Дипломная работа на тему "О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп"
Главная → Математика → О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной работы?
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата;
- антиплагиат до 90%;
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
Чтобы узнать стоимость, кликайте на кнопку ниже
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ 
-ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л. А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В. Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com
Уникальный банк готовых успешно сданных дипломных проектов предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Качественное написание дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Краснодаре и в других городах РФ.
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или -критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация , называется минимальной насыщенной не -формацией, если все собственные насыщенные подформации содержатся в классе групп . Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л. А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А. Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А. Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не -формаций ( – формация всех разрешимых групп нильпотентной длины ). В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10]. Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Теорема 2 [10]. Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда удовлетворяет одному из следующих условий:
1) , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что справедливо включение , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
2) ,
где и ;
3) ,
где , а – такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что совпадает с -корадикалом группы , и .
В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций .
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При формацию называют -кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого – -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного называют тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп , что: 1) ; 2) для любых групп и и любого эпиморфизма имеет место и
Тотально насыщенную формацию называют -замкнутой, если для любой группы . -Замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией (или, иначе, -критической), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп .
Пусть – -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не -группой, если , но для любой собственной подгруппы из .
Для всякой совокупности групп через обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп, т. е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если , то называют однопорожденной -замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций и полагают . Частично упорядоченное по включению множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует полную решетку. Формации из называют -формациями. Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным. Если – -формация, то через обозначают её минимальный -значный локальный экран.
Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют следующим образом:
1) ; 2) .
Последовательность простых чисел называют подходящей для , если и для любого число . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через . Символом обозначают совокупность всех таких последовательностей из , у которых при всех .
Пусть – некоторая подходящая для последовательность. Тогда -значный локальный экран определяют следующим образом:
1) ; 2) .
В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9]. Пусть – монолитическая группа, – неабелева группа. Тогда имеет единственную максимальную -подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . В частности, .
Лемма 2.2 [2, . 33]. Пусть , где – непустой класс групп. Тогда если – минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:
1) ;
2)
при всех простых числах ;
3) если – произвольный -значный экран формации , то при любом имеет место
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3. Пусть , – -замкнутые тотально насыщенные формации, , – канонический экран формации . Тогда является -критической формацией в том и только в том случае, когда , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех формация -критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.
Напомним, что группу называют -разрешимой, если для каждого ее главного -фактора . Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.
Доказательство. Необходимость. Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то – неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность. Пусть , где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку и , то . Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.
Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.
Если – тривиальный подгрупповой функтор, т. е. из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.
Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.
В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда , где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда , где
