Дипломная работа на тему "Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов"
Главная → Математика → Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Страшно ошибиться с выбором, кому доверить написание своей дипломной /курсовой работы?
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Курсовая работа
Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов
Исполнитель:
Студентка группы М-42
Ларченко А. Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
Зверева Т. Е.
Гомель 2006
Содержание
Введение
Перечень условных обозначений
1. Общие определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Определения и основные примеры подгрупповых функторов
Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com
Уникальный банк готовых защищённых студентами дипломных работ предлагает вам приобрести любые проекты по нужной вам теме. Профессиональное выполнение дипломных проектов под заказ в Казани и в других городах РФ.
4. Решетки подгрупповых функторов
5. Классы групп с заданными решетками подгрупповых функторов
Заключение
Список использованных источников
Введение
Согласно теореме о соответствии между подгруппами основной группы, содержащие нормальную подгруппу и подгруппами из факторуппы
существует взаимнооднозначное соответствие, при котором нормальным подгруппам соответствуют нормальные подгруппы, субнормальным подгруппам соответствуют субнормальные и т. д.
Этот факт лежит в основе следующего определения, введеного в монографии А. Н. Скибы "Алгебра формаций." (Мн.: Беларуская навука, 1997).
Пусть некоторый класс групп. Составим с каждой группой
некоторую систему ее подгрупп
. Будем говорить, что
- подгрупповой
-функтор или подгрупповой функтор на, если выполняются следующие условия:
1) для всех
;
2) для любого эпиморфизма , где А,
и для любых групп
и
имеет место
и
Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.
Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.
Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.
В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.
Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.
Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.
В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".
Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.
Перечень условных обозначений
- принадлежность элемента множеству;
- знак включения множеств;
- знак строгого включения;
и
- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
- пустое множество;
- множество всех простых чисел;
- некоторое множество простых чисел, т. е.
;
Пусть - группа. Тогда:
- порядок группы
;
- порядок элемента
группы
;
- коммутант группы
, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы
;
-
является подгруппой группы
;
-
является собственной подгруппой группы
;
-
является максимальной подгруппой группы
;
-
является нормальной подгруппой группы
;
-
является субнормальной подгруппой группы
;
-
является минимальной нормальной подгруппой группы
;
- факторгруппа группы
по подгруппе
;
- индекс подгруппы
в группе
;
- нормализатор подгруппы
в группе
;
Если и
- подгруппы группы
, то:
-
и
изоморфны.
Пусть - группа,
и
, тогда:
- правый смежный класс,
- левый смежный класс;
- совокупность всех нормальных подгрупп группы
;
- группа порядка
;
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- подгруппа, порожденная элементами
и
.
- подгрупповой
- функтор или подгрупповой функтор на
, где
- некоторый класс групп;
- совокупность всех
- подгрупп группы
;
- тривиальный подгрупповой
- функтор;
- единичный подгрупповой
- функтор;
- ограничение подгруппового
- функтора
на класс групп
;
- пересечение системы подгрупповых
- функторов
;
- решётка всех подгрупповых
- функторов;
- решётка всех замкнутых подгрупповых
- функторов;
Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т. е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:
- класс всех групп;
- класс всех абелевых групп;
1. Общие определения и обозначения
Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата
во множество
. Если
- бинарная операция на
, то каждой упорядоченной паре
элементов из
соответствует однозначно определенный элемент
. Бинарную операцию на
обозначают одним из символов:
и т. д. Если, например, вместо
условимся писать
, то вместо
пишем
.
Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех
.
Если для всех
, то операция называется ассоциативной.
Если для всех
, то операция называется коммутативной.
Элемент называется единичным, если
для всех
.
Обратным к элементу называется такой элемент
, что
.
Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т. е.
для всех
и
;
(2) операция ассоциативна, т. е. для любых
.
Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на , т. е.
для всех
и
;
(2) операция ассоциативна, т. е. для любых
;
(3) в существует единичный элемент, т. е. такой элемент
, что
для всех
;
(4) каждый элемент обладает обратным, т. е. для любого существует такой элемент
, что
.
Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.
Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число
элементов в
- порядком группы
.
Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:
(1) операция определена на ;
(2) операция ассоциативна;
(3) уравнения ,
имеют решения для любых элементов
.
Подмножество группы
называется подгруппой, если
- группа относительно той же операции, которая определена на группе
. Для подгруппы используется следующее обозначение:
. Запись
читается так:
- подгруппа группы
.
Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы
называется подгруппой, если
для всех
и
Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Пусть - группа,
и
. Правым смежным классом группы
по подгруппе
называется множество
всех элементов группы
вида
, где
пробегает все элементы подгруппы
.
Аналогично определяется левый смежный класс
Если - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе
также будет конечно, оно называется индексом подгруппы
в группе
и обозначается через
.
Подгруппа называется нормальной подгруппой группы
, если
для всех
. Запись
читается так:
- нормальная подгруппа группы
Равенство
означает, что для любого элемента
существует элемент
такой, что
.
Пусть - нормальная подгруппа группы
. Обозначим через
совокупность всех левых смежных классов группы
по подгруппе
, т. е.
. Группа
называется факторгруппой группы
по подгруппе
и обозначается через
.
Условимся через обозначать совокупность всех подгрупп группы
, содержащих подгруппу
. В частности,
= S
- совокупность всех подгрупп группы
, а
.
Каждая нормальная подгруппа группы
определяет цепочку
. Обобщая эту ситуацию, цепочку
вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в
.
Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т. е. для
Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в
, то пишут (
).
Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.
Собственная подгруппа неединичной группы
называется максимальной подгруппой, если
не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы
, т. е. если из условия
следует, что
или
. Для максимальной подгруппы
неединичной группы
используется запись
В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т. е. такие элементы и
, что
. Поэтому естественно рассмотреть элемент
, для которого
. Отсюда
.
Коммутатором элементов и
называют элемент
, который обозначают через
. Ясно, что
.
Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы
и обозначается через
. Таким образом,
.
Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов
Если существует номер такой, что
, то группа
называется разрешимой.
Если - непустое подмножество группы
и
, то
Элемент называется перестановочным с подмножеством
, если
. Равенство
означает, что для любого элемента
существует такой элемент
, что
. Если элемент
перестановочен с подмножеством
, то
Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством
называется нормализатором подмножества
в группе
и обозначается через
. Итак,
Пусть и
- мультипликативные группы. Отображение
называется гомоморфизмом группы
в группу
, если
для любых
и
.
Если - подмножество группы
, то
образ
при гомоморфизме
, а
- образ гомоморфизма
. Образ гомоморфизма
также обозначают через
.
Ядром гомоморфизма называется множество
где
- единичный элемент группы
. Другими словами, в ядре собраны все элементы группы
, переходящие при отображении
в единичный элемент группы
.
Гомоморфизм называется мономорфизмом, если
. Из леммы 1 следует, что гомоморфизм
является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение
- инъекция.
Если , то гомоморфизм
называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае
- сюръекция.
Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.
2. Используемые результатыТеорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы
. Тогда:
(1) если - подгруппа группы
и
, то
- подгруппа факторгруппы
;
(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид
, где
- подгруппа группы
и
;
(3) отображение является биекцией множества
на множество
;
(4) если
, то
- нормальная подгруппа группы
тогда и только тогда, когда
- нормальная подгруппа факторгруппы
.
Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы
в группу
. Тогда:
(1) единичный элемент группы
переходит в единичный элемент
группы
, т. е.
;
(2) обратный элемент переходит в обратный, т. е. для всех
;
(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы