Дипломная работа на тему "Устойчивость по Ляпунову"

ГлавнаяМатематика → Устойчивость по Ляпунову




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Устойчивость по Ляпунову":


Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Дипломная работа

Устойчивость по Ляпунову

Гомель 2007

Оглавление

Введение

Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

Устойчивость по Ляпунову

Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Ме тоды построения функций Ляпунова

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Применение функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных систем

Развитие метода функций Ляпунова

Функции Ляпунова и продолжимость решений дифференциальных уравнений

Продолжимость всех решений некоторых уравнений третьего порядка

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых успешно сданных дипломных проектов предлагает вам написать любые проекты по необходимой вам теме. Качественное написание дипломных работ под заказ в Санкт-Петербурге и в других городах РФ.

Заключение

Список использованных источников

Введение

Понятие функций Ляпунова появилось в связи с развитием теории устойчивости, начало которой положили труды великого русского математика А. М. Ляпунова. Рождение теории устойчивости как самостоятельной научной дисциплины можно отнести ко времени появления докторской диссертации А. М. Ляпунова "Общая задача об устойчивости движения", впервые опубликованной в Харькове в 1892 году. За последние годы наблюдается бурный рост этой теории, вызванный потребностями развивающейся техники, в частности, теории автоматического регулирования и управления.

Развитие теории устойчивости движения осуществляется двумя путями: во-первых, расширением круга задач и, во-вторых, созданием новых и усилением уже известных методов исследования. Метод функций Ляпунова (известный также как второй или прямой метод Ляпунова) является одним из наиболее эффективных методов исследования устойчивости, чем вызвано и его широкое применение в теории управления. Значение его далеко не исчерпывается возможностью установления факта устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Удачно построенная функция Ляпунова для конкретной системы позволяет решать целый комплекс задач, которые имеют важное прикладное значение, например, получение оценки изменения регулируемой величины, оценки времени регулирования, оценки качества регулирования, оценки области притяжения (множества всех начальных возмущений, исчезающих во времени), оценки влияния постоянно действующих возмущений и другие.

Функции Ляпунова позволяют решать вопросы устойчивости в "большом", т. е. оценивать область начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. С помощью функций Ляпунова решается проблема существования или отсутствия периодических решений, устанавливается ограниченность и продолжимость всех решений заданной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В связи с широким применением функций Ляпунова возник вопрос универсальности этого метода. Решением этой задачи занимались Я. П. Персидский, Н. Н. Красовский, Е. А. Барбашин, Я. Курцвейль, Ж. Л. Массера и другие математики. Было установлено, что в теории устойчивости этот метод универсален для широкого круга задач. В этой связи возникла задача о методах построения функций Ляпунова. Следует заметить, что известные ме тоды построения функций Ляпунова, разработанные для получения достаточных условий устойчивости, не являются достаточно эффективными, поскольку каждый из них приспособлен для исследования конкретных систем. Поэтому проблему построения функций Ляпунова для нелинейных систем в настоящее время нельзя считать решенной.

Данная работа содержит исследования вопроса о применении функций Ляпунова к исследованию продолжимости решений дифференциальных уравнений.

Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова

В данной работе мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. Напомним, что система обыкновенных

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

дифференциальных уравнений называется нормальной. В этой системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- независимая переменная, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- неизвестные функции этой переменной, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- функции от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. переменной, заданные на множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. пространства размерности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в котором координатами точки являются числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В дальнейшем будем предполагать, что функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

непрерывны на открытом множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; также будем предполагать, что их частные производные

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

существуют и непрерывны на множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следует заметить, что частные производные (??), непрерывность которых предполагается, берутся только по переменным Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а не по независимой переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решением системы уравнений (??) называется система непрерывных функций

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

определенных на некотором интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и удовлетворяющих системе (??). Интервал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется интервалом определения решения (??) (случаи Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не исключаются). Считается, что система функций (??) удовлетворяет системе уравнений (??), если при подстановке в соотношение (??) вместо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функций (??) соотношения (??) превращаются в тождества по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на всем интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и чтобы правые части уравнений (??) были определены для всех подставляемых в них значений аргументов. Таким образом, точка с координатами Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должна принадлежать множеству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Выделим некоторое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (??) и назовем его невозмущенным решением.

Решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. назовем устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно указать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что из неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Здесь через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначено любое другое решение системы (??), определяемое начальным условием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если существует такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем иметь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Пример Решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не является устойчивым ни справа, ни слева, т. к. каждое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), перестает существовать при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример. Решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. неустойчиво справа, т. к. все решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., приближаются к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Каждое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. так же, как и решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., является асимптотически устойчивым справа (рис. 2).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Проведем в системе (??) замену переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Новая система будет иметь вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

вводя обозначение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

получим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. перешло при рассматриваемой замене переменных в положение равновесия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. новой системы. Задача устойчивости решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. переходит, таким образом, в задачу устойчивости нулевого (тривиального) решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (??).

Приведем определение устойчивости нулевого решения системы (??).

Решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (??) называется устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно указать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что из неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если же, кроме того, всякое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., начальные данные которого определяются условием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обладает свойством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то нулевое решение называется асимптотически устойчивым в смысле Ляпунова.

Метод функций Ляпунова. Теоремы Ляпунова

Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Рассмотрим функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Эта функция положительна всюду, кроме точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где она обращается в нуль. В пространстве переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяет параболоид с вершиной в начале координат. Линии уровня этой поверхности на плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представляют собой эллипсы. Зададим произвольно малое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Построим на плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. круг Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. радиуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Возьмем одну из линий уровня --- эллипс, целиком лежащий внутри круга Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Построим другой круг Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целиком лежащий внутри эллипса (рис. 3).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть начальная точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежит внутри Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим функцию двух переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Легко видеть, что если вместо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. подставить решение системы (??), то полученная таким образом, функция от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет представлять собой полную производную функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вдоль траектории решения системы (??). Если эта производная вдоль любой траектории, начинающейся в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., неположительна, то это будет означать, что траектория не сможет покинуть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как иначе между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и значением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при котором она попадет на границу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., найдется значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То, что ни одна траектория, начинающаяся в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не покидает ни при одном Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. круг Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., означает устойчивость тривиального решения.

Итак, мы должны проверить знак Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вдоль траектории. Для этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нельзя выписать явно и тем самым нельзя проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. была неположительной как функция двух независимых переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по крайней мере в некоторой окрестности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это условие можно проверить непосредственно по правым частям системы не зная решения. В нашем примере именно так и будет, поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всюду на плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарантирована. Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и есть функция Ляпунова для рассмотренного примера. Она имеет вид квадратичной формы, хотя в принципе можно было взять любую другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где она обращается в нуль, а выражение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. было неположительное. Обратимся теперь к формулировке некоторых общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы (??).

Все дальнейшие построения будем вести в некоторой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. задается неравенством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (или короче Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) называется положительно определенной в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Приведем ряд утверждений, показывающих применение функций Ляпунова [??].

Теорема Первая теорема Ляпунова

Пусть в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такая, что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет неравенству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Тогда тривиальное решение системы (??) устойчиво.

Теорема Вторая теорема Ляпунова

Пусть дополнительно к условиям первой теоремы для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- положительно определенная в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция.

Тогда тривиальное решение системы (??) асимптотически устойчиво.

Теорема Третья теорема Ляпунова

Пусть в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка положительно определенная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такая, что

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-окрестность точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в которой выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., справедливое при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда тривиальное решение системы неустойчиво.

Замечание. Недостаток изложенных методов заключается в том, что не существует достаточно общего конструктивного способа построения функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание. Горбунов [??] показал, что для линейных систем с непрерывными коэффициентами функция Ляпунова всегда существует в виде квадратичной формы.

Замечание. Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Сама система имеет вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а соответствующая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В замечании (??) было обращено внимание на отсутствие общей методики построения функций Ляпунова для конкретных дифференциальных систем. Ниже приведены некоторые известные способы построения функций Ляпунова.

Ме тоды построения функций Ляпунова Энергетический метод

Применяется для системы второго порядка.

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывны, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- положительные постоянные и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В качестве механической модели можно взять движение системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. материальных точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с массой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в которой точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. подвергается действию сил Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., выражающие влияние других точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. этой системы на точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда можно дать механическую интерпретацию. Функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составим как полную энергию системы, то есть как сумму кинетической и потенциальной энергий. Получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Очевидно, что эта функция определенно положительная.

Найдем производную функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в силу системы (??), получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Так как члены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяют силы, способствующие рассеиванию механической энергии, то полная энергия системы убывает, а значит, соображений производная (??) знакоотрицательная.

Метод Малкина

Рассмотрим уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Это уравнение эквивалентно системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Соответствующая линейная система имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Для нее может быть построена функция Ляпунова

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечаем теперь, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не содержит в своей записи параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому эта же функция пригодна для исследования системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

но непригодна для системы (??).

Чтобы получить функцию Ляпунова для системы (??), необходимо найти аналог члена Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в записи Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но с точки зрения механики величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. характеризует восстанавливающую силу, а величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соответствует потенциальной энергии. Поэтому естественно принять за функцию Ляпунова для системы (??) функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Очевидно, получим в силу системы (??)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Условия устойчивости в целом запишутся следующим образом:

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Легко проверить, что множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть прямая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не содержит целых траекторий, кроме начала координат.

Укажем другой подход к задаче. Производя в уравнении (??) замену переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Используя снова прежнюю функцию Ляпунова (??), получим в силу системы (??)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Условия устойчивости в целом в данном случае улучшаются, так как условие б) заменяется менее ограничительным условием

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Метод деления переменных

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- постоянные, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. могут быть функциями координат, параметров и времени.

Определенно положительная функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

имеет производную в силу системы (??) в следующем виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет определенно отрицательной или знакоотрицательной, если этим же свойством обладает форма

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Как известно, критерий Сильвестра легко переносится на случай квадратичных форм с переменными коэффициентами, и поэтому этот критерий с успехом может быть использован.

В качестве примера построим функцию Ляпунова для системы уравнений переходного процесса синхронного двигателя

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(??)

Здесь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- постоянные, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- возмущение рабочего угла, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --- возмущение силы тока, возникающее в результате наброса нагрузки на двигатель.

В данном случае получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

а в качестве матрицы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. берем единичную матрицу. Таким образом, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Построенная функция Ляпунова позволяет оценить область притяжения положения равновесия, что дает возможность быстро оценить допустимую предельную нагрузку на синхронный двигатель.

Предложенный метод в линейном случае дает необходимые и достаточные условия устойчивости, если найти подходящие выражения для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это следует из того, что всякая определенно положительная квадратичная форма линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду, т. е. к сумме квадратов переменных. Трудность этого метода состоит в подборе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и матрицы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Метод Красовского

Исследуется система уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Функция Ляпунова строится в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где симметричная матрица Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. подбирается так, чтобы ее собственные числа были положительны и чтобы симметризованная матрица

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

удовлетворяла критерию отрицательности Сильвестра. Имеем в силу системы (??)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В качестве примера рассмотрим уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

эквивалентное системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Функцию Ляпунова выбираем в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Легко видеть, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Очевидно, следует принять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда будем иметь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и условие устойчивости в целом принимает вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Метод Уокера-Кларка

Рассмотрим уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

эквивалентное системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Функцию Ляпунова для системы (??) предлагается брать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. специально подбирается с целью упрощения вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и с целью выполнения неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так, например, для системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем искать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Имеем в силу системы (??)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Очевидно, проще всего положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и получаем функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

В качестве второго примера рассмотрим уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

эквивалентное системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Согласно предложенному способу следует принять

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Имеем тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то условия устойчивости будут иметь вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но эти условия не могут быть удовлетворены для линейной функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значительно полезней оказывается функция, предложенная Л. Америо,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В данном случае получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и условия устойчивости в целом принимают вид

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

в)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Градиентный метод

Предлагается начинать поиск функций Ляпунова с записи градиента этой функции в форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. подбираются из условия отрицательности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и из требования, чтобы векторное поле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. было потенциальным. Это значит, что должны выполняться условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. После того как найден градиент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сама функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяется как криволинейный интеграл

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

В качестве примера рассмотрим уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это уравнение эквивалентно системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

Будем искать вектор-градиент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В силу системы (??) получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Удобно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Условия потенциальности поля дают Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Формула (??) дает нам

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

или, что то же самое,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то условия устойчивости имеют вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Понятие продолжимости решения. Признак Винтера-Еругина

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

--- решение системы уравнений (??), определенное на некотором интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (??)

--- решение той же системы уравнений (??), определенное на некотором интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Будем говорить, что решение Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 585

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>