Дипломная работа на тему "Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля"

ГлавнаяПедагогика → Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Организация и содержание элективного курса "Основы теории вероятностей и математической статистики" в классах оборонно-спортивного профиля":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физи ко-математический факультет

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Организация и содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивного профиля

Выполнил

студент V курса физи ко-математического факультета

(специальность 050201.65 Математика)
Селюнин Александр Геннадьевич

Научный руководитель:

канд. пед. наук, ст. преп. кафедры

дидактики физики и математики

Горев Павел Михайлович

Рецензент:

канд. пед. наук, доцент кафедры

дидактики физики и математики

Шилова Зоя Вениаминовна

Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Уникальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам приобрести любые проекты по требуемой вам теме. Оригинальное написание дипломных работ по индивидуальным требованиям в Омске и в других городах РФ.

«___»__________2008 г. Зам. зав. кафедройМ. В. Крутихина

«___»__________2008 г. Декан факультетаЕ. В. Кантор

Киров, 2008

Содержание

Введение

Глава 1. Элективные курсы в профильной школе

1.1..................... Профильная школа в условиях модернизации образования

1.2........................... Предпрофильная подготовка учащихся средней школы

1.3......................................................... Элективные и факультативные курсы

1.4......................................... Особенности элективных курсов по математике

Глава 2. Методика изучения элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивного профиля

2.1. Содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики»

2.2. Основные принципы построения методики изучения элективного курса

2.3.................... Методика использования практико-ориентированных задач

2.4. Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

2.5. Содержание и анализ результатов опытной работы

Заключение

Библиографический список

Приложения

Введение

В настоящее время невозможно представить спорт и физическую культуру без науки. Правильно организованное физическое воспитание школьника, способствующее укреплению его здоровья, эффективная тренировка спортсмена, результатом которой является рост спортивных рекордов, строится на научных основах.

Наука – это точное знание, собирающее факты, и во всех них присутствуют цифры. При оценке успеваемости учеников учителем, при подсчитывании результатов на соревнованиях и т. д. – при всем этом оперируют числами, и в этом уже есть зачатки науки. Еще более научным является сбор материала для того, чтобы выявить некоторую закономерность, систему. Например, при систематизации спортивных рекордов в беге, плавании, конькобежном спорте привело к установлению общего математического закона. Подсчет количества килограммов, поднимаемых тяжелоатлетами на тренировках, и сопоставление его со спортивными достижениями позволили определить тренировочную нагрузку, которая дает наилучший результат. При анализе индивидуальной тренировочной нагрузки элементами исследуемой совокупности могут быть отдельные значения интенсивности или объема нагрузки, зарегистрированные у конкретного спортсмена в различные периоды времени. Каждый элемент совокупности может обладать рядом признаков, при этом одни признаки могут быть однородными, а другие могут изменяться. Например, элементами совокупности могут быть спортсмены – представители одного вида спорта, одинаковой квалификации, одинакового возраста, но различными могут быть показатели роста, веса, скорости движения и т. д.

Предметом изучения как раз и являются изменяющиеся признаки. Значение, принимаемое данной величиной, в каждом случае зависит от ряда факторов, которые обычно заранее не известны. Закономерности присущие подобным величинам, получили название случайных, изучаются теорией вероятностей и математической статистикой [15].

Математическая статистика устанавливает перспективность спортсменов, условия более благоприятные для тренировок и их эффективность. Также статистика помогает сделать объективные и научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности. Использование методов математической статистики помогает сделать объективные, научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности.

Все сказанное выше позволяет сделать вывод об актуальности вероятностно-статистической линии для лиц, занимающихся спортом высоких достижений и необходимости включения в программу классов оборонно-спортивного профиля элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики».

Цель данной работы – на основе анализа психолого-педагогической, математической и методической литературы определить содержание и разработать методику изучения основ теории вероятностей и математической статистики для школ и классов оборонно-спортивного профиля.

Для достижения поставленной цели нужно решить следующие задачи:

1)  изучить психолого-педагогическую и математико-методическую литературу по теме исследования;

2)  разработать методические рекомендации для преподавания элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивного профиля;

3)  разработать систему задач элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» и адаптировать ее к условиям, близким к классам оборонно-спортивного профиля;

4)  проверить эффективность предлагаемой методики в опытном преподавании в условиях, близких к классам оборонно-спортивного профиля.

Гипотеза исследования заключается в том, что систематическое и целенаправленное изучение теории вероятностей и математической статистики в классах оборонно-спортивного профиля способствует осознанному умению применять полученные знания на практике, повышает уровень эффективности обучения, способствует развитию и поддержанию интереса к математике, а так же развитию различных форм мыслительной деятельности школьников.

Объект исследования – процесс обучения математике в классах оборонно-спортивного профиля в средней школе. Предмет исследования – изучение вероятностно-статистической линии в профильных классах.

Для реализации поставленной цели и доказательства сформулированной гипотезы при осуществлении исследования применялись следующие методы исследования:

- изучение учебных пособий и методических материалов по теме исследования;

- анализ психологической, педагогической и математико-методической литературы по рассматриваемой проблеме исследования;

- наблюдение за деятельностью учащихся;

- опытное преподавание.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка (27 источников) и приложений.

Глава 1. Элективные курсы в профильной школе

  1.1. Профильная школа в условиях модернизации образования

В последние годы резко повысилась роль образования в жизни каждого человека. Учение на протяжении всей жизни как единственно возможный в современных условиях способ жизнедеятельности человека – необходимая предпосылка и условие для эффективной деятельности во всех сферах общественного и личного бытия, а также поступательного развития человеческого общества. Для выполнения данных задач требуется образование иного качества, чем раньше [13].

В условиях постоянного возрастания объема информации человеку нужно уметь ориентироваться в ней, уметь ставить перед собой цель, достигать ее, уметь адекватно оценивать себя и прогнозировать развитие дальнейших событий. Но в массовой школе преобладает традиционная модель обучения, ориентированная на усвоение знаний, умений и навыков в каждой области знаний. В результате этого в образовании появляются различные противоречия. Также у многих учащихся школ не сформирована потребность в своём дальнейшем саморазвитии и получении образования после окончания школы, нет также устойчивой мотивации на приложение усилий для получения качественного профессионального образования, слишком рано, уже в школьный период, наступает замедление процессов развития учащихся как личности. Это и есть неудовлетворительные результаты, которые должна устранить профильная школа.

В наше время активно модернизируется вся система образования. Данная модернизация направлена на значительное обновление содержания и процесса обучения, а именно:

- введение системно-деятельностного и личностно-ориентированного подходов к обучению и воспитанию;

- формирование самостоятельной учебно-познавательной активности учащихся.

Таким образом, после модернизации школа должна будет предоставить учащимся возможность самообучения, саморазвития и самосовершенствования в различных направлениях.

Одним из направлений для модернизации является переход к профильной школе. Профильное обучение предоставляет новые возможности в организации учебно-воспитательного процесса в школе. Профильная школа может способствовать осознанному профессиональному самоопределению и необходимой социальной зрелости ученика.

Согласно реформе образования в двух последних классах каждому гражданину России должна быть предоставлена возможность выбора одной из 5-6 программ: гуманитарной, естественнонаучной, математики и информатики, экономики и права, технической, эколого-аграрной. Каждый школьник должен иметь возможность получить профильное образование за счет государства. Профильная школа позволит преодолеть не только формальный универсализм старшей школы, но и объективный разрыв между требованиями вуза и возможностями системы общего образования. Такую школу предполагалось сделать к 2004-2005 годам. На данный момент во многих школах сделаны профильные классы, однако вопросы перехода к профильному образованию не достаточно проработаны.

Исследования показали, что в школах по-разному понимают особенности профильного обучения, как правило, затруднения связаны с преодолением его содержания, комплектования методического сопровождения. Также, согласно исследованиям, профильное обучение дает положительные результаты [13].

В соответствии с одобренной Минобразованием России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в старших классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг задач, приоритетных для курсов каждого типа [9].

Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариативную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся.

Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию.

Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.

Ранее было сказано, что профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, таким образом, переход к профильному обучению преследует следующие цели:

- обеспечить углублённое изучение отдельных дисциплин программы полного общего образования;

- создать условия для значительной дифференциации содержания обучения старшеклассников, с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

- способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям учащихся в соответствии с их индивидуальными склонностями и потребностями;

- расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, в том числе более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

1.2. Предпрофильная подготовка учащихся средней школы

Как уже было сказано, в старшей школе каждый учащийся может выбрать один из 5-6 профилей: гуманитарный, естественнонаучный, математики и информатики, экономики и права, технический, эколого-аграрный. У многих школьников выбор является случайным, не вполне соотносится с реальными способностями и возможностями. Недостаточны знания выпускников о рынке труда и востребованных профессиях, о тех способах образования, которыми их можно получить. Школьники не владеют знаниями, необходимыми для выстраивания реалистичных жизненных планов [22].

Именно на решения таких проблем и направлена предпрофильная подготовка. Для начала выясним, что понимается под этими словами.

Под предпрофильной подготовкой понимается система педагогической, психолого-педагогической, информационной и организационной деятельности, способствующей самоопределению учащихся относительно профилей дальнейшего обучения и сферы профессионального развития.

В связи с этим можно выделить задачи предпрофильной подготовки:

- подготовить ученика к осознанному выбору профиля;

- организовать пробы выбора;

- познакомить учащихся с различными профессиями.

В предпрофильной подготовке большое значение имеют курсы по выбору, среди них выделяют предметные, межпредметные и ориентировочные.

Содержание предметных курсов основывается на определенной предметной области и своей целью имеет углубление или расширение программного материала или его существенное дополнение, цель таких курсов – подготовить к поступлению в профильные классы и совершить осознанный выбор.

В межпредметных курсах содержание интегрирует различные предметные области: русский язык и литературу; историю и литературу; математику и физику. Целью этих курсов является расширение познавательного интереса учащегося, развитие интереса к предмету, создание условий для осознанного выбора профиля в 10-11 классах.

Последний вид курсов по выбору – это ориентировочные курсы содержание таких курсов ориентировано на создание условий для ознакомления с какой-либо областью будущей профильной подготовки или погружение в специфическую профессиональную область. Цель – помочь определиться с выбором профиля обучения в 10-11 классах или с выбором будущей профессии.

Курсы по выбору могут реализовываться в различных формах: урок, практикум, погружение и так далее. Их продолжительность может быть различной (от 7 до 28 учебных часов), но они должны укладываться в рамки одной четверти, с тем, чтобы после проведения промежуточной аттестации учащийся мог выбрать другие курсы.

Учащемуся старшей школы не может быть отказано в выборе того или иного курса, предлагаемого данным образовательным учреждением. Учитывая разный уровень качества образовательных услуг в силу ресурсов, которыми располагает та или иная школа, а также других причин, можно предположить, что, в первую очередь в городах зачисление всех желающих учащихся в том или ином учебном году в конкретное образовательное учреждение может оказаться невозможным.

Для того чтобы сделать процедуру приема в конкретное образовательное учреждение для обучения на старшей ступени при наличии конкурса прозрачной и объективной, необходима дополнительная форма итоговой аттестации учащихся по окончанию основной школы. Поскольку данные этой аттестации могут потребоваться лишь в отдельных случаях, она должна быть минимально ресурсозатратна для учащегося и образовательного учреждения. Предлагается комплексная «внутришкольная» и «внешняя» аттестации. К «внутришкольной» относятся: итоговые оценки, портфолио, портфели личных достижений. К «внешней» аттестации относится ЕГЭ.

Таким образом, осваивая пробные курсы, учащиеся приспосабливаются к выбираемому профилю обучения. Очевидно, что присутствие курсов по выбору повышает вероятность того, что учащийся сделает осознанный выбор будущего профиля обучения в старшей школе.

1.3. Элективные и факультативные курсы

Перспективы введения профильного обучения в старшей школе вызвали интерес к такой форме образовательной деятельности как элективные курсы. Это достаточно новый вид дополнительных занятий в школе, поэтому выясним, чем они отличаются от факультативных курсов.

Выясним что такое факультативный курс. Это курс, в котором представляется материал, выходящий за рамки программ основных курсов, или углубляющий требования программ основных курсов. Также перед факультативным курсом обычно ставились задачи обучения учащихся решению определённого типа задач, на овладение которым не остаётся времени в основные часы [2]. В последние годы, в ситуации сокращения часов на систематические курсы по многим предметам, факультативные курсы использовались уже для освоения основного учебного материала. Если говорить о месте факультативов в сетке расписания, то следует отметить, что факультативные курсы проводились за счёт регионального и школьного компонента. Посещение факультативных курсов учащимися строилось на их свободном выборе.

Определим, что такое элективные курсы.

Согласно проекту стандарта общего образования, элективные курсы должны обеспечить как подготовку к выбору профиля в основной школе, так и сам процесс профильного обучения в старшей школе.

У них, действительно, есть общие черты с факультативами. По своему содержанию, они также ориентированы на углубление или дополнение материала систематических курсов, то есть на реализацию принципа дополнительности материала. По месту в сетке часов, они также схожи. Но ориентация элективных курсов во многом иная. Элективные курсы в основной школе должны помочь учащимся сформировать культуру выбора образовательного профиля. Этому должны служить курсы, с которыми знакомятся учащиеся в 8, 9 классах основной школы. На эту же цель, в конечном счёте, должны быть сориентированы и элективные курсы пропедевтического характера, реализуемые в 6, 7 классах. В старших классах элективные курсы, с одной стороны, должны выполнять функцию углубления знаний (в этом они схожи с факультативными курсами). С другой стороны, элективные курсы продолжают играть роль своеобразного компаса в выборе образовательно-профессиональной траектории.

Формирование культуры выбора у человека ещё на школьной скамье – это серьёзная проблема сегодняшнего общества. Например, наиболее типичные факторы выбора. Этот выбор определяется часто семьей, родителями. Симптоматичны и факторы выбора самих родителей. Часто они не помогают ребёнку самоопределиться в этой ситуации, а решают за него исходя из собственных представлений о будущем ребёнка. Часто учащийся в ситуации выбора действует по принципу подражания: «Мой друг пошёл в гуманитарный класс – и я с ним», «Сосед по площадке идёт в физи ко-математический класс – а чем я хуже?». Типичной так же является ситуация, когда дети связывают выбор образовательного профиля не с содержанием профиля образования, и не со своими собственными способностями и ценностными ориентирами, а с личностью учителя, ведущего тот или иной предмет. Любовь к учителю, восхищение им, обожание его – являются порой решающими факторами выбора для учащегося. Это особый вариант личностного подражания. Таким образом, ведущими факторами выбора образовательного профиля учащегося являются внешние, по отношению к личностному «я» школьника, факторы [19].

Элективные курсы призваны помочь развить навыки выбора образовательного профиля у учащихся. Предусмотренные небольшие объёмы элективных курсов (от 8 до 36 часов) позволяют учащемуся в течение года познакомиться с несколькими элективными курсами. Это фактор вариативности информации. Завершение обучения по элективным курсам предусматривает отчётность по результатам обучения, но в разнообразных и безотметочных формах. Одной из главных отличительных черт элективных курсов является то, что они обязательны по выбору.

Главная педагогическая задача учителя состоит в том, чтобы у учащегося на смену ценностям заимствованным – от родителей, взрослых, друзей, – появлялись свои собственные ориентиры. И это уже – реализация аксиологического подхода в образовании.

1.4. Особенности элективных курсов по математике

Как правило, элективный курс представляет собой глубоко рассмотренную отдельно взятую тему, которая рассматривается в течение одной четверти. Примером тем элективных курсов могут служить: «Системы счисления», «Задачи с параметрами», «Элементы комбинаторики и теории вероятностей» и т. д.

Элективный курс может углублять знания учащихся в темах общего курса, но также содержание курса может не иметь общих тем с основным курсом. Любой элективный курс нельзя представить без системы задач, соответствующих данному курсу. Задачи используются, как очень эффективное средство усвоения учащимися понятий, методов, теории, умений и навыков в практическом применении. Для успешного создания системы задач в литературе выделяют следующие принципы ее построения.

1.  Принцип преемственности. С помощью задач устанавливаются взаимосвязи между различными понятиями, суждениями, между различными темами и различными предметами. Решение задач помогает учащимся лучше понять и легче усвоить изучаемый материал. Все это говорит, о том, что задачи играют важную роль в изучении математики.

2.  Принцип связи теории с практикой. Задачи должны предшествовать и сопутствовать изучению теорем и понятий, то есть должны выступать в качестве средства усвоения знаний.

3.  Принцип полноты. Стремиться полно, отражать в системе задач математические идеи, а также устанавливать межпредметные связи.

4.  Принцип контрастности. Он ориентирован на то, что при подборе заданий надо не допускать повторяемости одних и тех же видов, при этом задания должны быть как с положительными и отрицательными ответами. Данный принцип предполагает уже на начальном этапе решать нестандартные упражнения. Количество нестандартных заданий должно быть не меньше трети от общего количества задач.

5.  Принцип обучения эвристическим приемам. В процессе решения задач происходит овладение методами научного познания. Среди эвристических приемов часто встречаются следующие: аналогия, индукция, прием элементарных задач, прием моделирования, введение вспомогательного элемента, нового неизвестного, обобщения, подстановки, и так далее. При этом одни приемы являются способом решения задачи, а другие показывают решения отдельных фрагментов задачи.

6.  Принцип формирования исследовательских умений. Под учебными исследованиями будем понимать вид познавательной деятельности, который связан с выполнением учебных заданий, предполагающих самостоятельный поиск учащимися новых для них знаний. Учебные исследования состоят из следующих этапов: постановка проблемы, выдвижение гипотез, доказательство или опровержение гипотез. Как правило, проблема формулируется самим учителем, доказательство или опровержение сводиться к доказательству математического факта. Основная задача ученика это выдвижение гипотез. Данная задача в учебных исследованиях основывается на основных эвристических приемах (аналогия, сравнение, анализ и так далее). Задания исследовательского характера обладают большой развивающей ценностью и имеют большую методическую значимость. Они помогают ученику глубже освоить материал, также дают толчок к самостоятельному изучению материала необходимого для данного исследования [12].

По завершению всего материала необходимо провести контроль усвоения изученного материала. Он может быть осуществлен выполнением учениками проекта по изученной теме, выполнением контрольной работы.

Создание элективных курсов – важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения.

Глава 2. Методика изучения элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» в классах оборонно-спортивного профиля

2.1. Содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики»

Как уже ранее говорилось, в научно методической литературе выделяют три типа элективных курсов: предметные, межпредметные и не входящие в базисный учебный план.

Наша задача составить содержание элективного курса, не входящего в базисный учебный план. Для того, чтобы определить содержание элективного курса по теме «Вероятностно-статистические методы в спорте», необходимо выяснить, как и где теория вероятностей и статистика применятся в спорте.

1)  Графическое представление результатов измерений. Применяется для повышения наглядности эмпирических распределений.

2)  Расчет основных статистических характеристик. Графическое представление результатов дает только наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности. Числовые характеристики дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой.

3)  Проверка статистических гипотез. Применяется для проверки каких-либо теоретических предположений, связанные с эффективностью мероприятий, направленных на совершение какого-либо процесса. Исследователь выдвигает предположение исходя из анализа конкретного явления, затем справедливость предположений проверяется на основании данных соответствующего эксперимента, условии которого контролируются.

4)  Корреляционный и регрессионный анализ. Применяется с целью установления наличия и степени связи, например, между спортивным результатом и определенным показателем тренированности, между силой мышц и скоростью их сокращения, между спортивным достижением в одном и другом виде спорта и так далее.

Теперь можно составить содержание элективного курса «Основы теории вероятностей и математической статистики» для классов оборонно-спортивного профиля.

1.  Комбинаторика. Основные формулы комбинаторики: о перемножении шансов, о выборе с учетом порядка, перестановки с повторениями, размещения с повторениями, выбор без учета порядка. Правило суммы, правило произведения.

2.  Вероятность. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями. Классический, статистический подход к определению вероятности. Основные правила вычисления вероятностей. Формулы полной вероятности, Бейеса.

3.  Случайные величины.Понятие дискретной и непрерывной случайной величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Вычисление математического ожидания и дисперсии.

4.  Математическая статистика.Общие сведения. Вариационные ряды и их графические представления. Дискретные и непрерывные ряды. Проверка статистических гипотез. Основы корреляционно-регрессионного анализа.

В результате изучения данного элективного курса учащиеся должны овладеть следующими умениями:

- рационально решать комбинаторные задачи, применяя формулы;

- рационально решать задачи, применяя формулы комбинаторики и основные правила вычисления вероятностей;

- вычислять математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины;

- изображать вариационные ряды;

- находить эмпирические линии регрессии и уравнение линии регрессии. Также применять на практике полученные знания и умения.

2.2. Основные принципы построения методики изучения элективного курса

Так как изучение теории вероятностей и статистики в школьный курс было введено недавно, то в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью элективного курса, количество методической литературы тоже невелико.

Практически во всей литературе считается, что главным при изучении данной темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, в которых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации. В процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратиться большое количество времени, кроме того, наша задача сформировать профессионально значимы навыки, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.

Изучение должно начинаться с изучения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучаться теория вероятностей, так как комбинаторика используется при подсчете вероятностей. Начинать обучения комбинаторике целесообразно с решения простых комбинаторных задач методом перебора. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий. Основными комбинаторными понятиями являются: сочетания, перестановки, размещения. На первом этапе сами термины можно не вводить, главное чтобы учащийся осознавал наборы какого типа нужно составить в данной задаче.

После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, появляется следующая задача – подсчет количества возможных наборов. Такие задачи решаются с помощью применения принципа умножения. Хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения является дерево возможных вариантов. Данная тема хорошо изложена в учебниках [4] и [27].

Далее предлагается перейти к теории вероятностей. Одной из главных задач является формирование понятия случайного события. Сформировать данное понятие удобно на различных примерах из жизни. Также необходимо сформировать у учащихся представления об основных понятиях теории вероятностей, а именно: достоверные события, невозможные, равновероятные. Все эти понятия нужно вводить, опираясь на понятные примеры из жизни.

Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Для этого можно использовать эмпирические методы, для того чтобы извлечь очевидные закономерности. Следующим шагом в продолжение вероятностной линии идет введение классического и статистического определения вероятности. Необходимо чтобы учащиеся понимали разницу между этими двумя подходами. Чтобы осознавали, что одно это определение вероятности, а другое – способ вычисления вероятности. Таким образом, можно сделать вывод, что определение классической вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности, определение же статистической вероятности предполагает, что испытания были произведены.

После введения классического определения вероятности в учебниках обычно вводиться геометрическая вероятность, но в нашем случае ее можно не рассматривать, так как она не используется для решения задач в области спорта.

На следующем этапе изучаем формулу полной вероятности и формулу Бейеса. Важно рассмотреть применения данных формул на различных примерах, для того чтобы сформировать у учащихся умения применять данные формулы к решению задач.

Также изучается понятие дискретной случайной величины и непрерывной случайной величины. Правила вычисления основных характеристик этих величин. Важно показать практический смысл этих характеристик. Так как вычисления математического ожидания и дисперсии не вызывает никакой сложности, то затрачивать большое количество времени на эту тему не стоит.

На последнем этапе переходим к изучению статистики, используя ранее полученные знания. На этом этапе появляется много новых терминов, здесь учителю можно посоветовать следующее: попросить учащихся завести словари, куда бы они заносили новые понятия и по мере надобности могли бы туда заглядывать, также можно предложить сделать таблицу, аналогичную таблице приведенной в учебнике [17].

Статистические исследования являются завершающим этапом изучения элективного курса. Здесь рассматриваются примеры статистических исследований в области спорта, полученные ранее. Изучаются основные методы оценки статистических гипотез, регрессионный анализ. Также учащимся может быть предложено самостоятельно провести несложное статистическое исследование.

2.3. Методика использования практико-ориентированных задач

Для успешного освоения учащимися материала необходимо показать, что получаемые на занятиях по математике знания и умения, им понадобятся в их практической деятельности.

Было установлено, что негативное отношение студентов к математике во многом объясняется тем, что они не видят практического применения математических знаний умений [11].

Легче всего показать значимость изучения теории вероятности и статистики на сюжетных задачах, сформулированных в виде профессиональных проблемных ситуаций. Для спортсменов это могут быть различные ситуации в разных видах спорта. Задачи должны подбираться таким образом, чтобы для их решения требовались определенные математические умения. Кроме того, математические задачи являются одним из средств формирования профессионально значимых умений. Такие задачи можно найти в учебниках [10], [15]. Так как данные в этих учебниках сильно устарели, учителю можно использовать различные данные из области спорта из [20], также достаточно новые данные можно найти в учебнике [24].

Например, одной из проблемной задач может служить следующая.

Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

Для решения такой задачи необходимы знания в области комбинаторики и теории вероятности.

При использовании таких задач достигаются следующая цель: студентам наглядно демонстрируются проблемные ситуации, следовательно, у них появляется заинтересованность в изучении математики.

Целесообразно использовать задачи, в которых предлагается недостающие данные получить самостоятельно. Например, для спортсменов такими данными могут служить результаты соревнований или тренировок. Таким образом, при решении задач подразумевающих самостоятельное получение данных, создается предпосылка для развития профессиональных умений проводить опросы, работать со справочной литературой и так далее. Кроме того, решая такие задачи, учащиеся реально видят связь изучаемого ими материала с практикой [11].

Среди способов самостоятельного получения исходной информации выделяют следующие.

- Использование опубликованной информации (справочная литература, журналы, Интернет и т. д.). Решение таких задач развивает у учеников умение работать со специальной литературой. Также модно предлагать задачи связанные с динамическим прогнозированием: студентам нужно взять опубликованные сведения о развитии некоторого явления (спортивного результата, роста детей, количество детей занимающихся в секциях), на их основе построить математическую модель развития этого явления во времени, спрогнозировать уровень развития на текущий период и сравнить с реальным значением.

- Самостоятельное получение данных в результате эксперимента. Данный тип задач рекомендуется для спортсменов, так как они часто сдают различные нормативы, поэтому им не требуется проводить опыты специально.

Предлагаемые задачи подходят для аудиторной и для домашней работы, так как сбор данных не отнимает много времени и не отвлекает от решения задачи.

Так как нет специализированной литературы, которая бы содержала задачи, удовлетворяющим выше перечисленным требованиям, то учителю придется самостоятельно составлять задачи. Достаточно много интересных задач, которые после переработки можно использовать, находятся в следующих источниках: [18], [6], [16], [3], [23], [1].

2.4. Методика преподавания теории вероятностей и математической статистики в средней школе

Изучение понятия события зачастую сопряжено у учащихся с трудностями психологического характера. Его обычно ученики воспринимают как единичное выполнение какого-либо действия. Поэтому формирование представления о данном понятии должно начинаться с рассмотрения простейших вероятностных моделей.

Первые труды, связанные с теорией вероятности принадлежали Галилею [26]. В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Например, мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой [8]. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях.

Тогда случайным событием будет называться любое событие, связанное со случайным экспериментом.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или нет при данном испытании. Любое из явлений называется событием.

Еще одним элементом, способствующим формированию представления о понятие «событие», является следующая классификация. Событие бывает:

- достоверным (всегда происходит в результате испытания);

- невозможным (никогда не происходит);

- случайным (может произойти или не произойти в результате испытания).

После определения этих понятий следует привести пример.

При подбрасывании кубика невозможное событие – кубик станет на ребро, случайное событие – выпадение какой либо грани.

Количественная характеристика испытания выражает значения некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний, время на беговой дистанции). До испытания нельзя сказать чему будет равна данная величина, поэтому она называется случайной.

Далее опираясь на введенные определения и на жизненный опыт учащихся необходимо рассмотреть задачи на определение типа события.

Оцените, какие из перечисленных событий являются достоверными, невозможными и какие случайными. Объясните почему.

1.  На соревнованиях по прыжкам в длину с места легкоатлет прыгнул на расстояние 300 метров.

2.  Сборная России по футболу едет на чемпионат Европы.

3.  При бросании игральных кубиков выпадет четное число очков.

Важно рассмотреть большое количество примеров событий и случайных экспериментов.

Кроме случайного события, с опытом связано еще одно важное понятия – понятие элементарного исхода. Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т. д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – исход. Другой пример исхода – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости. В отличии от других событий исходы еще называют элементарными событиями, желая подчеркнуть, что эти события состоят только из одного исхода и не делимы на более мелкие.

Далее следует сказать, что в теории вероятностей события обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D

После введения трех важных понятий: случайный эксперимент, случайное событие, исход, модно переходить к определению вероятности.

Первым должно быть рассмотрено статистическое понятие вероятности.

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно n раз. Тогда отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называют относительной частотой (частость).

При большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Поэтому интуитивно ясно, что при большом количестве повторений испытания частость события будет стремиться к определенному числовому значению. Такое значение принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

Таким образом, вероятностью случайного события А называется число Р(А), к которому приближается относительная частота этого события при большом повторении числа экспериментов.

В математике неограниченное число повторений принято записывать в виде предела при N стремящегося к бесконечности: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Данное определение называют статистическим определением вероятности. Далее следует объяснить, что найти вероятность с помощью этого определения нельзя, так как нет гарантий, что относительная частота будет к чему-то приближаться; также нельзя сказать, насколько много повторений эксперимента нужно сделать, чтобы полученная частота достаточно хорошо приближала вероятность.

Исходя из этого определения, учащиеся могут установить, что вероятность заключена в интервале: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как n всегда больше либо равно N.

Следует предложить задания на проведение серии экспериментов с целью оценить вероятности возможных исходов эксперимента. При этом можно использовать групповую форму работы и в конце объединить результаты всех групп для получения выводов об относительной частоте событий. Примером такого задания может служить подбрасывание монеты. Это является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет «орёл», а в 50% – «решка».

После этого следует перейти к изучению классической вероятности. Введение другого определения можно обосновать тем, что не в каждом случае можно провести длинную серию экспериментов. В некоторых случаях вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Здесь необходимо вспомнить понятия элементарного исхода.

Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных исходах. Принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А.

В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (то есть m), к общему числу всех исходов n: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Данная формула представляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло из области азартных игр, где теория вероятностей применялась для определения перспективы выигрыша.

После рассмотрения простейших примеров вычисления вероятности учащимся может показаться, что вычисление вероятностей любого события не вызывает особого труда, поэтому учителю нужно предостеречь учащихся от ошибок. Для этого учащимся может быть предложен следующий алгоритм при решении задач на нахождение вероятности.

1.  Перечислить возможные исходы опыта (полное или частичное).

2.  Обосновать равновозможность перечисленных исходов (можно опираться на прямые указания в тексте задачи: случайно, наугад и т. д.).

3.  Вычислить общее количество исходов (то есть число n).

4.  Описать благоприятные исходы для данного события и вычислить их количество.

5.  Вычислить вероятность по формуле.

6.  Оценить полученный результат.

На первых этапах следует предлагать задачи, в которых число исходов опыта можно пересчитать вручную, без использования формул комбинаторики. После получения ответа необходимо обсудить с учащимися его реальный смысл. Выяснить совпадает ли полученная величина с интуитивным представлением учеников о вероятности, удовлетворяет ли основным свойствам.

Для того чтобы определить вероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятных исходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходы и выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количество испытаний велико?

В таком случае на помощь приходит комбинаторика.

Комбинаторика – раздел математики, который изучает различные комбинации и перестановки предметов [5]. Начинать изучение комбинаторики следует с введения простейших формул. Перед тем как дать ученикам формулу следует поставить какую-либо проблемную задачу, например, перед тем как дать учащимся формулу перестановок можно дать решить следующую задачу.

Сколько чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

Решая данную задачу систематическим перебором, мы найдем, что количество таких чисел будет равно шести. Далее следует изменить условие задачи, увеличив количество цифр до 10. И сказать, что решать данную задачу перебором нерационально, так как на это уйдет слишком много времени. Для решения задач такого вида используется следующая теорема.

Пусть имеется, k групп элементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количество элементов, например, 1-ая содержит n1 элемент, 2-ая группа – n2 элементов, тогда i-я группа содержит ni элементов. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Учитель должен обратить внимание учащихся на то, что правило умножения подсчитывает упорядоченные наборы, то есть порядок в них важен.

Данную формулу можно применить к решению следующей задачи.

Сколько существует пятизначных натуральных чисел.

Решение. Как известно всего 10 цифр. Представим пятизначное число, как, где вместо первой звездочки можно подставить все цифры кроме 0, так как если подставим 0, то получим четырехзначное число (нам надо пятизначное). Вместо второй звездочки можно подставить любую из 10 цифр, аналогично вместо оставшихся можно подставлять любую из 10 цифр. Таким образом, у нас имеется 5 групп элементов, первая группа содержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержать по 10 элементов. Тогда, используя формулу, найдем количество пятизначных чисел: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтобы учащиеся лучше овладели навыками работы с ними.

Далее рассматривается теорема о выборе с учетом порядка.

Общее количество выбора k элементов из n элементов с учетом порядка определяется формулой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Приведем пример.

В областных соревнованиях по футболу участвует 8 команд. Требуется определить сколькими способами можно составить группу их 4 команд.

Другими словами, нам нужно выбрать 4 футбольных команды из 8 команд, то есть: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Далее рассматривается теорема о выборе без учета порядка.

Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

Рассмотрим пример.

На занятии по физкультуре присутствовало 20 человек. Учитель попросил двух человек принести из раздевалки мячи. Сколькими способами можно выбрать учеников, для того чтобы они принесли мячи?

Решение. Порядок в котором будут выбраны ученики не существенен, следовательно: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. способов.

После изучения основных формул комбинаторики следует дать учащимся задачи на вычисление вероятности, для решения которых необходимо применять комбинаторные формулы.

Далее вводим основные операции над событиями. При введении не следует пользоваться кругами Эйлера, так как учащиеся мало знакомы с теорией множеств. После определения операции можно привести пример описывающий данную операцию.

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Бросается кубик. Событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа.

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

С=А∙В (А – выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.

Противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Далее дадим определения совместных, несовместных событий и зависимых, независимых событий.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти в результате одного испытания. События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.

Здесь также следует рассмотреть примеры, для лучшего усвоения этих понятий.

Испытание – один раз подбрасываем монету. События: А – выпадет орел; В – выпадет решка. События А и В несовместны, так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье.

На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Изучив основные операции над событиями, можно перейти к вероятности. А именно привести основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

Вероятность достоверного события равна единице: Р(E1.

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: Р(А1+ А2+…+ Аn) = Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.

Вероятность невозможного события равна 0: Р(Ø) = 0.

Вероятность противоположного события равна: Р(Ā) = 1 – Р(А).

Вероятность суммы произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(АВ).

Теперь вспомним определения независимых событий.

Событие А и В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Показать применение изученных правил можно при решении следующей задачи.

На соревнованиях по стрельбе из лука три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого – 0,7, для третьего – 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А – первый стрелок попал в мишень, тогда Р(A)=0,6; Событие В – второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7; Событие С – третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93.

В данной задаче все события являются независимыми, так как стреляют, независимо друг от друга.

а) Пусть событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. То есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые то, применяя формулу суммы и произведения независимых событий, получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б) Пусть событие S – только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим подробно событие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но для начала вспомним определение произведения событий: событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак, событие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. означает, что первый игрок попадет, а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)+Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)+Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=

= Р(А)Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)+Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)Р(В)Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)+Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)Р(С)

Однако такую вероятность можно вычислить легче. Вспомним, как вычисляется вероятность противоположного события: Р(Ā)=1–Р(А). Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что

Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = 0,1438.

в) Составим отрицание к событию, рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.– ни один из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Вычислим при помощи формулы противоположного события: Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=1 – Р(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=1 – 0,99 = 0,01.

Возникает вопрос, как вычислять вероятность зависимого события. То есть вероятность события, при условии, что другое событие уже произошло. Для этого ввели понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события А, при условии, что уже произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(А) и обозначается Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из этой формулы можно вывести формулу вероятности произведения двух зависимых событий: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решим следующую задачу.

Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2, 4, 6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому, используя формулу условной вероятности, получим: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть некоторое событие А может наступить при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn.Причем известны вероятности этих событий и известны условные вероятности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Как можно найти вероятность события А?

Ответ на этот вопрос дает теорема:

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

Данную формулу можно применить для решения следующей задачи.

Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В – взятая деталь бракованная, Ак – деталь берется из к-ой партии, тогда вероятность Р(Ак)=1/3, где к =1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда в двух других партиях нет бракованных лыж, то есть: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Применяя формулу полной вероятности получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для введения формулы Бейеса составим задачу. Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Так, как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились вероятности гипотез, в связи с тем, что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности: Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 525

Другие дипломные работы по специальности "Педагогика":

Метод языкового анализа на уроках русского языка

Смотреть работу >>

Использование образовательной технологии "Школа 2100" в обучении математике младших школьников

Смотреть работу >>

Организация учебного сотрудничества в процессе обучения младших школьников русскому языку

Смотреть работу >>

Организация работы по подготовке школьного актива органами ВЛКСМ в 60-80-хх годах ХХ века

Смотреть работу >>

Особенности организации самостоятельной работы студентов педагогического колледжа при овладении курсом методики физического воспитания и развития детей

Смотреть работу >>