Дипломная работа на тему "Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений"
Главная → Математика → Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
Страшно ошибиться с выбором?
МЫ ЗАМОРОЗИЛИ ЦЕНЫ + СКИДКИ!
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Узнать стоимость и оформить заказ
Профессиональная помощь с диссертацией - кликайте сюда!
Содержание
Введение. 3
§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу. 5
§2. Основные теоремы операционного исчисления. 8
2.1 Свертка оригиналов. 8
2.1 Свойство линейности. 9
2.2 Теорема подобия. 9
2.3 Теорема запаздывания. 10
2.4 Теорема смещения. 10
2.5 Теорема упреждения. 11
2.6 Умножени е оригиналов. 11
2.7 Дифференцировани е оригинала. 11
2.8 Дифференцирование изображения. 12
2.9 Интегрировани е оригинала. 12
2.10 Интегрирование изображения. 13
§3. Изображения простейших функций. 13
§4. Отыскани е оригинала по изображению.. 15
4.1 Разложение на простейшие дроби. 15
4.2. Первая теорема разложения. 16
§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 18
Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com
Актуальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам скачать любые проекты по желаемой вами теме. Высококлассное написание дипломных проектов на заказ в Воронеже и в других городах России.
Приложение. 24
ВведениеОперационное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.
Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.
Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.
Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.
Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.
Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:
1) таблица оригиналов и соответствующих им изображений;
2) знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.
§1. Оригиналы и изображения функций по ЛапласуОпределение 1.Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:
1) f (t) 0 , при t 0
2) f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции 
, при t 0 , где M 0, s0 0 — некоторые действительные постоянные, s0 называют показателем роста функции f(t).
3) На любом конечном отрезке a, bположительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.
a) ограничена,
b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,
c) имеет конечное число экстремумов.
Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.
Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда
Если функция удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т. е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.
Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида
,
где – комплексный параметр.
Теорема.
Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости (то есть изображение F(p) заведомо определено при ), где s0 – показатель роста f (t).
∆ При получаем:
, но по свойству модулей .
Заметим, что по определению оригинала
.
Вычислим этот интеграл:
То есть получаем что F(p) существует при
▲
Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:
при
Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением
(1)
Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:
или (2)
Сверткой оригиналов и называется функция
.
Функции f (t) и g(t) называются компонентами свертки.
Найдем для примера свертку произвольного оригинала и единичной функции Имеем .
Так как при то
. (2.1.1)
Теорема 1. Если и, то
.
∆
Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем
Воспользуемся определением свертки:
Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим
.
Введем вместо t новую переменную . Тогда
что и требовалось доказать. ▲
Свойство линейности.Для любых комплексных постоянных и :
∆
Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.
Домножим равенство на α:
Так как , то , то есть
2.2 Теорема подобия.
Для любого постоянного a> 0:
Умножение аргумента оригинала на положительное число приводит к делению изображения и его аргумента на это число .
Положим αt=u. Тогда .
Таким образом, при t=0 получаем u=0, при получаем и
для t>τ>0
Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на ept.
2.4 Теорема смещения.Для a >0 имеет место соотношение:
∆
Из определения изображения имеем:
При а > 0 имеет место соотношение:
Если и – оригиналы и , то
(2.7.1)
В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь
.
Тогда по теореме 1
.
Отсюда , что и требовалось доказать.
Применив формулу (2.7.1) дважды, получим
и т. д. В частности, если , то , т. е. в этом случае дифференцировани е оригинала сводится к умножению его изображения на p.
Если , то , то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).
Обобщение:
Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства получим:
Если , то , то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.
Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и будет принадлежать множеству оригиналов.
Пусть и . Из видно, что
1)
2) .
Применим свойство дифференцирования оригинала к , и в силу последних двух равенств получим
,
А отсюда .
Но, по условию теоремы, . Следовательно, или .
А отсюда и из соотношений и следует, что .
Если и принадлежит множеству оригиналов, то .
Единичная функция Хевисайда.
Имеем:
Так как при , то .
Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим
.
Экспонента. По теореме смещения
.
Гиперболические и тригонометрические функции.
В силу линейности преобразования Лапласа имеем
;
;
;
Степенная функция с натуральным показателем.
Положим , где . Тогда при
.
При , поэтому
Отсюда
.
Так как , то
Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.
§4. Отыскани е оригинала по изображениюДля нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина
.
Если функция f(t) является оригиналом, т. е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:
Формула обращения Римана-Меллина дает выражени е оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s0.
Вычислени е оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.
4.1 Разложение на простейшие дроби.Если есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).
Пример 1.Найти оригинал по изображению.
Разложим функцию на сумму дробей:
Найдем методом неопределенных коэффициэнтов А, В, С:
Тогда
Воспользуемся приложением:
В итог е оригинал равен
Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням , т. е.
(причем этот ряд сходится к F( p) при ), то оригинал имеет вид
(причем ряд сходится при всех значениях t ).
§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиРассмотрим линейное дифференциальное уравнение
где ak –действительные числа.
Требуется найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
x(0)=x0, x`(0)=x`0, …, x(n-1)(0)=x0(n-1)
где x0, x`0, …, x0(n-1) – заданные числа.
Будем предполагать, что искомая функция x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.
Пусть . По формулам дифференцирования оригиналов
Перейдем от данного дифференциального уравнения к уравнению в изображениях
Перепишем его так , где , а
Находим так называемое операторное решение уравнения
Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.
7. Примеры
Пример 1.
Найти решение дифференциального уравнения x(t)4x(t)5x(t)0,
удовлетворяющее условиям x(0) 0, x(0) 1.
Решение. Запишем уравнение в изображениях
Вынесем Х за скобки
Найдем оригинал используя выведенные ранее значения в таблице приложения:
искомое решение -
Пример 2.
Решить дифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.
Решение
Пример 3.
Решить дифференциальное уравнение y`+y=et, y(0)=0.
Решение
Перейдем к уравнению
Пример 4.
Найти решение уравнения при начальных условиях y(0)=-1, y`(0)=0.
Решение
Пусть , тогда , .
Тогда
- изображающее уравнение. Отсюда
Оригинал для правого слагаемого известен , а оригинал для удобнее найти по теореме свертывания.
Известно, что , поэтому
Так как , то
Таким образом,
Пример 5.
Найти общее решение уравнения .
Решение
Для получения общего решения начальные условия зададим так:
y(0)=C1, y`(0)=C2
Если , то ,
И изображение уравнения имеет вид
Отсюда
Согласно приложению
Собирая оригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p), получаем искомое решение:
если .
Операционный метод может быть применён для решения нестационарных задач математической физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x, t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.
Для уравнения теплопроводности будем решать краевую задачу:
a2=const, u(x,0)=φ(x) - начальные условия и u(0,t)=ψ1(t), u(l,t)=ψ2(t), 0 ≤ x ≤ l – краевые условия.
Пусть все функции являются оригинальными. Обозначим
- изображение по Лапласу.
Тогда
Тогда краевые условия:
Уравнение в изображениях:
1. Старков В. Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.
2. Белослюдова В. В., Дронсейка И. П.Специальные разделы математики. Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной. Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей 050702, 050716 / ВКГТУ. – Усть – Каменогорск, 2006.
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., 2005
4. Ершова В. В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. Под ред. В. И. Азаматовой. Минск, 1976
ПриложениеТаблица оригиналов и их изображений.
--------------------------------------------------Оригинал
|Изображение
|Оригинал
|Изображение
|---------------------------------------------------------
1 |
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
t |
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
Здесь опубликована для ознакомления часть работы "Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш преподаватель!
