Дипломная работа на тему "Алгебраические системы замыканий"
Главная → Математика → Алгебраические системы замыканий
Страшно ошибиться с выбором?
МЫ ЗАМОРОЗИЛИ ЦЕНЫ + СКИДКИ!
Для вас:
- только проверенные авторы;
- работа со всеми системами антиплагиата (до 98%);
- соблюдение сроков;
- бесплатные доработки;
- ведение до защиты.
***
Дипломные - с ВЫГОДОЙ 15% - промокод dpl15
***
Курсовые с ВЫГОДОЙ 10% - промокод kyr10
Узнать стоимость и оформить заказ
Профессиональная помощь с диссертацией - кликайте сюда!
Содержание
Введение.. 3
§1. Основные понятия и примеры.. 6
§2. Связь систем замыканий с операторами замыкания. 13
§3. Алгебраические системы замыканий. 16
§4. Соответствия Галуа. 20
§ 5. Задачи. 27
Библиографический список.. 32
ВведениеВажную роль в математике играет множество подалгебр данной алгебры относительно отношения включения 
. Оно образует полную решётку с некоторыми характерными свойствами. Понятие замыкания также играет важную роль в алгебре и топологии. В данной дипломной работе рассматриваются основные свойства систем замыканий на множествах, взаимосвязь систем замыканий с операторами замыкания и соответствиями Галуа. Соответствия Галуа представляют собой достаточно интересный класс объектов. Они возникли и получили своё название из теории Галуа, но спустя некоторое время стали применяться не только в самой теории, но и во многих других областях математики. В данной работе соответствия Галуа будем рассматривать в качестве одного из наиболее важных примеров систем замыканий.
Целью квалификационной работы является изучение абстрактных систем замыканий на множестве.
Задачи:
1. рассмотреть понятие системы замыкания, проиллюстрировать это понятие на примерах;
2. сформулировать и доказать теорему о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания;
3. рассмотреть понятие алгебраических систем замыканий, сформулировать и доказать теорему об описании структуры алгебраических систем замыканий;
4. рассмотреть понятие соответствия Галуа, примеры соответствий Галуа. Установить связь соответствий Галуа с системами замыканий.
Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com
Уникальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам скачать любые работы по требуемой вам теме. Грамотное написание дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Новокузнецке и в других городах России.
Исходя из цели и задач, дипломная работа состоит из пяти параграфов. В качестве первого шага введём необходимые определения и докажем ряд простых предложений. Этому отводится параграф 1.
В параграфе 2 докажем основную теорему об операторе замыканий, которая даёт прямой выход на соответствия Галуа.
В параграфе 3 сформулируем и докажем одну из наиболее важных теорем о структуре алгебраических систем замыканий.
Параграф 4 будет полностью посвящен соответствиям Галуа: определение, основные примеры и их связь с системами замыканий.
Последний параграф посвящен решению задач.
Основной литературой при написании квалификационной работы стали монографии Кона П. ([1]) и Куроша А. Г. ([2], [3]). Остальные источники ([4], [5], [6], [7]) использовались как дополнительная справочная литература.
Для удобства в данной работе использованы следующие обозначения:
∆ – начало доказательства;
▲ – конец доказательства.
В работе принята сквозная двойная нумерация примеров, где первое число – номер параграфа, а второе – номер примера в параграфе.
Основными результатами работы являются:
1. доказательство теоремы о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания: Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий D = {XA | (X) = X}.
2. доказательство теоремы о структуре алгебраических систем замыканий: Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.
3. установление связи соответствий Галуа с системами замыканий на конкретных примерах.
4. решение задач.
§1. Основные понятия и примеры
Понятие упорядоченного множества является фундаментальным для современной теоретико-множественной математики, поэтому первым делом ведём именно это понятие и понятия с ним связанные.
Определение 1. Пусть L – непустое множество с бинарным отношением , которое является рефлексивным, транзитивным и антисимметричным. Тогда введенное отношение – отношение порядка. Множество L – упорядоченное множество.
Определение 2. Упорядоченное множество, в котором два элемента сравнимы, называется линейно-упорядоченным множеством или цепью.
Определение 3. Решеткой называется упорядоченное множество, в котором любые два элемента имеют точную верхнюю и точную нижнюю грани.
В качестве второго шага введём те определения и предложения, которые непосредственно связаны с темой дипломной работы и которыми будем пользоваться в дальнейшем.
Определение 4. Пусть A – произвольное множество и B (A) – его булеан, то есть множество всех его подмножеств. Будем рассматривать некоторые подмножества булеана B (A), или системы подмножеств множества A. Система D подмножеств множества A называется системой замыканий, если само множество A принадлежит D и система D замкнута относительно пересечений, то есть
∩Y D для любой непустой подсистемы YD.
Так как система замыканий замкнута относительно произвольных пересечений, то из предложения 1 следует, что система замыканий является полной решеткой (относительно упорядоченности по включению). Но это не обязательно подрешетка в B (A), так как операция объединения в D, вообще говоря, отлична от этой операции в B (A).
Одним из примеров системы замыканий является следующий:
Пример 1.1: Система всех подгрупп группы G является системой замыканий, так как G является подгруппой в G и пересечение любого непустого семейства подгрупп группы G само будет подгруппой в G.
Введем ещё одно важное понятие – понятие оператора замыкания на множестве.
Определение 5. Оператором замыкания на множестве A называется отображение множества B (A) в себя, которое подчиняется следующим трём аксиомам:
J. 1. X (X);
J. 2. Если , то (X)(Y);
J. 3. (X) = (X)
для всех X, YB (A).
Для каждой системы замыканий D на множестве A можно определить оператор замыкания равенством
(X) = ∩{YD | YX} для всех XA.
Отметим, что группа аксиом J. 1 – J. 3 является независимой. Покажем это.
Приведём пример отображения, при котором выполняются аксиомы J. 2, J. 3, а аксиома J. 1 не выполняется. Каждому подмножеству X множества A поставим в соответствие пустое множество. Очевидно, что при таком задании оператора не выполняется лишь первая аксиома.
Отображение , при котором выполняются только аксиомы J. 1, J. 2, определим так. Пусть A = {a, b, c}, опишем оператор следующим образом: каждому элементу поставим в соответствие множество, состоящее из самого этого элемента и элемента, находящегося рядом с ним. Пустое и само множество A при этом отображении переходят в себя:
, AA;
{a}{a, b}, {b}A, {c}{b, c};
{a, b}A, {a, c}A, {b, c}A.
Очевидно, что первая и вторая аксиомы выполняются, а третья не выполняется, так как (a) = A≠{a, b} = (a).
Пример отображения, при котором не выполняется только аксиома J. 2 следующий. Пусть A = {a, b, c}. Отображение зададим так: пустое, все двухэлементные подмножества и само множество A переходят в себя, а всем одноэлементным подмножествам поставим в соответствие множество A:
, AA;
{a}A, {b}A, {c}A;
{a, b}{a, b}, {a, c}{a, c}, {b, c}{b, c}.
Очевидно, что аксиома J. 2 не выполняется, так как {a}{a, b}, но ({a}) = A{a, b} = ({a, b}).
Следовательно, мы показали, что система аксиом J. 1 – J. 3 будет независима.
Одним из видов операторов замыкания является алгебраический оператор замыкания. Дадим определение.
Определение 6. Оператор замыкания на множестве A называется алгебраическим, если для любых XA и aA
а(X) влечет a (F)
для некоторого конечного подмножества F множества X.
С определением алгебраического оператора замыкания тесно связано понятие алгебраической системы замыканий.
Определение 7. Система замыканий D на множестве A называется алгебраической, если соответствующий оператор замыкания является алгебраическим, то есть для любого XA
a{ D D : X D} влечёт a{ D D : F D}
для некоторого конечного FX.
Приведём один из наиболее важных примеров оператора замыкания, который широко применяется в топологии. Этот оператор ставит в соответствие каждому подмножеству X топологического пространства A его замыкание.
Пример 1.2: Пусть – топологическое пространство. Введем на множестве A отображение , заданное следующим образом: X [X], где [X] – замыкание множества XA. Покажем, что – оператор замыкания на множестве A.
Для этого проверим выполнимость свойств J. 1 – J. 3.
1) Если XY, то [X] [Y].
Возьмем x0 [X]. Тогда любая окрестность точки x0 содержит точки множества Xв любой окрестности точки x0 содержатся точки множества Yx0 [Y].
2) X [X].
Каждая точка множества является его точкой прикосновения. Значит, каждая точка множества X лежит и в [X].
3) [[X]] = [X]. Докажем методом двойного включения.
a) [X][[X]]. Доказано во втором пункте.
b) x0 [[X]] Возьмем U (x0), для неё y0 U (x0) [X] y – точка прикосновения множества X U (y0) найдутся точки множества X. Возьмем U (y0) U (x0), z0 U (y0) X. Отсюда z0 U (x0) X. Тогда x0 – точка прикосновения множества X x0 [X]. Таким образом, [[X]] [X].
Пример 1.3: Каждому множеству X точек плоскости A = R2 поставим в соответствие его выпуклую оболочку . Ясно, что X оператор замыкания на множестве A.
Предложение 1. Если A – такое упорядоченное множество с наибольшим элементом, в котором каждое подмножество обладает точной нижней гранью, то A является полной решеткой.
Доказательство:
∆ Заметим, что если каждое подмножество точной нижней гранью обладает, следовательно, ей обладает и пустое множество, то есть в A существует наибольший элемент.
Требуется доказать, что A – полная решетка, то есть любое непустое подмножество имеет наибольший и наименьший элемент.
Рассмотрим XA, Y – множество всех верхних граней множества X в A и положим y = inf Y. Тогда любой элемент из X будет нижней гранью множества Y и, следовательно, xy для любого xX; если также xz для любого xX, то zY и, следовательно, yz. Поэтому y = sup X. ▲
Определение 8. Упорядоченное множество (I,) называется направленным, если для любых i, jI существует такой элемент kI, что ik, jk, то есть для любого двухэлементного множества из I существует верхняя граница.
Предложение 2. Пусть A – упорядоченное множество; тогда следующие три условия эквивалентны:
(i) Каждое непустое направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань.
(ii) Каждая непустая цепь множества A имеет точную верхнюю грань.
Доказательство:
∆ Каждая вполне упорядоченная цепь является цепью, и каждая цепь направлена, следовательно, (i)(ii); чтобы закончить доказательство, покажем, что (ii)(i). Возьмем максимальную цепь, в ней существует точная верхняя грань. Тогда по лемме Цорна и направленное подмножество множества A имеет точную верхнюю грань. ▲
Предложение 3 (лемма Цорна). Непустое упорядоченное множество, в котором каждая цепь обладает верхней гранью, имеет максимальный элемент, точнее для любого элемента a из A существует элемент ba, являющийся максимальным в A.
Лемма Цорна была предложена в 1935 году. Она часто заменяет рассуждения, основанные на таких эквивалентных ей принципах, как принцип максимальности Хаусдорфа, аксиома выбора, теорема Цермело о вполне упорядоченности.
Можно показать эквивалентность этих утверждений лемме Цорна, но мы не будем этого делать, так как это не является целью дипломной работы. Лемма Цорна принимается нами в качестве аксиомы.
§2. Связь систем замыканий с операторами замыканияВ параграфе 1 были даны определения систем замыканий и операторов замыкания. Между ними существует взаимосвязь. Сформулируем эту взаимосвязь в качестве теоремы и докажем её.
Теорема 1. Каждая система замыканий D на множестве A определяет оператор замыкания на A по правилу
(X) = ∩{Y D | YX}.
Обратно, каждый оператор замыкания на A определяет систему замыканий
D = {XA | (X) = X}.
Доказательство:
∆ 1) Пусть дана система замыканий D и оператор , определенный по правилу (X) = ∩{Y D | YX}. Докажем, что – оператор замыкания. Для этого проверим выполнимость условий J. 1 – J. 3. Этот оператор удовлетворяет условиям J. 1 – 2 по определению. По условию, D – система замыканий. Тогда
(X) = XXD, (1)
так как (X) D, то отсюда вытекает J. 3.
2) Обратно, пусть задан оператор замыкания (удовлетворяющий J. 1 – 3) и пусть
D = {XA | (X) = X}. (2)
Докажем, что D – система замыканий. Если (Xi)iI – произвольное семейство в D и ∩Xi = X, то XXi; следовательно, по J. 1. (X)(Xi) = Xi для всех i, и поэтому
(X)∩Xi = X.
Вместе с условием J. 2 это показывает, что (X) = X, то есть XD. Таким образом, с помощью мы построили систему замыканий D.
3) Покажем, что соответствие D взаимно однозначно.
Во-первых, пусть D – произвольная система замыканий, – оператор, определенный равенством (X) = ∩{YD | YX} для всех XA, и D ' – система замыканий, определенная оператором по формуле (2). Тогда D ' = D в силу (1). Возьмем затем произвольный оператор замыкания , и пусть D – система замыканий, определенная оператором по формуле (2), а ' – оператор, определенный системой D по формуле (X) = ∩{YD | YX}. Как только что было показано, D тогда также определяется оператором ', и, следовательно,
(X) = X '(X) = X. (3)
В силу J. 3, (X) = (X); поэтому из (3) вытекает, что '(X) = (X). Но X(X) и, применяя ' получаем '(X) '(X) = (X), а обратное включение следует из соображений симметрии. ▲
Системы замыканий и операторы замыкания могут быть определены на любой полной решётке L и соотношения между ними, установленные в теореме 1, сохраняются.
На самом деле теорема 1 является частным случаем соответствующей теоремы (при L = B (A)) для произвольной полной решётки L.
Элементы системы D называются замкнутыми множествами множества A, а (X) называется замыканием множества X в A ((X) на самом деле замкнуто в силу J. 3). Как было отмечено, D является полной решеткой относительно . Точнее, если задано некоторое семейство (Xi)iI в D, то множество ∩Xi будет наибольшим замкнутым множеством, содержащимся во всех множествах Xi, а ∩{YD | YXi для всех iI} – наименьшим замкнутым множеством, содержащим все множества Xi.
§3. Алгебраические системы замыканий
Начнем с понятия алгебраической операции.
Пусть A – универсальная алгебра с множеством алгебраических операций Ω. Каждая операция ω из Ω имеет определённую арность n, nN{0}.
Для любого натурального n n-арная операция ω – это отображение из An в A, то есть каждой упорядоченной n-ке {a1; …; an}An операция ω ставит в соответствие однозначно определённый элемент ω(a1; …; an) из A.
В случае п = 1 это будет любое преобразование множества A (отображение A в себя).
Если n = 0, то a0 – это одноэлементное множество и 0-арная операция ω переводит элемент a0 в некоторый элемент ω(a0) = ω из A, то есть 0-арная операция ω фиксирует некоторый элемент в A: является некоторым выделенным элементом алгебры A.
Если дана универсальная алгебра A с множеством алгебраических операций Ω, то подмножество BA называется подалгеброй алгебры A, если оно замкнуто относительно всех операций из Ω. Иными словами, для любого ωΩ, n1, и любых а1, а2, …, ап B должно быть
ω(а1, а2, …, ап)B.
С другой стороны, элементы, отмечаемые в A всеми 0-арными операциями из Ω (если такие существуют), должны содержаться в подалгебре B.
Очевидно, что пересечение любой системы подалгебр универсальной алгебры A, если оно не пусто, будет подалгеброй этой алгебры.
Отсюда следует, что если X – непустое подмножество алгебры A, то в A существует наименьшая среди подалгебр, содержащих целиком множество X. То есть существует наименьшая подалгебра в A, содержащая X и она равна пересечению всех подалгебр алгебры A, содержащих X. Обозначим её через и назовём подалгеброй, порожденной множеством X.
Стоит отметить, что пересечение подалгебр может быть пустым, если множество алгебраических операций Ω алгебры не содержит 0-арных операций.
Заметим, что система S(А) всех подалгебр алгебры A является алгебраической системой замыканий, то есть соответствующий оператор замыкания X является алгебраическим.
Очевидно, что соответствие X является оператором замыкания. Проверим, является ли он алгебраическим.
Возьмём a, тогда a будет принадлежать и , где – конечное подмножество множества X, так как элемент a получается путём применения конечного числа конечноместных n-арных операций ωΩ.
Справедливо и обратное утверждение:
Если D – произвольная алгебраическая система замыканий на множестве A, то для подходящего набора алгебраических операций Ω и соответствующей структуры универсальной алгебры на A, имеем S(A) = D.
Для доказательства обозначим через (X) оператор замыкания для алгебраической системы замыканий D на множестве A. Зададим алгебраические операции на A следующим образом. Каждой n-ке a1, …, anA, где nN, и произвольному элементу b({a1, …, an}) поставим в соответствие свою n-арную операцию ω, определенную следующим правилом:
ω(x1, …, xn) = (4)
Это определяет структуру универсальной алгебры на A, где для каждого натурального числа n операции из Ω заданы формулой (4). Таким образом определено бесконечно много алгебраических операций на множестве A, если A бесконечно.
Пусть Ω(X) = – оператор замыкания, соответствующий системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A. Проверим, что (X) = Ω(X).
Пусть XA и предположим сначала, что X конечно, то есть X = {c1, …, cm}. Тогда (X)Ω(X) по определению (4) алгебраических операций ω.
C другой стороны, так как (X) = (X), то для любой n-ки a1, …, an(X) и для любой n-арной операции ωΩ ω(a1, …, an)({a1, …, an})(X) = (X). Поэтому (X) является подалгеброй алгебры и, значит, Ω(X)(X).
Пусть теперь X – произвольное подмножество множества A, тогда, так как оба оператора замыкания (X) и Ω(X) – алгебраические (первый по предположению, а второй в силу доказанного выше), имеем
(X) = (X ') = Ω(X ') = Ω(X),
где X ' пробегает конечные подмножества множества X.
Итак, доказан следующий результат:
Теорема 2. Система S(A) подалгебр универсальной алгебры A является алгебраической системой замыканий. Обратно, если дана алгебраическая система замыканий D на множестве A, то для подходящего множества алгебраических операций Ω можно определить такую структуру универсальной алгебры на A, что S(A) = D.
Полученный выше результат можно использовать при построении оператора замыканияΩ(X), соответствующего системе S(A) подалгебр универсальной алгебры A.
Отметим, что примеры 1 и 3 дают алгебраические системы замыканий, а система замкнутых множеств топологического пространства (пример 2), как правило, не алгебраическая.
§4. Соответствия Галуа
Соответствия Галуа могут определятся разными взаимосвязями, имеющимися между различными понятиями. Нам будет наиболее интересен тот факт, что соответствия Галуа являются одним из наиболее важных примеров систем замыканий.
Для начала сформулируем понятие соответствия Галуа.
Пусть M и M ' упорядоченные множества, в которых отношение порядка обозначаются одинаково . И пусть указаны отображения
φ: M M ' и ψ: M ' M, удовлетворяющие (для любых a, bM, a ', b 'M ') следующим требованиям:
a) если ab, то aφbφ,
если a 'b ', то a 'ψb 'ψ,
b) aφψa, a 'ψφa '.
Тогда пара (φ, ψ) называется соответствием Галуа между упорядоченными множествами M и M '.
Данное определение наиболее общее и формальное.
Рассмотрим теперь более конкретное задание соответствия Галуа, переобозначив отображения φ и ψ одинаково – символом *. Но при этом будем иметь в виду, что эти отображения всё-таки разные.
Пусть A и B – некоторые множества и Ф – соответствие из A в B, то есть подмножество прямого произведения AB. Для любого подмножества X множества A определим подмножество X* множества B равенством
X* = {yB | (x, y) Ф для всех xX}
и аналогично для любого подмножества Y множества B определим подмножество Y* множества A равенством
Y* = {xA | (x, y) Ф для всех yY}.
Таким образом, имеем отображения
XX*, YY* (5)
множеств B (A), B (B) друг в друга, обладающие следующими свойствами:
если X1 X2, то X1* X2*; (6)
если Y1 Y2, то Y1* Y2*;
XX**, YY**; (7)
X*** = X*, Y*** = Y*. (8)
Условия (6) и (7) вытекают непосредственно из определений; если (6) применить к (7), получаем X* X***, в то время как (7), примененное к X*, дает обратное неравенство. Таким образом, любые отображения (5), удовлетворяющие (6) и (7), удовлетворяют также (8).
Пара отображений (5) между булеанами B (A) и B (B) с отношением включения , или в более общем случае между любыми упорядоченными множествами, называется соответствием Галуа, если выполняются условия (6), (7) (и, следовательно, (8)).
Приведём наиболее интересные примеры соответствий Галуа.
Пример 4.1: Пусть R – коммутативное кольцо с единицей. Определим соответствие в R правилом xy. Это соответствие устанавливает, в частности, соответствие Галуа между простыми идеалами кольца R и некоторыми мультипликативно замкнутыми подмножествами кольца R.
Идеал P кольца R назовём простым, если для a, bR: a∙bPaP или bP.
Возьмем простой идеал P кольца R. Поставим ему в соответствие множество P* = {yR: xy для всех xP} = R\P – замкнутое относительно умножения.
Возьмем мультипликативно замкнутое подмножество Y. Поставим ему в соответствие множество Y * = {xR: xy для всех y Y} = R\Y – простой идеал.
Покажем выполнимость свойств.
Если P1 P2, то R\P1 R\P2 − очевидно, так как R\P1 является дополнением к P1, а R\P2 – дополнением к P2. Аналогично для Y 1 Y 2.
Возьмем подмножество P из множества простых идеалов R. Поставим ему в соответствие множество P* = R\P, а P* поставим в соответствие P** = R\(R\P) = PP P**.
Аналогично доказываются эти свойства для Y 1 Y 2.
Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.
Пример 4.2: В кольце A каждому его подмножеству X отвечает (левый) аннулятор, состоящий из тех элементов aA, для которых a∙x= 0 для каждого x из X:
Ann Х = {aA|xX a∙x = 0}.
Для подмножества X множества A определим подмножество X* множества A равенством
X* = {aA | a∙x = 0 для всех xX} = Ann Х
и аналогично для любого идеала I кольца A определим подмножество I* множества A равенством
I* = {xA | a∙x = 0 для всех aI} = Ann I.
Заметим, что в этом примере Ф = {(a, b)A2 | a∙b = 0}.
Таким образом, построены отображения XX* = Ann Х, II* = Ann I. Проверим, является ли построенное соответствие соответствием Галуа.
1) Пусть X1 X2. Тогда X1 Ann Х1 = {aA | a∙x = 0 для всех xX1} и X2 Ann Х2 = {aA | a∙x = 0 для всех xX2}. Пусть aAnn Х2, aХ2 = 0, X1 X2 aХ1 = 0aAnn Х1. Следовательно, AnnХ1AnnХ2 или X1* X2*. Для I1 I2 аналогично получаем I *1 I *2.
2) Поставим множеству X в соответствие множество X* = Ann Х = I, а X* поставим в соответствие I* = Ann I = Ann(Ann Х). Если x Х, тогда a∙x = 0 для aAnn Х xAnn(Ann Х). Следовательно, XX**.
Аналогично получаем II**, если поставить множеству I в соответствие множество I* = Ann I = X, а I * поставить в соответствие X* = Ann X = Ann(Ann I).
Таким образом, построенное соответствие есть соответствие Галуа.
Пример 4.3: В группе G каждому подмножеству A соответствует централизатор C, который состоит из всех элементов c, коммутирующих с каждым элементом a из A:
C = {cG: для всех aA a - c = c - a}.
Пример 4.4: В евклидовом пространстве V каждому подмножеству A множества V отвечает множество, состоящее из всех векторов, ортогональным векторам из A:
A = {aA: для всех xV xa},
так что определена связь Галуа для подмножеств V. Здесь xЗдесь опубликована для ознакомления часть работы "Алгебраические системы замыканий". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш преподаватель!
