Дипломная работа на тему "О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп"
Главная → Математика → О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной /курсовой работы/диссертации?
МЫ ЗАМОРОЗИЛИ ЦЕНЫ + СКИДКИ!
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Узнать стоимость и оформить заказ
Профессиональная помощь с диссертацией - кликайте сюда!
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ
-ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л. А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В. Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com
Уникальный банк готовых успешно сданных дипломных проектов предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Качественное написание дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Краснодаре и в других городах РФ.
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или
-критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация
, называется минимальной насыщенной не
-формацией, если все собственные насыщенные подформации
содержатся в классе групп
. Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л. А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А. Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А. Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не
-формаций (
– формация всех разрешимых групп нильпотентной длины
). В работах автора [6-10] теория минимальных
-замкнутых тотально насыщенных не
-формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10]. Пусть и
–
-замкнутые тотально насыщенные формации,
. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация, когда
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Теорема 2 [10]. Пусть и
–
-замкнутые тотально насыщенные формации,
. Тогда и только тогда
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-формация когда
удовлетворяет одному из следующих условий:
1) , где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой
, что справедливо включение
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
2) ,
где и
;
3) ,
где , а
– такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой
, что
совпадает с
-корадикалом группы
,
и
.
В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций
.
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию
называют
-кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого –
-кратно насыщенные формации. Формацию
-кратно насыщенную для любого целого неотрицательного
называют тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе
такую систему ее подгрупп
, что: 1)
; 2) для любых групп
и
и любого эпиморфизма
имеет место
и
Тотально насыщенную формацию называют
-замкнутой, если
для любой группы
.
-Замкнутую тотально насыщенную формацию
называют минимальной
-замкнутой тотально насыщенной не
-формацией (или, иначе,
-критической), если
, но все собственные
-замкнутые тотально насыщенные подформации из
содержатся в классе групп
.
Пусть –
-замкнутая формация. Группа
называется
-минимальной не
-группой, если
, но
для любой собственной подгруппы
из
.
Для всякой совокупности групп через
обозначают
-замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп, т. е. пересечение всех
-замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих
. Если
, то
называют однопорожденной
-замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых
-замкнутых тотально насыщенных формаций
и
полагают
. Частично упорядоченное по включению
множество всех
-замкнутых тотально насыщенных формаций
с операциями
и
образует полную решетку. Формации из
называют
-формациями. Экран, все непустые значения которого
-формации, называют
-значным. Если
–
-формация, то через
обозначают её минимальный
-значный локальный экран.
Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп
класс групп
определяют следующим образом:
1) ; 2)
.
Последовательность простых чисел называют подходящей для
, если
и для любого
число
. Множество всех подходящих для
последовательностей обозначают через
. Символом
обозначают совокупность всех таких последовательностей
из
, у которых
при всех
.
Пусть – некоторая подходящая для
последовательность. Тогда
-значный локальный экран
определяют следующим образом:
1) ; 2)
.
В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9]. Пусть – монолитическая группа,
– неабелева группа. Тогда
имеет единственную максимальную
-подформацию
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
. В частности, .
Лемма 2.2 [2, . 33]. Пусть , где
– непустой класс групп. Тогда если
– минимальный
-значный экран формации
, то справедливы следующие утверждения:
1) ;
2)
при всех простых числах ;
3) если – произвольный
-значный экран формации
, то при любом
имеет место
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3. Пусть ,
–
-замкнутые тотально насыщенные формации,
,
– канонический экран формации
. Тогда
является
-критической формацией в том и только в том случае, когда
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-группа с монолитом
, что для всех
формация
-критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не
-формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп
, поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание
-критических формаций для некоторых конкретных классов групп
.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не
-разрешимые формации.
Напомним, что группу называют
-разрешимой, если
для каждого ее главного
-фактора
. Пусть
– формация всех
-разрешимых групп. Тогда, очевидно,
. Класс всех
-разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– монолитическая
-минимальная не
-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что
и группа
-разрешима.
Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация. По теореме 1 имеем
, где
– такая монолитическая
-минимальная не
-разрешимая группа с монолитом
, что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка
;
2) – неабелева группа и
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в
при всех
, а
либо группа простого порядка
, либо такая монолитическая
-минимальная не
-группа с неабелевым монолитом
, что
,
совпадает с
-корадикалом группы
и
где – совокупность всех собственных
-подгрупп группы
.
Поскольку , то
– неабелева группа и
. Таким образом, группа
удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность. Пусть , где
– группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация
имеет единственную максимальную
-замкнутая тотально насыщенную подформацию
, где
– совокупность всех собственных
-подгрупп группы
. Поскольку
и
, то
. Следовательно,
– минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– монолитическая
-минимальная не
-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что
и группа
-разрешима.
Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда – минимальная
-замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где
– монолитическая
-минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом
, что группа
разрешима.
Если – тривиальный подгрупповой функтор, т. е. из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом
, что
и группа
-разрешима.
Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где
– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом
, что группа
разрешима.
В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы
из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева минимальная не
-разрешимая группа.
Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не
-разрешимая формация, когда
, где
– простая неабелева минимальная не
-разрешимая группа.
Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где