ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет смысл при любой суммируемой функции f (t).

Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<b) и любом δ>0 ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ],

[x+δ, b] и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x, справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, то ,

и достаточно обнаружить, что

.

С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x.

Тогда при любом n Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но каждый из интегралов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к нулю, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.

И для этих n окажется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b], интеграл

(2)

существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g*(t), определив ее равенствами

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. g(t), если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

g*(t)=

0, если t=b.

Доказав теорему для g*(t), мы затем смогли бы всюду заменить g*(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.

Пусть a<α<b. На сегменте [α, b] функция g(t) ограничена, и интеграл

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

заведомо существует. Если положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

откуда, после интегрирования по частям, находим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a] выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и следовательно

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (5)

а так как g(t) убывает, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (6)

Значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. С другой стороны, функция g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда, учитывая (6), следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сопоставляя все сказанное, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (7)

Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α<β<b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t)=1 в (3) достигается равенство.)

Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте

[x, b].

Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и достаточно проверить, что .

Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[a, x] и [x, b], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

что возможно, так как f (t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда по предыдущей лемме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что .

Таким образом,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С другой стороны, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на сегменте [x+δ, b] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является ядром. Следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на сегменте [x+δ, b] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При этих n окажется

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, т. к. при α<x<β

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эта функция положительна, и она возрастает при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и убывает при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит, для всякой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла.

Определение. Функция Ψ(t, x) называется горбатой мажорантой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и если Ψ(t, x) при фиксированном x возрастает на сегменте [a, x] и убывает на сегменте [x, b].

Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при каждом n имеет такую горбатую мажоранту Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где K(x) зависит лишь от x, то для любой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Достаточно доказать, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По лемме имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С другой стороны, в сегменте [x+δ, b] последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю, т. к. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно для достаточно больших n будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При этих n окажется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Теорема доказана.


§3. Приложения в теории рядов Фурье

Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В частности, если речь идет о тригонометрической системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1)

то рядом Фурье функции f (x) служит ряд

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2)

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Во введении предполагали, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функции f (x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.

Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, в силу (3), Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=0, 1, …, n-1),

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это дает Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда следует равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (4)

Пользуясь этой формулой, придадим сумме Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (5)

Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.

Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (6)

В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Для исследования Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. преобразуем ее с помощью формулы (5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (7)

Действительно, складывая равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=0, 1, …, n-1),

находим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда и следует (7).

С помощью (7) получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (8)

Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.

Для этого рассмотрим функцию f (t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=1, 2, …).

Значит, для этой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (n=0, 1, 2, …), а следовательно и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но выражая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегралом Фейера, получим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (9)

Заметив это, рассмотрим точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и, следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где A(x, α) не зависит от n.

Отсюда следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро.

Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (10)

С другой стороны, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (11)

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может оказаться и больше, чем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но это несущественно. Если положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из (10) и (11) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть горбатая мажоранта ядра Фейера.

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n.

Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы

Д. К. Фаддеева. Отсюда следует

Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [-π, +π] будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (12)

Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t), лежащих внутри [-π, +π].

Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива следующая

Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции

f (x) равны нулю, то f (x) эквивалентна нулю.

В самом деле, в этом случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, следовательно, f (x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.

Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для этого заметим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§4. Сингулярный интеграл Пуассона

Пусть точка x есть точка d суммируемой функции f (t), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f (t) равна f (x) (причем Рисунок убран из раб
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть работы


Просмотров: 971

Другие работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>