Дипломная работа на тему "Элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функторов"

1) для всех ;

2) для любого эпиморфизма , где А, и для любых групп и имеет место и

Значение этого понятия связано прежде всего с тем, что подгрупповой функтор выделяет в группе те системы подгрупп, которые инвариантны относительно гомоморфизма и поэтому удобны при проведении индуктивных рассуждений.

Целью данной дипломной работы является элементарное изложение отдельных фрагментов теории подгрупповых функтороф, доступное для понимания в рамках специальных курсов математических факультетов.

Дипломная работа состоит из введения, общей части, включающей 5 параграфов, заключения и списка используемой литературы.

В первом параграфе приводятся общие определения и обозначения.

Во втором параграфе даются те известные результаты теории групп, которые используются в основном тексте дипломной работы.

Третий параграф посвящен изучению основных понятий подгрупповых функторов и рассмотрению примеров. Здесь из различных источников собраны и систематизированы основные определения и примеры подгрупповых функторов.

В параграфе четыре систематизирован теоретический материал по теме "Решетки подгрупповых функторов".

Параграф пять изучает свойства конечных групп в зависимости от свойств соответствующих решеток подгрупповых функторов.

- принадлежность элемента множеству;

- знак включения множеств;

- знак строгого включения;

и - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

- пустое множество;

- множество всех простых чисел;

- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

Пусть - группа. Тогда:

- порядок группы ;

- порядок элемента группы ;

- коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

- является подгруппой группы ;

- является собственной подгруппой группы ;

- является максимальной подгруппой группы ;

- является нормальной подгруппой группы ;

- является субнормальной подгруппой группы ;

- является минимальной нормальной подгруппой группы ;

- факторгруппа группы по подгруппе ;

- индекс подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

Если и - подгруппы группы , то:

- и изоморфны.

Пусть - группа, и , тогда:

- правый смежный класс,

- левый смежный класс;

- совокупность всех нормальных подгрупп группы ;

- группа порядка ;

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- подгруппа, порожденная элементами и .

- подгрупповой - функтор или подгрупповой функтор на , где - некоторый класс групп;

- совокупность всех - подгрупп группы ;

- тривиальный подгрупповой - функтор;

- единичный подгрупповой - функтор;

- ограничение подгруппового - функтора на класс групп ;

- пересечение системы подгрупповых - функторов ;

- решётка всех подгрупповых - функторов;

- решётка всех замкнутых подгрупповых - функторов;

Прописными готическими буквами обозначаются классы групп, т. е. всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой и все группы, ей изоморфные, в частности, формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Стандартные обозначения, закрепленные за некоторыми классами групп:

- класс всех групп;

- класс всех абелевых групп;

Бинарной алгебраической операцией на множестве называют отображение декартова квадрата во множество . Если - бинарная операция на , то каждой упорядоченной паре элементов из соответствует однозначно определенный элемент . Бинарную операцию на обозначают одним из символов: и т. д. Если, например, вместо условимся писать , то вместо пишем .

Говорят, что на множестве X определена бинарная операция (умножение), если для всех .

Если для всех , то операция называется ассоциативной.

Если для всех , то операция называется коммутативной.

Элемент называется единичным, если для всех .

Обратным к элементу называется такой элемент , что .

Полугруппой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножение), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т. е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т. е. для любых .

Группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на , т. е. для всех и ;

(2) операция ассоциативна, т. е. для любых ;

(3) в существует единичный элемент, т. е. такой элемент , что для всех ;

(4) каждый элемент обладает обратным, т. е. для любого существует такой элемент , что .

Группу с коммутативной операцией называют коммутативной или абелевой.

Если - конечное множество, являющееся группой, то G называют конечной группой, а число элементов в - порядком группы .

Также группой называется непустое множество с бинарной алгебраической операцией (умножением), удовлетворяющей следующим требованиям:

(1) операция определена на ;

(2) операция ассоциативна;

(3) уравнения , имеют решения для любых элементов .

Подмножество группы называется подгруппой, если - группа относительно той же операции, которая определена на группе . Для подгруппы используется следующее обозначение: . Запись читается так: - подгруппа группы .

Также можно дать следующее определение подгруппы конечной группы. Непустое подмножество конечной группы называется подгруппой, если для всех и

Собственной называется подгруппа, отличная от группы.

Пусть - группа, и . Правым смежным классом группы по подгруппе называется множество всех элементов группы вида , где пробегает все элементы подгруппы .

Аналогично определяется левый смежный класс

Если - конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе также будет конечно, оно называется индексом подгруппы в группе и обозначается через .

Подгруппа называется нормальной подгруппой группы , если для всех . Запись читается так: - нормальная подгруппа группы Равенство означает, что для любого элемента существует элемент такой, что .

Пусть - нормальная подгруппа группы . Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы по подгруппе , т. е. . Группа называется факторгруппой группы по подгруппе и обозначается через .

Условимся через обозначать совокупность всех подгрупп группы , содержащих подгруппу . В частности, = S - совокупность всех подгрупп группы , а .

Каждая нормальная подгруппа группы определяет цепочку . Обобщая эту ситуацию, цепочку

вложенных друг в друга нормальных подгрупп группы называют нормальным рядом в .

Ряд называется субнормальным, если выполняется более слабое условие: каждый предыдущий его член есть нормальная подгруппа следующего члена, т. е. для

Члены субнормальных рядов называются субнормальными подгруппами (если подгруппа субнормальна в , то пишут ().

Ясно, что каждый нормальный ряд является субнормальным.

Собственная подгруппа неединичной группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от всей группы , т. е. если из условия следует, что или . Для максимальной подгруппы неединичной группы используется запись

В абелевой группе любые два элемента перестановочны. Если группа неабелева, то в ней существуют неперестановочные элементы, т. е. такие элементы и , что . Поэтому естественно рассмотреть элемент , для которого . Отсюда .

Коммутатором элементов и называют элемент , который обозначают через . Ясно, что .

Подгруппа, порождённая коммутаторами всех элементов группы , называется коммутантом группы и обозначается через . Таким образом, .

Для любой неединичной подгруппы можно построить цепочку коммутантов

Если существует номер такой, что , то группа называется разрешимой.

Если - непустое подмножество группы и , то

Элемент называется перестановочным с подмножеством , если . Равенство означает, что для любого элемента существует такой элемент , что . Если элемент перестановочен с подмножеством , то

Совокупность всех элементов группы , перестановочных с подмножеством называется нормализатором подмножества в группе и обозначается через . Итак,

Пусть и - мультипликативные группы. Отображение называется гомоморфизмом группы в группу , если для любых и .

Если - подмножество группы , то образ при гомоморфизме , а - образ гомоморфизма . Образ гомоморфизма также обозначают через .

Ядром гомоморфизма называется множество где - единичный элемент группы . Другими словами, в ядре собраны все элементы группы , переходящие при отображении в единичный элемент группы .

Гомоморфизм называется мономорфизмом, если . Из леммы 1 следует, что гомоморфизм является мономорфизмом тогда и только тогда, когда отображение - инъекция.

Если , то гомоморфизм называется эпиморфизмом. Ясно, что в этом случае - сюръекция.

Гомоморфизм, который одновременно является мономорфизмом и эпиморфизмом, будет изоморфизмом.

Теорема 1.1 (Теорема о соответствии) Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если - подгруппа группы и , то - подгруппа факторгруппы ;

(2) каждая подгруппа факторгруппы имеет вид , где - подгруппа группы и ;

(3) отображение является биекцией множества на множество ;

(4) если , то - нормальная подгруппа группы тогда и только тогда, когда - нормальная подгруппа факторгруппы .

Лемма 1.2 Пусть - гомоморфизм группы в группу . Тогда:

(1) единичный элемент группы переходит в единичный элемент группы , т. е. ;

(2) обратный элемент переходит в обратный, т. е. для всех ;

(3) образ гомоморфизма является подгруппой группы