Дипломная работа на тему "Упругопластическая деформация трубы"

ГлавнаяМатематика → Упругопластическая деформация трубы




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Упругопластическая деформация трубы":


Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Кафедра математического анализа

Выпускная квалификационная работа по математике

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ТРУБЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

Чебоксары – 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ У РАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

1.1 Основные понятия теории упругости

1.2 Уравнения равновесия

1.3 Формулы Коши

1.4 Линейный закон Гука

1.5 Условия пластичности

ГЛАВА II. ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ

2.1 Механическая постановка задачи

2.2 Математическая постановка задачи

2.3 Решение задачи

ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых успешно сданных дипломных проектов предлагает вам скачать любые проекты по желаемой вами теме. Грамотное выполнение дипломных проектов под заказ в Новокузнецке и в других городах РФ.

ВВЕДЕНИЕ

Детали машин в процессе работы подвергаются внешним воздействиям.

В результате элементы этой детали изменяют форму и размеры, т. е. деформируются. Деформации после снятия нагрузки могут исчезать, а могут оставаться. Исчезающие деформации называются упругими, а остающиеся – остаточными (пластическими).

В данной работе рассматривается упругопластическая деформация трубы под действием равномерного внутреннего давления.

В первой главе приведены основные уравнения, используемые при решении поставленной задачи: основные понятия теории упругости, уравнения равновесия, формулы Коши, линейный закон Гука и условия пластичности.

Вторая глава посвящена решению поставленной задачи. Приводятся формулы для компонент напряжений и деформации в упругой и пластической зонах, также приводится трансцендентное уравнение для нахождения радиуса границы пластической и упругой областей. Задача решается в линеаризованном виде методом малого параметра.

ГЛАВА . ОСНОВНЫЕ У РАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ

1.1 Основные понятия теории упругости

В данном пункте получим классические уравнения деформирования в предположении, что среда эта – сплошная, однородная и изотропная, т. е. упругие свойства среды во всех направлениях одинаковы. Будем считать, что она линейно деформируема (для материала среды справедлив закон Гука), а перемещения и деформации тела достаточно малы.

При составлении уравнений механики деформируемого твёрдого тела выбирается соответствующая система координат. В зависимости от формы тела используются декартовые, полярные, цилиндрические координаты и другие.

При решении полной задачи удобно использовать полярную систему координат, в которой положение каждой точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяется координатами r и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1.1).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Линейная дуговая координата s и угол Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. связаны зависимостью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда следует соотношение между их дифференциаламиРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассматриваемое тело находится под действием поверхностных нагрузок. В результате чего в теле появляются напряжения, которые, также как и поверхностные нагрузки, характеризуются интенсивностями. Под действием внешних нагрузок точки тела перемещаются в пространстве. Например, точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. после деформации заняла положение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Полное перемещение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. зададим двумя компонентами: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- в радиальном направлении, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - в тангенциальном.

Для получения уравнений в полярной системе ординат мысленно выделим в окрестности некоторой точки тела элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., 1 (рис. 1.2).

На гранях этого элемента действуют напряжения, которые можно разложить на нормальную составляющую к грани (нормальное напряжение - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и касательную (касательное напряжение - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.2 Уравнения равновесия

Первая группа уравнений выражает условия равновесия элемента среды во взаимодействии с соседними элементами, их называют статическими уравнениями.

Вторая группа уравнений связывает деформации элемента тела с функциями, выражающими перемещение его точек. Они называются геометрическими уравнениями.

Последняя группа уравнений – это уравнения, которые выражают зависимость между напряжениями и деформациями элемента. Именно в этих уравнениях учитываются механические свойства материала, их называют физическими.

Рассмотрим указанные уравнения подробно.

Уравнения равновесия (статические уравнения)

Эти уравнения выражают равенство нулю сумм проекций всех элементарных сил, действующих на элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., 1 (рис. 1.2). Приняв напряжения, указанные на этом рисунке, за положительные, получим уравнения равновесия в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В этих равенствах учтены проекции сил, действующих на гранях Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые они дают вследствие наклона на малые углы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Косинусы этих малых углов приняты равными единице. Заменив в приведенных равенствах

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

учтя выражение для частных дифференциалов напряжений (нижние индексы у обозначения частных дифференциалов здесь опущены в целях упрощения записи)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а также сохранив и отбросив слагаемые высшего порядка малости, получим уравнение равновесия в полярных координатах:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Приравняв нулю сумму моментов сил, действующих на момент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., 1, относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости площадки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и, отбросив слагаемые высшего порядка малости, получим закон парности касательных напряжений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.3 Формулы Коши (геометрические уравнения)

Эти уравнения устанавливают зависимость между перемещениями и деформациями. Для их вывода будем считать функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. заданными, а через них выразим деформации.

Геометрически деформация тела может быть представлена двумя группами простейших деформаций: деформацией растяжения - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и деформацией сдвига Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые соответственно выражают относительные удлинения отрезков Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1.3)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и изменение прямого угла между ними на угол сдвига Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(рис. 1.4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Будем считать, что элемент тела сначала получил перемещение из точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как жесткое целое, а затем произошел сдвиг за счет поворота его граней на малые углы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. угол сдвига равен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для определения деформации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. рассмотрим отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. длиной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для малых перемещений и деформаций примем, что на изменение длины отрезка влияет лишь перемещение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а его малый наклон, в общем случае вызываемый перемещением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не изменяет его длины.

Обозначим: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - частный дифференциал (линейная часть приращения) функции и при изменении координаты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где производная по s заменена на производную по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по соотношению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для определения деформации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. рассмотрим рис. 1.4. Так как частные дифференциалы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Имеем угол сдвига

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Деформации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составляют только часть полных деформаций и поэтому отмечены звездочкой. Другую часть этих деформаций получим, давая точкам элемента перемещения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1.5) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1.6).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Соответственно получим деформации, обусловленные кривизной элемента

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где знак минус соответствует возрастанию первоначально прямого угла элемента.

Окончательные суммарные деформации

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эти равенства представляют геометрические уравнения в полярных координатах, являющиеся аналогом уравнений Коши.

1.4 Линейный закон Гука (физические уравнения)

Для линейно-упругих изотропных тел физическими уравнениями являются соотношения для обобщенного закона Гука, известные из курса сопротивления материалов

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - модули упругости при растяжении и сдвиге, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коэффициент Пуассона. Для изотропного материала они связаны зависимостью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что независимых постоянных упругости для указанного материала имеется только две.

Запишем выражение для относительной объемной деформации элемента

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - модуль объемной деформации материала.

Заметим, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. модуль объемной деформации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что, согласно выражению для относительной объемной деформации, соответствует материалу, не изменяющему объем при деформации (несжимаемый материал).

В случае плоского напряженного состояния система примет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для плоской деформации (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) закон Гука записывается в несколько иной форме в виду наличия напряжения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эта система совершенно аналогична системе, описывающей напряженное состояние, но содержит новые условные константы упругости

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

причем легко проверить, что справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С учетом введенных условных констант упругости физические соотношения для плоской деформации примут тот же вид, что и для случая плоского напряженного состояния, но в них надо заменить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, любое решение приведенных выше уравнений для плоского напряженного состояния может быть применено и для соответствующего случая плоской деформации после замены действительных констант упругости данного материала на условные. Учитывая сказанное, в дальнейшем будем подразумевать под плоской задачей случай плоского напряженного состояния.

В полярной системе координат уравнения закона Гука остаются без изменения, меняются лишь индексы у напряжений и деформаций:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Полученные уравнения дают возможность вычислить деформации, если известны напряжения. Назовем их законом Гука в прямой форме.

Преобразуем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В обратной форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

или, так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.5 Условия пластичности

При решении задач теории пластичности во многих случаях необходимо знать, при каких условиях материал в рассматриваемой точке переходит из упругого состояния в пластическое. Такие условия называются условиями пластичности. При линейном напряженном состоянии условие пластичности устанавливается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напряжение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и пластические деформации возникают, когда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.5.1)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - предел текучести при растяжении (постоянная величина для каждого материала). При чистом сдвиге условие пластичности, получаемое экспериментальным путем, имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- предел текучести при чистом сдвиге (также постоянная величина для каждого материала).

В общем случае плоского или объемного напряженных состояний экспериментально невозможно установить условия пластичности для бесконечного множества соотношений между составляющими напряжений. Поэтому условие пластичности для сложного напряженного состояния устанавливается гипотетическим путем с последующей экспериментальной проверкой.

Рассмотрим два условия пластичности, наиболее часто используемые в теории пластичности и достаточно правильно определяющие переход материала из упругого состояния в пластическое.

Первое условие – условие пластичности Треска - Сен-Венана – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда максимальные касательные напряжения достигают значения, равного пределу текучести при чистом сдвиге:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.2)

Максимальные касательные напряжения определяются формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.3)

Подставляя сюда главные напряжения при линейном напряженном состоянии (1.5.1), в момент появления пластических деформаций получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.4)

Сравнивая формулы (1.5.2) и (1.5.4) заключаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.5)

После подстановки выражений ( 1.5.3 ) и ( 1.5.5 ) в формулу ( 1.5.1 ) приходим к условию пластичности Треска-Сен-Венана в таком виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.6)

Второе условие – условие пластичности Мизеса-Генки – гласит, что пластические деформации в материале возникают, когда интенсивность касательных напряжений достигает некоторого постоянного для некоторого материала значения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.7)

Определим эту постоянную из результатов испытаний при простом растяжении. Подставляя в формулу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.5.8)

главные напряжения (1.5.1), найдем значение интенсивности касательных напряжений при растяжении в момент появления пластических деформаций:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.9)

Сравнивая формулы (1.5.9) и (1.5.7), заключаем, что постоянная

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.10)

Подставляя выражения (1.5.8) и (1.5.10) в формулу (1.5.7), приходим к условию пластичности Губера-Мизеса-Генки в такой форме:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.5.11)

Или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Оба рассмотренных условия пластичности дают весьма близкие результаты. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера-Мизеса-Генки. Кроме того, это условие удобнее с математической точки зрения, так как выражение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. через шесть составляющих напряжений очень громоздко, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выражается через эти составляющие сравнительно просто. Поэтому в теории пластичности чаще используется условие пластичности Губера-Мизеса-Генки.

Ассоциированный закон

Пластические деформации возникают при активном нагружении материала и не возникают при нейтральном нагружении и разгрузке.

Соотношения связи Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в теории пластичности формулируется обычно на основе принципа максимума Мизеса: при фиксированных параметрах Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого данного значения компонент приращений пластической деформации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет место неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.5.12)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные компоненты напряжения, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - компоненты любого возможного напряженного состояния, допускаемого данной функцией нагружения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из принципа максимума Мизеса следует ассоциированный закон течения – закон направленности приращения пластической деформации (или скорости пластической деформации) по градиенту к поверхности нагружения.

В самом деле, предположим, что приращение пластической деформации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не зависит от приращения напряжений.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим рис. 1.7. Согласно (1.5.12) угол между векторами Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должен быть не тупым. В силу произвольности вектора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не выходящего за поверхность нагружения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., неравенство (1.5.12) может быть выполнено только в случае ортогональности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.5.13)

Выражение (1.5.13) определяет ассоциированный закон пластического течения.

ГЛАВА II. ЗАДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТРУБЫ

2.1 Механическая постановка задачи

Рассмотрим упругопластическое состояние трубы радиусов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., находящейся под действием внутреннего давления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в случае плоской деформации.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Цель данной задачи – определить выражения для компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.

Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., характеризующая возмущения границ трубы.

Приведем основные обозначения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- компоненты напряжений,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - компоненты деформаций,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - радиальное и тангенциальное перемещения,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - полярный радиус,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - полярный угол,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - полярный радиус границы пластической зоны,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - модуль сдвига.

Индекс Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - к упругой.

Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., величины, имеющие размерность длины, - к внешнему радиусу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обозначим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - внешний радиус;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.2 Математическая постановка задачи

Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2.2.1)

Линеаризация по параметру Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т. п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является известным.

Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.

Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в плоскости двух переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2.2.2)

Уравнение границы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представим в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2.2.3)

Подставляя в (2.2.2) разложение и учитывая, что для компонент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливы разложения, аналогичные (2.2.1), получим при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разложение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.4)

Ограничиваясь четвертым приближением, из (2.2.4) получим, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет место

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.5)

Совершенно аналогично записываются выражения линеаризованных граничных условий для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: чтобы получить линеаризованные граничные условия для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., надо в (2.2.5) заменить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В линеаризованных задачах теории пластичности необходимо уметь записывать граничные условия (2.2.2) через компоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим рис 1.8. Угол Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., образован нормалью к контуру Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.6)

Если уравнение границы тела Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. записать в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.7)

Согласно (2.2.3) можно записать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.8)

Учитывая, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.9)

Из (2.2.9), (2.2.7), (2.2.8) получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.10)

Обозначая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., найдем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.11)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.12)

Используя (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6), (2.2.11), (2.2.12), получим искомые линеаризованные граничные условия: при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должно иметь место

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.13)

Перейдем к условиям сопряжения решений. На Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- границе упругой и пластической областей, должно иметь место

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.14)

Уравнение контура Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. запишется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.15)

Учитывая разложение (2.2.1), подставляя в (2.2.14) выражение (2.2.15), получим исходное линеаризованное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (2.2.5), если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выпишем условия сопряжения для компоненты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.16)

Условие сопряжения для компонент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеют вид, вполне аналогичный (2.2.16).

Рассмотрим граничные условия в перемещениях:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Уравнение границы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представим в виде (2.2.3). Учитывая, что для компонент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливы разложения, аналогичные (2.2.3), получим при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разложения, аналогичные (2.2.4), (2.2.5).

Распишем основные соотношения, используемые для решения задачи:

Уравнения равновесия

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.17)

Формулы Коши

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.18)

Условие пластичности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.19)

Закон Гука

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.20)

Граничные условия:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; (2.2.21)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение будем искать в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.22)

Уравнения равновесия (2.2.17) удовлетворяются, если ввести некоторую функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называемую функцией напряжений. Это функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. связана с компонентами напряжения следующими зависимостями:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2.23)

2.3 Решение задачи

Осесимметричное (невозмущенное) состояние

Пластичность

Определим компоненты напряжений в пластичной области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как материал трубы считается несжимаемым, то имеет место условие несжимаемости:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2.3.1)

Труба осесимметрическая, следовательно компоненты и напряжения, и перемещения от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не зависят:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Условие пластичности (2.2.19) в начальном состоянии имеет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2.3.2)

Из условий равновесий (2.2.17) вытекает:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получили дифференциальное уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из граничных условий (2.2.21) имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.3.3)

Определим компоненты перемещений.

Из формул Коши (2.2.18) следует:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из граничных условий (2.2.21) следует

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Упругость

Найдем компоненты деформации в упругой области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из закона Гука (2.2.20) вытекает

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.3.4)

Формулы Коши (2.2.18) примут вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из уравнений равновесий (2.2.17):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Решим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из граничных условий (2.2.21) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.3.5)

Радиус пластической зоны

При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.3.6)

Получили неявное уравнение для нахождения радиуса пластической зоны Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Возмущенное состояние

Пластично

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Упругопластическая деформация трубы". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 470

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>