Дипломная работа на тему "Теоремы о неподвижных точках и их применения"

ГлавнаяМатематика → Теоремы о неподвижных точках и их применения




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Теоремы о неподвижных точках и их применения":


Содержание

Глава 1.Введение в дифференциальную геометрию поверхностей. Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Глава 2. Понятие поверхности Катала на

2.1 Общие положения

2.2 Примеры поверхностей Катала на

2.3 Виды поверхностей Катала на

Глава 3. Дифференциальная геометрия поверхностей Катала на

3.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

3.2 Первая и вторая квадратичные формы поверхности Катала на

3.3 О коноидах

Глава 4. Специальные поверхности Каталана (поверхности класса КА)

4.1 Вывод уравнения поверхности класса КА

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам приобрести любые проекты по желаемой вами теме. Безупречное выполнение дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Саратове и в других городах РФ.

4.2 Вывод уравнения поверхности класса КА по заданным кривым и нормальному вектору порождающей плоскости

Глава 5. Дифференциальная геометрия поверхностей класса КА

5.1 Первая и вторая квадратичные формы линейчатой поверхности

5.2 Первая квадратичная форма поверхности класса КА

5.3 Вторая квадратичная форма поверхности класса КА

Глава 6. О программе визуализации и анализа поверхностей

6.1 Общие положения и возможности программы

6.2 Примеры работы

Выводы

Список литературы

Глава 1. Введение в дифференциальную геометрию поверхностей.

Основные понятия

1.1 Первая квадратичная форма поверхности

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - гладкая поверхность, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – ее векторное параметрическое уравнение и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.1.

Первой квадратичной формой на поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется выражение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Распишем это выражение подробнее.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Выражение (2) в каждой точке поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представляет собой квадратичную форму от дифференциалов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Первая квадратичная форма является знакоположительной, так как ее дискриминант

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для коэффициентов первой квадратичной формы часто используют следующие обозначения (и мы в своих исследованиях будем придерживаться именно их) ([1].[2],[3]):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так что выражение (2) для формы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно переписать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

Соответственно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.2 Внутренняя геометрия поверхности

Известно, что, зная первую квадратичную форму поверхности, можно вычислять длины дуг кривых на поверхности, углы между кривыми и площади областей на поверхности. В самом деле, если рассмотреть формулы, определяющие вышеуказанные величины, можно заметить, что туда входят только лишь коэффициенты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. первой квадратичной формы. Поэтому если известная первая квадратичная форма поверхности, можно исследовать геометрию на поверхности, не обращаясь к ее уравнениям, а лишь используя ее первую квадратичную форму.

Совокупность геометрических фактов, относящихся к поверхности, которые можно получить при помощи ее первой квадратичной формы, составляет так называемую внутреннюю геометрию поверхности.

Поверхности, имеющие одинаковые первые квадратичные формы и потому имеющие одинаковую внутреннюю геометрию, называются изометричными.

Рассмотрим простой пример.

Пусть задана поверхность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Это цилиндрическая поверхность с синусоидой в качестве направляющей.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если сделать замену, вводя новые параметры Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. таким образом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда первая квадратичная форма поверхности примет, очевидно, вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Мы видим, что в новых переменных первая квадратичная форма рассматриваемой цилиндрической поверхности совпадает с первой квадратичной формой плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и поэтому внутренняя геометрия этой поверхности совпадает с внутренней геометрией плоскости. Т. е. синусоидальный цилиндр изометричен плоскости. Этот важный факт мы еще получим несколько другим способом.

Чисто геометрически это свойство понятно: синусоидальный цилиндр получается изгибанием (т. е. деформацией без сжатий и растяжений) обычной плоскости. При такой деформации внутренняя геометрия не изменяется.

Более того, можно показать, что если одна поверхность получается из другой путем изгибания, то внутренние геометрии этих поверхностей совпадают.

1.3 Вторая квадратичная форма поверхности

1.3.1. Определение второй квадратичной формы.

Основным объектом рассмотрения в этой части изложения станет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - регулярная поверхность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заданная своим радиус-вектором.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Определен и второй дифференциал радиус вектора

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Определение 1.2.

Второй квадратичной формой поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется скалярное произведение векторов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ([1],[3],[4],[5]) (3)

Нетрудно заметить, что в каждой точке поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. квадратичная форма (3) является квадратичной формой относительно дифференциалов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для коэффициентов второй квадратичной формы приняты (и мы также в дальнейшем будем пользоваться этим) следующие обозначения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

Это позволяет записать ее в следующем простом виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

Покажем еще один способ вычисления коэффициентов второй квадратичной формы поверхности.

Заменим в формулах (4) единичный вектор нормали Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на его выражение (1), получим,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

Для подробного вывода нужно знать тождество:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Продолжим рассуждения.

Так как векторы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ортогональны (первый, разумеется лежит в касательной плоскости к поверхности, а второй лежит в плоскости нормального сечения).

Поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Откуда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда, дифференцируя, получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

Это дает еще один способ расчета второй квадратичной формы.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.([5],[6]) (8)

Отсюда же можно получить новые формулы для вычисления коэффициентов второй квадратичной формы. Впрочем, удобнее продифференцировать по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. очевидные равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Воспользовавшись соотношениями (4), получаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (9)

Вторая квадратичная форма эффективна при выяснении графических свойств регулярной поверхности.

1.4 Классификация точек регулярной поверхности

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – регулярная поверхность и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – ее параметрическое задание.

Выберем на поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. некоторую точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и рассмотрим плоскость Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которая касается поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в этой точке.

Отклонение произвольной точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. от плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определим по формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

В этой формуле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – единичный вектор нормали к поверхности в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это отклонение, взятое по абсолютной величине, равно расстоянию от точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отклонение положительно, если точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и конец вектора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежат по одну сторону от касательной плоскости, соответственно, оно отрицательно, если они лежат по разные стороны от касательной плоскости в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим формулу (1).

Разность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. допускает следующую интерпретацию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Умножим обе части равенства (2) скалярно на вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и положив

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

Разумеется, вдумчивый (или хотя бы немного читающий эти выкладки) читатель поймет, что коэффициенты

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

указанные в формуле (3) вычислены в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в окрестности которой мы и рассматриваем исходную поверхность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из курса линейной алгебры известно, что свойства квадратичной формы во многом определяются ее дискриминантом. А скорее даже знаком квадратичной формы.

Вычислим дискриминант второй квадратичной формы в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим все возможные случаи.([7],[8],[9],[10],[11])

Случай 1.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Т. е. вторая квадратичная форма поверхности в заданной точке является знакоопределенной.

Зафиксируем в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. некоторое направление на поверхности. Пускай Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда любое другое направление на поверхности в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно задавать при помощи угла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., который оно образует с уже выбранным направлением.

Положим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

Нетрудно показать, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где постоянная

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

а в силу условия

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. положительна.

Таким образом неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

выполняется независимо от выбора угла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как порядок стремления к нулю при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. второго слагаемого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в правой части формулы (3) выше двух, то из последней оценки можно сделать следующий вывод.

Отклонение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сохраняет знак (совпадающий со знаком второй квадратичной формы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) для всех достаточно малых значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.независимо от выбора направления на поверхности.

Это означает, что все точки поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., достаточно близкие к точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., располагаются по одну сторону от касательной плоскости поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.в этой точке. Такая точка поверхности называется эллиптической точкой.

Например, все точки сфер – эллиптические.([6],[8])

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Случай 2.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вторая квадратичная форма является знакопеременной.

Покажем, что в этом случае, в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно указать два неколлинеарных направления на поверхности, обладающие следующими свойствами:

- для значений дифференциалов, определяющих эти направления, вторая квадратичная форма поверхности, вычисленная в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обращается в нуль,

- все остальные направления на поверхности в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разбиваются на два класса – для дифференциалов, определяющих направления одного из этих классов, вторая квадратичная форма положительна и для другого отрицательна.

Пусть некоторое направление Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. положительного класса задается углом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В соответствии с формулой (4) имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ([1],[4],[11])

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Как видно из формулы (3), знак отклонения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех достаточно малых значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в рассматриваемом направлении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадает со знаком второй квадратичной формы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, если точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. достаточно близка к точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то это отклонение положительно.

Рассуждая аналогично, можно указать точки на поверхности, близкие к точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых отклонение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет отрицательным.

Приведенные рассуждения показывают, что вблизи точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. поверхность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. располагается по разные стороны от касательной плоскости. При этом проекции точек поверхности, отклонения которых расположены на касательный плоскости заполняются множество «между» этими направлениями…

В этом случае точка называется гиперболической точкой поверхности.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Случай 3.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть для определенности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда вторая квадратичная форма поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может быть записана в следующем виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тем самым в зависимости от знака Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. форма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. либо неотрицательна, либо неположительна. При этом на поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно указать направление Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., такое, что определяющие его дифференциалы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обращают вторую квадратичную форму Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в нуль.

Для всех других направлений на поверхности в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. форма имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В этом случае точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется параболической точкой поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Случай 4. ([1],[11],[12])

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Такая точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется точкой уплощения поверхности. Расположение поверхности, близ таких точек может быть самым разнообразным.

Например, все точки плоскости являются точками уплощения.

1.5 Средняя и гауссова кривизны поверхности

Нам осталось рассмотреть еще немного понятий, прежде чем приступить к исследованиям. Рассмотрим на поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - регулярную кривую, проходящую через точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в направлении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

- естественная параметризация кривой. Вычислим в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. три вектора

- единичный вектор касательной к кривой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

- единичный вектор нормали к поверхности

- и вектор

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эта тройка векторов линейно независима. Это позволяет представить вектор

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в виде линейной комбинации

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Коэффициенты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеют специальные названия.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нормальная кривизна кривой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – геодезическая кривизна кривой.

Примем без доказательства следующую формулу для вычисления нормальной кривизны поверхности в заданном направлении

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Как видно из этой формулы нормальная кривизна поверхности в данной точке зависит от направления на поверхности.

Определение 1.3.

Направление на поверхности называется главным, если нормальная кривизна в этом направлении достигает экстремального значения.

Покажем, что в каждой точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-регулярной поверхности найдется не мене двух различных главных направлений.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – произвольное направление в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на поверхности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

(2) – дифференцируемая функция переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отметим, что функции коэффициентов второй и первой квадратичных форм определяются только выбором точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и от переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не зависят.

Полагая

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

получим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. она либо постоянна, либо имеет хотя бы один максимум. Это и означает, что в каждой точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - регулярной поверхности есть два различных главных направления.

Определение 1.4.

Экстремальные значения нормальных кривизн в главных направлениях называются главными кривизнами поверхности в данной точке.

Укажем способ вычисления главных кривизн в данной точке регулярной поверхности.

Из формулы (2) вытекает тождество относительно переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

Продифференцируем это тождество по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Учитывая, что производная нормальной кривизны в главном направлении обращается в нуль, получим для главного направления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

Здесь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – главная кривизна в направлении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассматривая полученные соотношения (4) и (5) как систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим, что эта система всегда имеет ненулевое решение, так как в данной точке регулярной поверхности всегда есть главные направления.

Из этого вытекает, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Вычисляя определитель, мы получим квадратное уравнение для искомой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (внимание… мы его будем использовать при некоторых выкладках далее).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

Возможны два случая.

Случай 1.

Квадратное уравнение имеет два различных корня Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Этим корням на поверхности соответствует два различных главных направления.

Случай 2.

Уравнение (6) имеет один корень кратности 2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это могут быть только точки уплощения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или омбилические точки (точки округления) (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Определение 1.5.

Средней кривизной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. поверхности в данной точке называется полусумма ее главных кривизн в этой точке.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

Определение 1.6.

Гауссовой кривизной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. поверхности называется произведение ее главных кривизн.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (8)

В виду уравнения (6) можно показать, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (9)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (10)

Этих основных понятий нам пока хватит для рассмотрения специального класса поверхностей.

Глава 2. Понятие поверхности Каталана

2.1 Общие положения

Определение 2.1.

Поверхность Каталана – линейчатая поверхность, прямолинейные образующие которой параллельны одной и той же плоскости.

Определение 2.2.

Плоскость, которой параллельны образующие поверхности Каталана, называется плоскостью параллелизма.

Определение 2.3.

Поверхность Каталана, все образующие которой пересекают одну прямую, называется Коноидом.

Замечание 2.1.

Обычно предполагают, что уравнение поверхность Каталана:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Мы, однако, не будем учитывать это условие, а ограничимся указанным выше определением. И те, и другие поверхности мы будем для краткости называть поверхностями Каталана.

Замечание 2.2.

Из определения поверхности Каталана следует, что, если ее уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это очевидно, так как все три вектора (вычисленные при одном и том же значении параметра), участвующие в смешанном произведении лежат в одной плоскости, – плоскости параллелизма, т. е. они компланарны.

Для обратного утверждения справедлива теорема.

Теорема 2.1.

Достаточное условие того, что данная линейчатая поверхность является поверхностью Каталана.

Пусть задана линейчатая поверхность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

причем вектор-функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. трижды непрерывно дифференцируема (здесь и далее мы говорим о каком-либо простом куске поверхности, которому отвечают некоторые промежутки параметров). Тогда если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. неколлинеарен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ни в одной точке то данная поверхность является поверхностью Каталана.

Доказательство.

Рассмотрим два случая: когда кривая, описываемая вектором Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – плоская и когда она неплоская.

1)  Предположим, что кривая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – плоская. Тогда равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. просто следует из этого факта. Очевидно, что все тройки векторов (при любом значении параметра) лежат в плоскости кривой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому и все образующие лежат в этой плоскости, значит и поверхность является по определению поверхностью Каталана.

2)  Предположим, что кривая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – неплоская. По условию теоремы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Продифференцируем это равенство один раз по параметру:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коллинеарен вектору Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в некоторой точке. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коллинеарен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коллинеарен и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а мы предположили противное, значит, этот случай невозможен, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. неколлинеарен вектору Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Посмотрим на картинку:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то все эти три вектора лежат в одной плоскости – плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А в силу того, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., эти векторы тоже лежат в одной плоскости – плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в первом случае плоскость обозначена двумя дугами, во втором, одной дугой). Так как векторы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. неколлинеарны, то они в обоих случаях определяют плоскость, т. е. плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – совпадают, а значит, все четыре вектора: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежат в одной плоскости, а значит: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Напомним, что если дана кривая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То кручение кривой в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вычисляется по формуле:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (*)

Т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – то кривая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – плоская, а это противоречит предположению пункта два. Т. е. рассматриваемая ситуация невозможна.

Таким образом, кривая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в условиях теоремы) может быть только плоской кривой и при этом поверхность является поверхностью Каталана ч. т.д.

Замечание 2.3. Если в теореме убрать предположение о тройной непрерывной дифференцируемости вектор-функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То можно построить пример поверхности, такой что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но при этом поверхность не является поверхностью Каталана.

Красивый пример можно получить следующим образом.

Нам хочется, чтобы функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. «развернула» плоскость прямых или разворачивала ее постоянно. Как следует из теоремы, соответствующую функцию следует искать среди функций, 3-яя производная которых терпит в какой-либо точке разрыв.

Например, можно задаться следующим уравнением: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Здесь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – функция Хэвисайда.

Проинтегрируем это уравнение.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь уже гораздо проще подобрать необходимый пример.

Итак, рассмотрим поверхность.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Проверим, что в каждой точке выполняется равенство: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Замечание 4. Строго говоря, мы тут допустили неточность. А именно: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Т. е. производная тета-функции Хэвисайда – дельта-функция Дирака. Поэтому,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Однако, простое геометрическое рассуждение может убедить нас, что вторым слагаем можно пренебречь. Действительно, посмотрим на график функции:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Очевидно, что в нуле наклон касательной к графику функции равен нулю, а функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равна нулю всюду, кроме, быть может, нуля, следовательно, вклад в значение производной эта функция не вносит. Таким образом, Наше выражение для производной вполне корректно.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Проверим условие коллинеарности векторов Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Теоремы о неподвижных точках и их применения". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 586

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>