Дипломная работа на тему "Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей"
Главная → Математика → Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной работы?
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата;
- антиплагиат до 90%;
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
Чтобы узнать стоимость, кликайте на кнопку ниже
Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления Кафедра математического моделирования
энергетических систем
Карпова
НаталияАнатольевна
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Зав. Кафедрой,
профессор, доктор физ.-мат. наук Захаров В. В.
Научный руководитель,
доцент, кандидат физ.-мат. наук Свиркин М. В.
Рецензент,
доцент, кандидат физ.-мат. наук Корников В. В.
Санкт Петербург2003
Оглавление.
Введение…………………………………………………………………………..3Глава 1. Система кривых Пирсона.
§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона…………………….………5
§ 2. Основные типы кривых Пирсона…….……………………………...8
Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com
Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам написать любые работы по требуемой вам теме. Качественное написание дипломных проектов под заказ в Новосибирске и в других городах РФ.
§ 3. Переходные типы кривых Пирсона…………………………………17
Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.
§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева…...23
§ 2. Обобщение метода Грамма - Шарлье………………...…………….33
§ 3. Весовые функции и кривые распределения вероятностей…….….36
Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.
§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей……..40
§ 2. Алгоритм вычислений...................................……...……...………...46
Заключение……………………………………………………………………..47
Литература……………………………………………………………………...48
Введение.
Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т. д.
Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:
1. получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;
2. нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.
Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение
,
а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.
Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.
Для решения второй задачи используется метод П. Л. Чебышева, создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.
Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.
Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид
.
Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:
ü метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,
ü метод Чебышева получения ортогональных полиномов,
которые были положены в основу обобщенного метода Грамма – Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.
Глава 1. Система кривых Пирсона.
В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы.
§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона.
Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой , таким образом, можем записать - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде.
Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона:
(1)
и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).
Общий интеграл этого уравнения представим в виде:
где
.
Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения
(2),
следовательно, от его дискриминанта
который можно написать в виде
,
вводя параметр
æ.
Или иначе, величину æ можно представить в виде:
æ,
где величины представимы через центральные моменты статистических распределений к-го порядка, которые определяются по формуле
,
где есть
.
Тогда
, .
Через величины можно представить и величины следующим образом [5]:
Величина æ называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и различные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:
А. Если æ, то и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков.
В. Если 0< æ<1, то и уравнение (1) имеет комплексные корни.
С. Если æ>1, то и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.
Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответственно типами I, IV и VI. Затем æ может равняться , что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.
В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.
2. Основные типы кривых Пирсона.
В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.
Тип I.
Пусть æ<0. Тогда
и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: , так что можем записать
.
Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:
,
где
.
Пусть еще
.
Тогда уравнение (1) перепишется в виде
и общий интеграл его можно представим в виде
,
где и значения и должны удовлетворять условиям
.
Тип I получается, если заключается в интервале . Тогда
и
или, как обычно пишут
.
Так как выражаются определенным образом через моменты , то, очевидно, и также выражаются через те же моменты. Для этого введем число
.
Тогда простое преобразование дает следующие формулы:
.
Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.
Далее, пользуясь этими же формулами,
,
следовательно,
.
Затем
,
или, после простых подсчетов,
,
где
.
Таким образом, и представляют корни уравнения
,
Когда найдены и , и находятся по формулам
,
в которых
, .
Здесь использовано равенство
,
которое получается, так мы имеем
,
и
,
следовательно,
,
откуда
(так как ), нужно брать .
Таким образам, и есть корни уравнения
и и по формулам
,
в которых
,
где находится из равенства
.
Остается найти . Оно находится по равенству
.
При помощи подстановки
мы находим:
.
Следовательно,
.
Тип IV
Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям
0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.
Пусть эти корни равны
,
где
.
Тогда уравнение (1) будет
,
откуда
,
и
,
или
,(3)
причем
.
Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты и константы :
(здесь , и ),
,
где - функция Пирсона, определяемая равенством
.
Интеграл в правой части можно привести к другому виду:
подстановка
приводит его к виду
.
Обычно, полагая
,
пишут в виде
,
где
.
Тип VI.
Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:
(в нем ). Его параметры вычисляются по формулам:
,
причем берется , если и , если ; и дают выражения:
,
причем должно быть ;
,
и
.
Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:
беря за начало координат точку
.
Параметры вычисляются как выше, а имеет теперь такое выражение:
.
Кривая простирается от до , если , и от до , если .
3. Переходные типы кривых Пирсона.
Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значениях критерия æ и при некоторых условиях, налагаемых на и .
Тип II.
Получается при æ=0, и имеет уравнение
,
отнесенное к моде, которая теперь равна средней (кривая симметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам
Кривая простирается от -а до а. На концах распределения , если и , если . Эта кривая имеет так называемую U-образную форму с антимодой вместо моды.
Тип VII.
Имеет уравнение
,
получается при æ=0, и имеет параметры
Нчало координат в средней (средняя равна моде).
Тип III.
Имеет уравнение
с началом координат в моде и с параметрами
.
Получается при æ
Тип V.
Имеет уравнение
с параметрами
кривая получается при æ=1 и бесконечна в одном направлении.
Тип VIII
Имеет уравнение
,
простирается от –а до 0, получается при
æ,
причем зависит от , а параметр т получается как решение уравнения
и он не должен быть больше 1 или меньше 0.
Тогда
,
а начало в точке
Тип IX.
Имеет уравнение
,
простирается от –а до 0, получается при
æ
Параметр т определяется как решение уравнения
Тогда
,
а начало будет в точке
Тип X.
Имеет уравнение
с началом координат в точке ; получается как специальный случай кривой типа III при .
Тип XI
Имеет уравнение
,
получается при
æ
и простирается от до , а т находится из уравнения
и b зависит от m.
Тогда,
а начало координат в точке
.
Тип XII.
Имеет уравнение
,
получается при
æ.
Кривая простирается от до , начало координат в точке и
.
Тип N.
Тринадцатый тип кривых распределения Пирсона – нормальная кривая с уравнением
,
которая получается при условиях
æ.
Типы II, VI, VII, VIII, IX представляют специальные случаи кривой типа I, тип X – специальный случай типа III, а тип XI - типа VI. [5] (См. приложение 1.)
Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.
В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом, который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывную дробь суммы
и рассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби. Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечают условиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение для нахождения кривых распределения вероятностей.
1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.
Пусть даны значения интерполируемой функции,
соответствующие значения аргумента . Каждому значению аргумента ставится в соответствие частота .
Требуется найти такую целую функцию
,
где , которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы
.
В данной задаче в качестве веса предлагается рассмотреть [8]
,
где n есть
или иначе говоря n - сумма всех испытаний.
Для решения нашей задачи находим коэффициенты , которые определяются из следующих уравнений
;
;
……………………
;
;
После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов
;
;
……………………
……………………
;
……………………
;
где
Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.
Есть другой вариант построения искомого полинома [8].
Пусть будет целая функция от степени , которая обращается в при . Положим
,
где - целые функции степеней , а - коэффициенты.
Пусть теперь сумма первых членов выражения
равняется
,
т. е. .
Каковы в этом случае условия относительно и при которых сумма
имеет наименьшее значение?
Обозначим эту сумму через :
,
и, подставляя в нее
,
составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:
Отсюда следует:
Так как есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида будут равняться 0.
В результате преобразований получим выражения для коэффициентов :
;
;
………………
;
………………
.
Теперь можно представить функцию
в таком виде
.
Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени , достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член
.
Для дальнейшего перехода к целой функции степени , также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы
,
достаточно прибавить к найденному выражению функции степени , такой новый член
.
Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда
Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени , удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.
Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции , определив через данные величины и коэффициенты при в выражении этих функций.
Далее, с помощью разложения дроби
по нисходящим степеням получим, что дробь
,
где
,
дает приближенное представление функции [7]
с точностью до членов степени
включительно. Здесь есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей есть функции степеней ; поэтому можно положить
.
Что касается , то его можно приравнять .
Разлагая
в непрерывную дробь вида
,
где и - некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции для определения этих постоянных через данные значения .
Выражения для будет иметь вид:
.
Выражения для коэффициентов будут следующими:
.
Вводя для сокращения обозначение
через , запишем выражение для в таком виде:
.
Для выражение будет иметь вид
.
Что касается величин и , то они равны соответственно
и .
Теперь перейдем к определению коэффициентов в выражении
.
Для получим выражение
.
Это выражение весьма упростится, если мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что . Тогда , а выражение для будет иметь вид
.
Также упростятся выражения для
и .
Функция станет равной , функции определяются путем последовательных подстановок выражений в формулы
Здесь опубликована для ознакомления часть работы "Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш преподаватель!
