Дипломная работа на тему "Операторные уравнения"

ГлавнаяМатематика → Операторные уравнения



Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной работы?

Для вас:

- только проверенные авторы;

- работа со всеми системами антиплагиата;

- антиплагиат до 90%;

- соблюдение сроков;

- бесплатные доработки;

- ведение до защиты.

Чтобы узнать стоимость, кликайте на кнопку ниже

Узнать стоимость


Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский Государственный Гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

«Операторные уравнения»

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Кощеева Анна Серг еевна

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

_______________________

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная Ирина Иссаковна

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам написать любые работы по желаемой вами теме. Правильное выполнение дипломных работ на заказ в Краснодаре и в других городах России.

________________________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой______________________ Крутихина М. В.

« »____________

Декан факультета__________________ Варанкина В. И.

« »____________

Киров 2005

Содержание

--------------------------------------------------
Введение_______________________________________________________ | 3 |
---------------------------------------------------------
Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________ | 4 |
---------------------------------------------------------
§1. Определение линейного оператора________________________ | 4 |
---------------------------------------------------------
§2. Норма линейного оператора______________________________ | 5 |
---------------------------------------------------------
§3. Обратные операторы____________________________________ | 5 |
---------------------------------------------------------
§4. Абстрактные функции___________________________________ | 9 |
---------------------------------------------------------
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________ | 11 |
---------------------------------------------------------
§6. Метод малого параметра в простейшем случае______________ | 12 |
---------------------------------------------------------
§7. Метод малого параметра в общем случае___________________ | 13 |
---------------------------------------------------------
§8. Метод продолжения по параметру________________________ | 15 |
---------------------------------------------------------
8.1. Формулировка основной теоремы___________________ | 15 |
---------------------------------------------------------
8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______ | 16 |
---------------------------------------------------------
Глава 2. Приложение_____________________________________________ | 19 |
---------------------------------------------------------
Литература_____________________________________________________ | 27 |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Введение Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины. Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.

Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.

Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

1.  раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

2.  проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.

Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава 1. Операторные уравнения §1.Определение линейного оператора

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(λ1x1 + λ2x2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)

для любых x1,x2 ÎD и любых скаляров λ1 и λ2.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т. е. D(А) = X).

Оператор А называется непрерывным в точке x0 ÎX, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 ÎX можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке x0 Î X.

Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.

Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.

Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т. е. если ограничено множество

{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство

||Аx|| ≤ с (1)

Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ≤ с ||x|| (2)

для любых x Î X, где – постоянная.

Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Норма линейного оператора

В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. . (1)

Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S1(0). Отсюда

||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)

справедливое для всех x Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.

Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).

§3.Обратные операторы

Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если существует обратный оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то решение задачи записывается в явном виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.

Пусть задан линейный оператор: А: X → Y, где X, Y – линейные пространства, причем его область определения D(A)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.X, а область значений R(A)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Y.

Введем множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - множество нулей оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)

Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (т. е. множество А нулей состоит только из элемента 0)

Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x Î D(A)выполняется неравенство

. (1)

Введем теперь следующее важное понятие.

Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y, оператор обратим и A-1 ÎL(Y, X), (т. е. ограничен).

Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется неравенство (1).

В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A ÎL(X, Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.

Иными словами, если А Î L(X, Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.

Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения

Ax = y (2)

Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(решение того же уравнения с правой частью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.

Пусть А Î L(X, Y). Оператор U Î L(X, Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X, Y) будем называть левым обратным к А, если VA = Ix.

Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr–1, а для левого – АL–1.

Лемма 1. Если существует правый обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет решение

x = Аr–1 y

Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.

Доказательство.

А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,

т. е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.

Далее, пусть существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x ÎN(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x ÎN(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т. е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.

Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - единичного шара в L(X), т. е. все такие А, для которых справедливо неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

Теорема 8. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; тогда оператор IC непрерывно обратим. При этом справедливы оценки

(1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд

I+C+C2+C3+… (3)

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (ибо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому, в пределе имеем равенства (IC)S = I и S(IC) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(IC)-1. Далее,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Переходя в этих неравенствах к пределу при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X, Y). Пусть А ÎL(X, Y) непрерывно обратим.

Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§4. Абстрактные функции

Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.

Пусть x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) определена в окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0, за исключением, быть может, самой точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0. Элемент а Î X будем называть пределом функции x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 и записывать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0,

если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0.

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметраРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где xк Î X, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то в дальнейшем мы полагаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Конечная сумма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – множество всех точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых ряд (1) сходится. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначим через S(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) (это абстрактная функция, определенная на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со значениями в X), при этом будем писать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Последнее равенство означает, что Sn(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) → S(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при n→∞ для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). ПустьРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 ≠ 0 и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 Î , тогда круг Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержится в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Во всяком круге Sr(0), где r < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.

По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет производную в точке λ0, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) будем называть аналитической при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, если она представима в некоторой окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0 сходящимся степенным рядом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – аналитическая абстрактная функция при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, то x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – аналитическая абстрактная функция при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, то x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

называется рядом Тейлора функции x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Если x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) аналитична при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в SR(0).

Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.

§6. Метод малого параметра в простейшем случае

Рассмотрим следующее уравнение:

Аx Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Сx=y. (1)

Здесь А, С ÎL(X,Y) и y ÎY заданы, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - скалярный параметр, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а неизвестное x разыскивается в X. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2)

то, согласно теореме 9, оператор А–Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, следовательно, может быть найдено в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в правой и левой частях получившегося тождества:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:

Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …

Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим

x0=А–1y, x1= А–1(СА–1)y, …, xк= А–1(СА–1)кy, …

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (5)

Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§7. Метод малого параметра в общем случае

Пусть дано уравнение

А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)х = у(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). (1)

Здесь А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)ÎL(X,Y) задана при каждом , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., или, как говорят, А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – оператор-функция. Пусть А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) аналитична при =0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у( ) – заданная аналитическая функция при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.

Аналитичность А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и у( ) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.соответственно:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2)

Из аналитичности А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) следует непрерывность А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при =0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда вытекает, что в круге Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.оператор-функцияА(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

при этом x( ) аналитична в точке =0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., r). Для фактического построения x( ) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x( ) в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2, …:

А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,

А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4)

. . . . . . . . . . .

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …

Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., … (5)

Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А( ).

§8. Метод продолжения по параметру 8.1. Формулировка основной теоремы

В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и А непрерывно обратим. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется следующее условие:

1.  Существует постоянная Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такая, что при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и при любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливо неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Ниже будет доказана следующая теорема.

Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывно обратим, то

. (2)

Действительно, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. тогда условие I дает Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что означает справедливость неравенства (2).

8.2. Простейший случай продолжения по параметру

Приведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Согласно условию этой теоремы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По замечанию 14 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Имеем следующую оценку:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. На [0, δ] имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и, следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывно обратим. Если окажется, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то теорема доказана.

Пусть δ < 1. Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Повторяем наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда А(λ) непрерывно обратим при каждом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.

Доказательство теоремы в общем случае

Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.

Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].

Замечание 1. условие открытости М на [0,1] понимается так: для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует δ > 0 такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ – пустое множество. Допустим противное, что N ¹ Æ. Поскольку М ¹ Æ и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b Î M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.

Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N ¹ Æ неверно. Итак, N= Æ, т. е. М = [0, 1]. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î [0, 1].

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

воспользуемся непрерывностью оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î [0, 1] таких, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. < δ выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. <e.

Возьмем e = γ, тогда при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. < δ(γ), λ Î [0, 1]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.<1.

По теореме 9 §3 А(λ) непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ0 М содержит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. М открыто на [0, 1].

Докажем, что М замкнуто на [0, 1]. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Надо доказать, что λ0 М. воспользуемся неравенством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вследствие непрерывности А(λ) по λ для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.<e. Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.<1.

По теореме 9 А(λ0) непрерывно обратим, т. е. λ0 Î М, и, значит, М замкнуто на [0, 1]. По лемме М = [0, 1] . в частности, 1Î М и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Теорема полностью доказана.

Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:

А(λ)х = у, λÎ [0, 1]. (1*)

Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2*)

где с – некоторая постоянная, не зависящая от х, у и λ. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1): Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.

Глава 2. Приложение

Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Это уравнение вида А( )х = у(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – операторное уравнение в С[-π; π], где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Покажем, что А( ) аналитична в т. 0, т. е. разлагается в ряд вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Разложим функцию А( ) в ряд Тейлора: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Найдем к– ую производную:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, функция аналитична, следовательно, непрерывна при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 0, а значит, уравнение имеет единственное решение.

Операторные коэффициенты имеют вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

I. Начнем с уравнения А0x0 = y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥ 1.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Заменим, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (4)

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

подсчитаем интегралы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда, подставив в уравнение, получаем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (5)

Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Подсчитав соответствующие интегралы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., подставив и выразив В, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (6)

Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и свернем по формуле:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

II. Найдем теперь x1(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А0x1= – А1x0.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. к. мы знаем теперь x0(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Как в предыдущем случае заменим, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. . (7)

где Рисунок убран из работы и доступен тольк
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть работы


Просмотров: 1048

Другие работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>