Дипломная работа на тему "Метризуемость топологических пространств"
Главная → Математика → Метризуемость топологических пространств
Страшно ошибиться с выбором?
МЫ ЗАМОРОЗИЛИ ЦЕНЫ + СКИДКИ!
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Узнать стоимость и оформить заказ
Профессиональная помощь с диссертацией - кликайте сюда!
Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к. ф. -м. н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com
Уникальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Правильное выполнение дипломных работ на заказ в Волгограде и в других городах России.
Зав. кафедрой______________________________к. п.н., доцент Крутихина М. В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к. ф. -м. н., доцент Варанкина В. И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение. 3
Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21
Библиографический список. 24
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для метризуемого пространства следующие условия эквивалентны:
1) сепарабельно,
2) имеет счетную базу,
3) финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные понятия и теоремы
Определение. Метрическим пространством называется пара , состоящая из некоторого множества (пространства) элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции , определенной для любых и из и удовлетворяющей трем условиям:
1) (аксиома тождества);
2) (аксиома симметрии);
3) (аксиома треугольника).
Определение. Пусть – некоторое множество. Топологией в называется любая система его подмножеств , удовлетворяющая двум требованиям:
1. Само множество и пустое множество принадлежат .
2. Объединение любого (конечного или бесконечного) и пересечение любого конечного числа множеств из принадлежат .
Множество с заданной в нем топологией , то есть пара , называется топологическим пространством.
Множества, принадлежащие системе , называются открытыми.
Множества , дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства .
Определение. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства , если всякое открытое множество в может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из .
Теорема 1. Всякая база в топологическом пространстве обладает следующими двумя свойствами:
1) любая точка содержится хотя бы в одном ;
2) если содержится в пересечении двух множеств и из , то существует такое , что .
Определение. Открытым шаром или окрестностью точки радиуса в метрическом пространстве называется совокупность точек , удовлетворяющих условию . При этом – центр шара, – радиус шара.
Утверждение 1. Для любого , принадлежащего -окрестности точки , существует окрестность радиуса , включенная в -окрестность точки .
Доказательство. Выберем в качестве :.
Достаточно доказать для произвольного импликацию . Действительно, если , то
Получаем, что , что и требовалось доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).
- Свойство первое очевидно, так как для любого выполняется для любого .
- Проверим второе свойство.
Пусть , и , тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое , что Теорема доказана.
Определение. Топологическое пространство метризуемо, если существует такая метрика на множестве , что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства .
Аксиомы отделимости
Аксиома. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.
Предложение. является - пространством тогда и только тогда, когда для любого множество замкнуто.
Доказательство.
Необходимость. Пусть . Так как является -пространством, то существует окрестность , не содержащая .
Рассмотрим
Докажем, что . Применим метод двойного включения:
- Очевидно, что по построению множества .
- .
Пусть отсюда для любого отличного от существует окрестность , значит , тогда .
Множество - открыто, как объединение открытых множеств.
Тогда множество - замкнуто, как дополнение открытого множества.
Достаточность. Рассмотрим . По условию замкнутые множества. Так как , то . Множество -открыто как дополнение замкнутого и не содержит . Аналогично доказывается существование окрестности точки , не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.
Аксиома . Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам () называются -пространствами (-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).
Определение. Пространство называется нормальным или -пространством, если оно удовлетворяет аксиоме , и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.
Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки, если для любой окрестности точки найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в .
Определение. Если точка топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.
Определение. Две метрики и на множестве называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.
Пример. На плоскости для точек и определим расстояние тремя различными способами:
1. ,
2. ,
3. .
- Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1)
2) так как и , то вторая аксиома очевидна:
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как и (поскольку ) и выражение есть величина неотрицательная, то неравенство является верным.
2. 1)
2) так как и , то вторая аксиома очевидна: .
3) рассмотрим точки ,, и докажем следующее неравенство: .
Тогда и .
3. 1)
2) так как и , то вторая аксиома очевидна:
.
3) рассмотрим точки ,,.
Неравенство: - очевидно.
- Введенные метрики и эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.
Пусть метрика порождает топологию , - топологию и - топологию . Достаточно показать два равенства.
Покажем, что .
Рассмотрим множество, открытое в и покажем, что открыто в . Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в . Шар в - квадрат, шар в - круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда открыто и в .
Аналогично доказывается, что . А тогда и .
Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство. Пусть . Возьмем . Докажем, что .
Предположим, что , тогда существует , т. е. и . Тогда, . Получили противоречие. Следовательно, .
Следствие. Метризуемое пространство является - пространством.
Определение. Расстоянием от точки до множества в метрическом пространстве называется .
Утверждение 2. Пусть множество фиксировано; тогда функция , сопоставляющая каждой точке расстояние , непрерывна на пространстве .
Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция называется непрерывной в точке , если .
Из неравенства , где , получаем . Аналогично . Из полученных неравенств следует .
Для произвольного возьмем . Тогда из неравенства следует . Непрерывность доказана.
Лемма. – замкнутое множество в метрическом пространстве . Для любого расстояние от до множества положительно.
Доказательство.
Множество замкнуто, отсюда следует, что множество - открыто. Так как точка принадлежит открытому множеству , то существует такое, что . Так как , то для некоторого . Поэтому для любого . Следовательно, , что и требовалось доказать.
Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является
-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества и имеют непересекающиеся окрестности.
Так как и множество замкнуто по условию, то для любого по лемме .
Обозначим и для произвольных и .
Множества и открыты как объединения открытых шаров в и содержат соответственно множества и .
Следовательно, - окрестность множества , - окрестность множества .
Докажем, что .
Предположим, что , то есть . Тогда из условия следует, что для некоторого . Отсюда .
Аналогично получаем для некоторого . Для определенности пусть . Тогда .
Получаем , для некоторой точки , что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.
Следовательно . Таким образом, является -пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.
Свойство 3. В метризуемом пространстве выполняется первая аксиома счетности.
Доказательство. Пусть - произвольное открытое множество, содержащее точку . Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то содержится в вместе с некоторым открытым шаром, то есть для некоторых и . По утверждению 1 найдется такое , что .
Возьмем , для которого . Тогда . Таким образом открытые шары , образуют определяющую систему окрестностей точки . Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.
Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся объединением счетного числа замкнутых (в ) множеств.
Определение. Множеством типа или просто - множеством пространства называется всякое множество , являющееся пересечением счетного числа открытых (в ) множеств.
Очевидно, что множества типа и являются взаимно дополнительными друг для друга.
Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.
Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа .
Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство. Пусть - непустое замкнутое множество в . Тогда для непрерывной функции (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим , множества открыты в как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что .
Пусть , тогда . Так как для любого , то для любого . Отсюда .
Обратно. Пусть , тогда для любого . Отсюда для любого , поэтому для любого , тогда , значит . Таким образом множество является множеством типа .
Определение. Множество всюду плотно в, если любое непустое открытое в множество содержит точки из .
Определение. Топологическое пространство называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение. Семейство γ открытых в множеств образуют покрытие пространства, если
