Дипломная работа на тему "Интеграл Лебега-Стилтьеса"
Главная → Математика → Интеграл Лебега-Стилтьеса
Содержание
Введение
Глава I. Развитие понятия интеграла
1.1 Проблема моментов
Глава II. Интеграл Стилтьеса
2.1 Определение интеграла Стилтьеса
2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
2.5 Интегрирование по частям
2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
2.8 Примеры
2.10 Теорема о среднем, оценки
2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
2.12. Примеры и дополнения
Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
3.1 Применение в теории вероятностей
3.2 Применение в квантовой механике
Заключение
Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com
Актуальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по требуемой вам теме. Мастерское выполнение дипломных работ по индивидуальному заказу в Екатеринбурге и в других городах РФ.
Список литературы
Приложение
Введение
Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.
Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.
Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.
Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:
изучить множество литературы по этой теме;
отобрать из изученного материла необходимый;
привести примеры использования интеграла.
Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.
Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.
Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.
Глава I. Развитие понятия интеграла 1.1 Проблема моментов
Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел 
; требуется найти такую функцию распределения , чтобы члены заданной последовательности были моментами, т. е. . Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если , то получаем проблему моментов Стилтьеса.
Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел ищется такая функция , чтобы имели место равенства . Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.
Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена
Условиями
(1)
при неотрицательной на .
Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.
Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:
Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П. Л. Чебышева в виде
где . (2)
Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качестве брать числа , получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу , а будут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании . Для этой цепной дроби числа , очевидно, удовлетворяют неравенствам
(3)
так как в этом случае .
Вторым моментом является следующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интеграла , Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида
. (4)
Он ограничивается тем частным случаем, когда - произвольная интегрируемая по Риману функция, а такова, что внутри не существует интервала , в котором , и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция
(5)
является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция , и в интеграле (4) возможна замена переменных
сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю.
По поводу же общего случая Стилтьес указал, что "условия, налагаемые на функции , делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления". Действительно, если не удовлетворяет условию отсутствия в интервала , в котором , то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение в том виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, и квадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла .
Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.
Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида
(6)
где - в общем случае комплексное число.
Пусть - подходящая дробь порядка для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы
причем, если ряд расходится, то
если же ряд сходится, то
и функции и различны.
К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом
(7)
и непрерывной дробью
, (8)
где - суть линейные функции , а числа связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням :
Формулами
Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни и действительны и различны, степень меньше степени . Для -й подходящей дроби справедливо равенство
или, в другой форме,
В частности,
Как уже говорилось при , а потому, если обозначить через нули , то и при . Аналогично, если - нули функции , то и для случая нечетных . В случае расходимости ряда очевидно, что .
Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням :
(9)
Тогда оказывается, что ряды
сходятся и
(10)
Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.
В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация , как массы, сосредоточенной в точке , являющейся корнем . Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая как массы, расположенные в нулях функции (или ). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой распределение массы (положительной), при котором на расстоянии от начала сосредоточена масса .
Сумма
может быть названа моментом порядка масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка системы масс
имеет значение .
Равным образом система масс , где , будем иметь те же моменты .
Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:
Найти распределение положительной массы на прямой , если даны моменты порядка ".
Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование и как масс, а как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.
Цепные дроби рассматривающегося П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке . Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни , оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале . Далее, поскольку рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел ; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности , как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции . Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т. е. решение проблемы моментов. Если при этом и , и попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы и . Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала , но для этого требовалось дать иное определение моментов.
Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.
Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.
Он рассмотрел интеграл для случая произвольной непрерывной и произвольной возрастающей . В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.
Глава II. Интеграл Стилтьеса 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
Пусть в промежутке заданы две ограниченные функции и . Разложим точками
(1)
промежуток на части и положим . Выбрав в каждой из частей по точке, вычислим значение функции и умножим его на соответствующее промежутку приращение функции
.
Наконец, составим сумму всех таких произведений:
. (2)
Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.
Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлении к нулю называется интегралом Стилтьеса функции по функции и обозначается символом
. (3)
Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение
Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа существует такое число , что лишь только промежуток раздроблен на части так, что , тотчас же выполняется неравенство
,
как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.
При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежутке интегрируема по функции .
Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращение независимой переменной, а на приращение второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции взята сама независимая переменная :
.
2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция монотонно возрастает.
Отсюда следует, что при теперь все .
Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно внести суммы
где и означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции в -м промежутке . Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.
Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)
причем и служат точными границами для стилтьесовских сумм .
Сами суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:
1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.
2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.
Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса:
и
то, оказывается, что
.
Наконец, с помощью сумм Дарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:
Теорема: Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было
Или
,
если под , как обычно, разуметь колебание функции в -м промежутке .
В следующем пункте мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций и , для которых интеграл Стилтьеса существует.
I. Если функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса
(5)
существует.
Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда примени критерий предыдущего пункта. По произвольно заданному ввиду равномерной непрерывности функции найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание будет меньше . Пусть теперь промежуток произвольно разбит на части так, что . Тогда все
и
,
откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.
В общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :
.
Так как по уже доказанному каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.
Можно ослабить условия, налагаемые на функцию , если одновременно усилить требования к функции :
Если функция интегрируема в в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:
(6)
то интеграл (5) существует.
Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.
Ввиду (6), очевидно, , так что
.
Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции , а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).
В общем случае функции , удовлетворяющей условию Липшица (6), представим в виде разности
Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6), при
и
В таком случае рассуждение завершается, как и выше.
III. Если функция интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:
(7)
где абсолютно интегрируема, в промежутке , то интеграл (5) существует.
Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: то для
Имеем
Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу 2.
Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем . Прежде всего, по произвольно взятому выберем так, чтобы было
(8)
где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.
Разобьем промежуток по произволу на части и составим сумму
Она разлагается на две суммы , из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке , а вторая - остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке , если только ; тогда, в силу (8),
С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.
В общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке , мы рассмотрим функции
очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как
то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.
Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную , причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от до ; тогда, как известно, имеет место формула типа (7):
.
Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в 3.
Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:
При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.
Затем имеем
в предположении, что и существуют все три интеграла.
Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки в число точек деления промежутка при составлении суммы Стилтьеса для интеграла .
По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла