Дипломная работа на тему "Показательно-степенные уравнения и неравенства"
Главная → Математика → Показательно-степенные уравнения и неравенства
Страшно ошибиться с выбором?
МЫ ЗАМОРОЗИЛИ ЦЕНЫ + СКИДКИ!
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Узнать стоимость и оформить заказ
Профессиональная помощь с диссертацией - кликайте сюда!
белгородский государственный университет
КАФЕДРА алгебры, теории чисел и геометрии
Тема работы: Показательно-степенные уравнения и неравенства.
Дипломная работа студента физико-математического факультета
Научный руководитель:
______________________________
Рецензент : _______________________________
________________________
Белгород. 2006 г.
Содержание.
Введение | 3 |
---------------------------------------------------------
Тема I.
| Анализ литературы по теме исследования. |---------------------------------------------------------
Тема II.
| Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств. |---------------------------------------------------------
I.1.
| Степенная функция и ее свойства. |---------------------------------------------------------
I.2.
| Показательная функция и ее свойства. |---------------------------------------------------------
Тема III.
| Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры. |---------------------------------------------------------
Тема IV.
| Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры. |---------------------------------------------------------
Тема V.
| Опыт проведения занятий со школьниками по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств». |---------------------------------------------------------
|
V.1.
Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com
Актуальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам написать любые проекты по необходимой вам теме. Оригинальное выполнение дипломных проектов на заказ в Новокузнецке и в других городах РФ.
| Обучающий материал. |---------------------------------------------------------
|
V.2.
| Задачи для самостоятельного решения. |---------------------------------------------------------
Заключение.
| Выводы и предложения. |---------------------------------------------------------
Список используемой литературы.
|---------------------------------------------------------
Приложения
|--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
Введение.
«…радость видеть и понимать…»
А. Эйнштейн.
В этой работе я попыталась передать свой опыт работы учителем математики, передать хоть в какой-то степени свое отношение к ее преподаванию — человеческому делу, в котором удивительным образом переплетаются и математическая наука, и педагогика, и дидактика, и психология, и даже философия.
Мне довелось работать с малышами и выпускниками, с детьми, стоящими на полюсах интеллектуального развития: теми, кто состоял на учете у психиатра и кто действительно интересовался математикой
Мне довелось решать множество методических задач. Я попытаюсь рассказать о тех из них, которые мне удалось решить. Но еще больше — не удалось, да и в тех, что вроде бы решены, появляются новые вопросы.
Но еще важнее самого опыта — учительские размышления и сомнения: а почему он именно такой, этот опыт?
И лето нынче на дворе иное, и разворот образования стал поинтереснее. «Под юпитерами» нынче не поиски мифической оптимальной системы обучения «всех и всему», а сам ребенок. Но тогда — с необходимостью — и учитель.
В школьном курсе алгебры и начал анализа, 10 – 11 класс, при сдаче ЕГЭ за курс средней школы и на вступительных экзаменах в ВУЗы встречаются уравнения и неравенства, содержащее неизвестное в основании и показатели степени – это показательно-степенные уравнения и неравенства.
В школе им мало уделяется внимания, в учебниках практически нет заданий на эту тему. Однако, овладение методикой их решения, мне кажется, очень полезным: оно повышает умственные и творческие способности учащихся, перед нами открываются совершенно новые горизонты. При решении задач ученики приобретают первые навыки исследовательской работы, обогащается их математическая культура, развиваются способности к логическому мышлению. У школьников формируются такие качества личности как целеустремленность, целеполагание, самостоятельность, которые будут полезны им в дальнейшей жизни. А также происходит повторение, расширение и глубокое усвоение учебного материала.
Работать над данной темой дипломного исследования я начала еще с написания курсовой. В ходе, которой я глубже изучила и проанализировала математическую литературу по этой теме, выявила наиболее подходящий метод решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Он заключается в том, что помимо общепринятого подхода при решении показательно-степенных уравнений (основание берется больше 0) и при решении тех же неравенств (основание берется больше 1 или больше 0, но меньше 1), рассматриваются еще и случаи, когда основания отрицательны, равны 0 и 1.
Анализ письменных экзаменационных работ учащихся показывает, что неосвещенность вопроса об отрицательном значении аргумента показательно-степенной функции в школьных учебниках, вызывает у них ряд трудностей и ведет к появлению ошибок. А также у них возникают проблемы на этапе систематизации полученных результатов, где могут в силу перехода к уравнению – следствию или неравенству – следствию, появиться посторонние корни. С целью устранения ошибок мы используем проверку по исходному уравнению или неравенству и алгоритм решения показательно-степенных уравнений, либо план решения показательно-степенных неравенств.
Чтобы учащиеся смогли успешно сдать выпускные и вступительные экзамены, я считаю, необходимо уделять больше внимания решению показательно-степенных уравнений и неравенств на учебных занятиях, либо дополнительно на факультативах и кружках.
Таким образом тема, моей дипломной работы определена следующим образом: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
Целями настоящей работы являются:
1. Проанализировать литературу по данной теме.
2. Дать полный анализ решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Привести достаточное число примеров по данной теме разнообразных типов.
4. Проверить на урочных, факультативных и кружковых занятиях как будет восприниматься предлагаемые приемы решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Дать соответствующие рекомендации к изучению этой темы.
Предметом нашего исследования является разработка методики решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
Цель и предмет исследования потребовали решения следующих задач:
1. Изучить литературу по теме: «Показательно-степенные уравнения и неравенства».
2. Овладеть методиками решения показательно-степенных уравнений и неравенств.
3. Подобрать обучающий материал и разработать систему упражнений разных уровней по теме: «Решение показательно-степенных уравнений и неравенств».
В ходе дипломного исследования было проанализировано более 20 работ, посвященных применению различных методов решения показательно-степенных уравнений и неравенств. Отсюда получаем.
План дипломной работы:
Введение.
Глава I. Анализ литературы по теме исследования.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
II.2. Показательная функция и ее свойства.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры.
Глава IV. Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры.
Глава V. Опыт проведения занятий со школьниками по данной теме.
1. Обучающий материал.
2. Задачи для самостоятельного решения.
Заключение. Выводы и предложения.
Список использованной литературы.
В I главе проанализирована литература по теме: «Решения показательно-степенных уравнений и неравенств».
В II главе теоретические сведения о степенной и показательной функциях и применение их свойств при решении показательно-степенных уравнений и неравенств, выявляются недостатки в понимании учащимися отрицательного аргумента показательно-степенной функции.
В III главе «Решение показательно-степенных уравнений, алгоритм и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных уравнений, рассмотрен алгоритм решения показательно-степенных уравнений и примеры, и примеры в которых он применяется.
В IV главе «Решение показательно-степенных неравенств, план решения и примеры» приведен полный анализ решения показательно-степенных неравенств и рассмотрен план решения показательно-степенных неравенств и примеры, в которых он применяется.
В V главе рассматривается методика обучения учащихся решению показательно-степенных уравнений и неравенств, приведен обучающий материал, разработана система заданий с учетом разного уровня сложности, которая содержит в себе задания используемые на уроке, задания для самостоятельного решения.
Глава II. Функции и их свойства, используемые при решении показательно-степенных уравнений и неравенств.
Для решения показательно-степенных уравнений и неравенств необходимо знать свойства показательной и степенной функции и уметь ими пользоваться. В этой главе мы рассмотрим данный вопрос.
II.1. Степенная функция и ее свойства.
Степенная функция с натуральным показателем. Функция у = хn, где n — натуральное число, называется степенной функцией с натуральным показателем. При n = 1 получаем функцию у = х, ее свойства:
Прямая пропорциональность. Прямой пропорциональностью называется функция, заданная формулой у = kxn, где число k называется коэффициентом пропорциональности.
Перечислим свойства функции у = kx.
1) Область определения функции — множество всех действительных чисел.
2) y = kx — нечетная функция (f( — х) = k ( — х)= — kx = -k(х)).
3) При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.
График (прямая) изображен на рисунке II.1.
Рис. II.1.
При n=2 получаем функцию y = х2, ее свойства:
Функция у —х2. Перечислим свойства функции у = х2.
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) у = х2— четная функция (f( — х) = ( — x)2 = x2 = f (х)).
3) На промежутке [0; + οο) функция возрастает.
В самом деле, если , то , а это и означает возрастание функции.
4) На промежутке (—оо; 0] функция убывает.
В самом доле, если ,то — х1 > — х2 > 0, а потому
(—х1)2> ( — х2)2, т. е. , а это и означает убывание функции.
Графиком функции y=х2 является парабола. Этот график изображен на рисунке II.2.
Рис. II.2.
При n = 3 получаем функцию у = х3, ее свойства:
1) Область определения функции — вся числовая прямая.
2) y = х3 — нечетная функция (f ( — х) = { — x)2 = — х3 = — f (x)).
3) Функция y = x3 возрастает на всей числовой прямой. График функции y = x3 изображен на рисунке. Он называется кубической параболой.
График (кубическая парабола) изображен на рисунке II.3.
Рис. II.3.
Пусть n— произвольное четное натуральное число, большее двух:
n = 4, 6, 8,... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х2. График такой функции напоминает параболу у = х2, только ветви графика при |n| >1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше n.
Пусть n — произвольное нечетное число, большее трех: n = = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция у = хn обладает теми же свойствами, что и функция у = х3. График такой функции напоминает кубическую параболу (только ветви графика тем круче идут вверх, вниз, чем больше n. Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции у = хn тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше n.
Степенная функция с целым отрицательным показателем. Рассмотрим функцию у = х-n, где n — натуральное число. При n = 1 получаем у = х-n или у = Свойства этой функции:
График (гипербола) изображен на рисунке II.4.
Пусть n — нечетное число, большее единицы,
n = 3, 5, 7, ... . В этом случае функция у = х-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция у = График функции у = х-n (n = 3, 5, 7, ...) напоминает
Рис. II.4.
график функции у = . Пусть n — четное число, например п = 2. Перечислим некоторые свойства функции у = х-2, т. е. функции y = .
1) Функция определена при всех х0.
2) y = четная функция.
3) = убывает на (0; +оо) и возрастает на (—оо;0).
Теми же свойствами обладают любые функции вида y = х-n при четном n, большем двух.
График функции у = изображен на рисунке. Аналогичный вид имеет график функции , если n = 4, 6, ... .
Функции вида , , обладают теми же свойствами, как и функция .
Степенная функция с положительным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = хr, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.
1) Область определения — луч [0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = хr возрастает на [0; +оо).
Рис. II.5.
На рисунке II.5. изображен график функции Он заключен между графиками функций у = х2 и у = х3, заданных на промежутке [0; + оо).
Подобный вид имеет график любой функции вида у = хr, где .
На том же рисунке изображен график функции . Подобный вид имеет график любой степенной функции у = хr, где .
Степенная функция с отрицательным дробным показателем. Рассмотрим функцию у = х-r, где r — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.
1) Область определения — промежуток (0; + оо).
2) Функция ни четная, ни нечетная.
3) Функция у = х-r убывает на (0; +оо).
Построим для примера график функции у — х таблицу значений функции:
Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (см. рис. II.6.).
Подобный вид имеет график любой функции
у = хr, где r — отрицательная дробь.
Рис. II.6.
II. 2. Показательная функция и ее свойства.
Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной.
1.Функция у = ах при а>1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.7.):
а) область определения — множество всех действительных чисел;
б) множество значений — множество всех положительных чисел;
Рис. II.7.
в) функция возрастает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если x > 0, то аx > 1;
е) если х < 0, то 0 < ах < 1.
3. Функция у = ах при 0<а< 1 обладает следующими свойствами (см. рис. II.8.):
а) область определения D(f)=R;
б) множество значений E(f)=R+;
в) функция убывает;
г) при х = 0 значение функции равно 1;
д) если х > 0, то 0 < ах < 1;
е) если х < 0, то ах > 1.
Рис. II.8.
Глава III. Решение показательно-степенных уравнений, алгоритмы и примеры.
Так называются уравнения вида , где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.
Можно указать совершенно четкий алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей То - есть все корни уравнения будут корнями уравнения f(x) = g(x) Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x) и
а(х)g(x) теряют смысл. То - есть при переходе от к f(x) = g(x) (при и могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.
Итак, для полного решения уравнения рассматриваем случаи:
1. а(х) = О . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g{x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет
2. а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.
3. а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные) , то это решение. В противном случае, нет
4. При и решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.
Примеры решения показательно-степенных уравнений.
Пример №1.
Решение
1) x – 3 = 0, x = 3. т. к. 3 > 0, и 32 > 0, то x1 = 3 - это решение.
2) x – 3 = 1, x2 = 4.
3) x – 3 = -1, x = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 1.
4) x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.
Пример №2.
Решение
По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.
1) x – 1 = 0 или x = 1, = 0, 00 это не решение.
2) x – 1 = 1 x 1 = 2.
3) x – 1 = -1 x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.
4) =
Д = (-2) – 4*1*5 = 4 – 20 = -16 – корней нет.
Ответ: 2.
Пример №3.
Решение
1) = 0 решения нет, т. к. 0 в любой степени не равен 1.
2) ≠ 0 т. е. . Тогда можем записать:
3) = 1. = 0
и
4) = -1 х = 0 или х = 1. При х = 0 = -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение. При х = 1 (-1)0 = (-1)0. Это решение х3 = 1.
5) ≠ 0 и ≠ ±1 имеем = 0, = -1 или
= 1. Эти корни уже учтены.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №4.
Решение
1) При решений нет, т. к. 0 в любой степени не равен 1.
при ,
2) , .
3) , .
, (-1)0 = (-1)0 это решение.
.
4) и
или
При (-4)0 = 1 – верно.
Ответ: -1, 2, 4.
Пример №5.
Решение
1) , , это не решение.
2) , и .
3) отрицательных значений основание не имеет. При и , , ,
х = 5, 315 = 315 – верно. х3 = 5,
х = 2 – не является решением.
Ответ: 1,3,5.
Пример №6
Решение
1) не дает решений, т. к. 0 ни в какой степени не равен 1.
2) . или .
3) отрицательных значений не имеет.
4) При ,
, т. к. , то . Проверка 20 = 1 – верно.
Ответ: -1, 1, 2.
Пример №7
Решение
1) , , , . Это решение .
2) , .
3) , , - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.
4) и , , , , 4-3 = 4-3 – верно. .
Ответ: -4, -3, -2, 1
Пример №8
Решение
ОДЗ: ,
, ,
и
Все решения принадлежат уравнению =2.
, , и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.
Ответ: -4, -1.
Пример №9
Решение
ОДЗ: , , .
1) решений не имеет, т. к. 0 в любой степени не равен 1.
При , или ,
ОДЗ, ОДЗ.
Значит все решения содержатся в уровнении = 0, или .
Проверка: , 20 = 1 – верно.
, - верно.
Ответ: 0, 3/2.
Пример №10
Решение
1) решений не дает, т. к. 0 в любой степени не равен 1.
2) При , , . Все решения принадлежат уравнению . или .
3) , и .
Второе решение не подходит, т. к , . А является решением
Ответ: , 2, 4.
Пример №11
Решение
1) , , и это решение .
2) , .
3) , , - четное, - нечетное. Это является решением.
4) или , , , , .
Проверка: , - верно.
Но не является корнем!
Выражение (-1,5)52,5, которое получается при проверке не имеет смысла, т. к. степень отрицательно числа имеет смысл только для целых показателей. Равенство = только для . Значит, отрицательное число можно возводить только в степень с целым показателем.
Ответ: -4, -2, -1.
Пример №12
Решение
ОДЗ: . Значит 0,1 и -1 отпадают.
и все решения содержатся в уравнении.
, ,
Ответ: 5.
Пример №13
Решение
1) , , . Это решение .
2) , , .
3) отрицательных значений не имеет.
При или все решения в уравнении , и .
При , - верно. .
Ответ: -1, 2, 3, 4.
Пример №14
Решение
ОДЗ:
1) При решений нет, т. к. 0 в любой степени не равен 1.
При
2) , и . - решение, а .
3) для всех . При и все решения содержатся в уравнении , или . При , .
При , - верно. .
Ответ: 4, 5.
Пример №15.
,
Решение
используя свойства логарифма и получили:
=
В первой части уравнения выполнили преобразования
. Получили уравнение . Все решения содержатся в уравнении.
или .
Ответ: 2.
Пример №16
Решение
ОДЗ:
Преобразуем знаменатель дроби в правой части уравнения
; .
, , где
1) ,
