Дипломная работа на тему "Целочисленные функции"

ГлавнаяМатематика → Целочисленные функции




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Целочисленные функции":


Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

«Целочисленные функции»

Выполнила: студентка
V курса математического факультета Мошкина Т. Л.

Научный руководитель: старший препо даватель Семёнов А. Н.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рецензент:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой Вечтомов Е. М.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.« »

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Уникальный банк готовых защищённых студентами дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Мастерское написание дипломных проектов под заказ в Самаре и в других городах России.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Декан факультета Варанкина В. И.

« »

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Киров

2005

Содержание

Введение. 3

Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты) 4

I. Определения. 4

II. Связь с непрерывными функциями. 5

III. Количество целых чисел в интервалах: [a, b], [a, b), (a,b), (a, b] 7

IV. Спектры. 8

V. ‘Mod’: бинарная операция. 9

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач) 11

Литература. 28

Введение

Целые числа составляют костяк дискретной математики, и на практике часто приходится округлять дробные или произвольные вещественные числа до целых.

До недавнего времени для обозначения целой части вещественного числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. использовалась запись Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но в начале 60-х годов Кеннет Э. Айверсон предложил в этом случае писать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и дал удачное название этому обозначению: «пол». Для обозначения верхнего целого он предложил запись Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и назвал её «потолком», а для квадратных скобок нашёл новое применение. Предложенная Айверсоном нотация оказалась настолько удачной, что за рубежом старое обозначение уже практически не встречается. С появлением русского издания книги Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник «Конкретная математика» эта нотация становится популярной и в России.

Цель данной работы — получить представление и навыки в обращении с «полом» и «потолком».

Задачи работы:

1.  Осветить теоретические аспекты данной темы:

- Дать определение функций «пол», «потолок»;

- Рассмотреть некоторые свойства этих функций;

- Установить связь с непрерывными функциями;

- Подсчитать количество целых чисел в заданных интервалах;

- Рассмотреть определение спектра и его свойства;

- Дать определение бинарной операции «mod» и рассмотреть приложение этой операции;

- Рассмотреть на примере, как можно вычислить сумму, содержащую «полы».

2.  Показать, как теория применяется на практике при решении задач.

Глава 1. Целочисленные функции (теоретические факты)

I.  Определения.

Договоримся через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначать множество всех натуральных чисел, т. е. множество всех целых положительных чисел. Определим для любого вещественного числа x функции наибольшего и наименьшего целого:

ëxû — наибольшее целое, меньше или равное x;

éxù — наименьшее целое, больше или равное x.

Из определения ясно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

В целых точках неубывающие функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадают, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.— целое Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А если они не совпадают, то они отличаются на 1, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- не целое] (2)

Эта формула связывает все три обозначения Айверсона. Здесь и далее квадратные скобки используются для произвольного высказывания P в таком смысле:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются отображениями друг друга относительно координатных осей, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

Из определений «пола» и «потолка» легко следуют свойства этих функций: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

Разность между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется дробной частью x и обозначается

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Иногда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется целой частью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем следующее свойство рассматриваемых функций:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равно либо 0, либо 1, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равно либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

II.  Связь с непрерывными функциями.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — некоторая непрерывная монотонно возрастающая функция, обладающая тем свойством, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — целое число Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — целое число. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

всякий раз, когда определены функцииРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Случай 1: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Случай 2: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в силу того, что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. монотонно возрастающая), а так как функция «пол» — не убывающая, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда существует такое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в силу непрерывности функцииРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Из условия следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.— целое число. Это противоречит тому, что между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нет целых чисел. Значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Случай 1: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Случай 2: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в силу того, что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. монотонно возрастающая), а так как функция «потолок» — не убывающая, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда существует такое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в силу непрерывности функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Из условия следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.— целое число. Это противоречит тому, что между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нет целых чисел. Значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрев Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем полезное свойство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (8)

Например, при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. троекратное деление на 10 с последовательным отбрасыванием цифр остатка — это то же самое, что и непосредственное деление на 1000 с последующим отбрасыванием всего остатка.

III.  Количество целых чисел в интервалах: [a, b], [a, b), (a, b), (a, b].

Будем рассматривать указанные интервалы при условии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если a и b — целые числа, тогда интервал [a, b) содержит ровно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел: a, a+1, …, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., аналогично интервал (a, b] содержит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел, но a и b — произвольные вещественные числа. Из (4) следует

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — целое число

Поэтому интервал [a, b) содержит ровно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел, а интервал (a, b] содержит ровно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел.

Рассмотрим промежуток [a, b]. Имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (на основании свойств (4)). Отсюда следует, что рассматриваемый промежуток содержит ровно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим (a, b), причём Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда следует, что рассматриваемый интервал содержит ровно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если не вводить дополнительное ограничение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то получим, что пустой интервал (a, a) содержит ровно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целых чисел.

Подытожим установленные факты:

--------------------------------------------------
Интервал | Количество целых чисел | Ограничение |
---------------------------------------------------------

[a, b]

|

ëbû - éaù + 1

|

a £ b

|
---------------------------------------------------------

[a, b)

|

ébù - éaù

|

a £ b

|
---------------------------------------------------------

(a, b]

|

ëbû - ëaû

|

a £ b

|
---------------------------------------------------------

(a, b)

|

ébù - ëaû -1

|

a < b

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

(9)

IV.  Спектры.

Спектр некоторого вещественного числа a определяется как бесконечное мультимножество целых чисел:

Spec (a) = {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,…} (10)

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Spec (a)¹Spec (b), т. е. нет двух одинаковых спектров.

Действительно, если предположить, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то найдётся некоторое положительное целое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, Spec(b) содержит менее чем m элементов не больших Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда как Spec(α) содержит по меньшей мере m.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Число элементов в Spec(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), которые не превосходят Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., равно

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (11)

Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — вещественные положительные числа, тогда Spec(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и Spec(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) образуют разбиение натуральных чисел тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Интересное свойство спектров будет доказано в задаче 10. В задаче 17 будет показана связь между мультимножествами Spec(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и SpecРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — некоторое положительное число.

V.  ‘Mod’: бинарная операция.

Если m и n — целые положительные числа, то неполное частное от деления n на m равно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для того, чтобы было удобно работать с остатками, введём определение остатка:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это определение можно распространить на произвольные вещественные числа:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (12)

при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Дробную часть числа x можно представить как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Самым важным алгебраическим свойством операции ‘mod’ является распределительный закон:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (13)

Доказательство следует из (11):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Приложение операции ‘mod’: разложение n предметов на m групп как можно более равномерных. Решение этого вопроса даёт тождества, справедливые при целых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и натуральных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — выражает разбиение n на m как можно более равных частей в невозрастающем порядке. (14)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — выражает разбиение n на m как можно более равных частей в неубывающем порядке. (15)

Доказательство этих фактов можно найти в книге Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник «Конкретная математика» на с.106-108. Если в (15) заменить n на ëmxûи применить правило (8), то получим тождество, которое справедливо при любом вещественном x и натуральном Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (16)

Глава 2. Целочисленные функции (применение к решению задач)

Задача 1.

Всякое натуральное число представимо в виде: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Приведите явные формулы для l и m как функций от n.

Решение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 2.

Как выглядит формула для ближайшего целого к заданному вещественному числу x? В случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — приведите выражение, округляющее результат:

a)  в сторону увеличения, т. е. до éxù;

b)  в сторону уменьшения, т. е. до ëxû.

Решение:

Пусть вещественное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. округляется до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

a)  В этом случае до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. округляются числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющие неравенству:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по свойству (4)).

b)  В этом случае до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. округляются числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющие неравенству:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по свойству (4)).

Ответ: a) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; b) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Задача 3.

Вычислите Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если m и n — натуральные числа, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — иррациональное число, большее n.

Решение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 4.

Докажите, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как n — натуральное число.

Итак, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Что и требовалось доказать.

Задача 5.

Доказать, что если f(x) — непрерывная, монотонно убывающая функция и f(x) — целое Þ x — целое, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство:

1 случай: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2 случай: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как f – убывающая функция; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в силу того, что функция «пол» — неубывающая).

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то существует такое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(так как f непрерывна). Поскольку f(y) целое, то по условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целое. А это противоречит тому, что между x и éxù не может быть никакого целого числа. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Что и требовалось доказать.

Задача 6.

Решите рекуррентность при целом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение:

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. методом математической индукции по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

База: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: из того, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Переход: пусть для некоторого номера Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и для меньших номеров утверждение верно: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Что и требовалось доказать.

Задача 7.

Докажите принцип ящиков Дирихле: если n предметов размещены по m ящикам, то некоторый ящик должен содержать не меньше чем én/mù предметов, а некоторый ящик должен содержать не более чем ën/mû.

Решение:

Предположим, что каждый ящик содержит меньше, чем én/mù предметов. Тогда наибольшее количество предметов в каждом ящике — это Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. предметов. Следовательно, наибольшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это противоречит тому, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит, существует ящик, который содержит не менее чем én/mù предметов.

Предположим, что нет ящика, в котором не более, чем ën/mû предметов, т. е. каждый ящик содержит более чем ën/mû предметов. Тогда наименьшее количество предметов в каждом ящике — Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, наименьшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это противоречит тому, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит, существует ящик, который содержит не более чем ën/mû предметов.

Что и требовалось доказать.

Задача 8.

Покажите, что выражение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всегда равно либо ëxû, либо éxù. При каких условиях получается тот или иной случай?

Решение:

1 случай: x = (4k-1)/2, kÎZ

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - целое число.

Получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2 случай: x ¹ (4k-1)/2, k Î Z, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Итак, данное выражение округляет числа до ближайшего целого; в случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — данное выражение округляет число в сторону чётного.

Задача 9.

Докажите, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при любом целом n и любом целом положительном m.

Доказательство:

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по свойствам (4)) Û

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û

Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Что и требовалось доказать.

Задача 10.

Пусть α и β — вещественные положительные числа. Докажите, что Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел тогда и только тогда, когда α и β иррациональны и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение:

Пусть α и β — вещественные положительные числа.

Докажем, что если Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ

Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ

Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ

Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ

Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Þ

Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что α и β иррациональны. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Если α и β оба рациональны, т. е. существует такое целое число m, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — натуральные числа, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎSpec(α) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎSpec(β).

Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.

Докажем обратное: если α и β иррациональны и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Þ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — иррациональны, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — не целые числа, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — иррациональны, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Получаем, чтоРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех натуральных чисел.

Что и требовалось доказать.

Задача 11.

Докажите, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при целом n.

Доказательство:

- если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получаем верное равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

- если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Правая часть имеет вид: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Преобразуем левую часть:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получили, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при любом целом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Что и требовалось доказать.

Задача 12.

Имеется ли аналогичное (16) тождество, в котором вместо «полов» используются «потолки»?

Решение:

Тождество (16) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получается из тождества (15) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. заменой n на ëmxû.

Аналогичное тождество для потолков получается из тождества (14) Рисунок убран из работы и дос
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 554

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>