Дипломная работа на тему "Старший и верхний центральный показатели линейной системы"

ГлавнаяМатематика → Старший и верхний центральный показатели линейной системы




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Старший и верхний центральный показатели линейной системы":


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ

БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой

СТАРШИЙ И ВЕРХ НИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 Абраменко Т. Ф.

Научный руководитель: 

доцент кафедры дифференциальных

уравнений, к. ф.-м. н. Зверева Т. Е.

Рецензент:

доцент кафедры ВМ и

программирования, к. ф.-м. н. Смородин В. С.

Гомель 2003

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам написать любые проекты по нужной вам теме. Высококлассное написание дипломных работ по индивидуальным требованиям в Туле и в других городах РФ.

Содержание

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

ВВЕДЕНИЕ

1 НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

2 СООТНОШЕНИЕ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3 СТАРШИЙ И ВЕРХ НИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами

4 СТАРШИЙ И ВЕРХ НИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ НЕКОТОРОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОДНОРОДНОЙ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

4.1 Старший показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

4.2 Верхний центральный показатель некоторой линейной однородной диагональной системы

5 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В данной дипломной работе проводится изучение таких понятий, как верхний центральный показатель системы, характеристические показатели Ляпунова; рассматриваются различные соотношения между старшим и верхним центральным показателями линейных систем, то есть рассматриваются случаи, когда старший показатель Ляпунова строго меньше, равен верхнему центральному показателю.

В дипломной работе проводится исследование конкретной линейной однородной диагональной системы: вычисляются характеристические показатели системы, находятся спектр системы, старший показатель системы, а также верхний центральный показатель этой же системы, устанавливается соотношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. На конкретном примере выясняется, что роль оценки сверху показателей решений возмущенных систем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

играет число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а не Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Определение 1.1 [1,с.123]. Наибольший из частичных пределов a функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется ее верхним пределом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.2 [1,с.125]. Число (или символ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), определяемое формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

будем называть характеристическим показателем Ляпунова (или характерисическим показателем).

Для показательной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , очевидно, имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Лемма 1.1 [1,с.132]. Характеристический показатель конечномерной матрицы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадает с характеристическим показателем ее нормы, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для вектор-столбца

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

будем использовать одну из норм [1,с.20]:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Свойства характеристического показателя функции [1,с.126,128]:

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание 1.1 [1,с.130]. Если линейная комбинация функций

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. постоянны, содержит лишь одну функцию с наибольшим характеристическим показателем, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.3 [1,с.142]. Система ненулевых вектор-функций

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

обладает свойством несжимаемости, если характеристичесий показатель любой существенной их линейной комбинации

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. постоянны, совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых вектор-функций, то есть для всякой комбинации y имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.4 [1,с.137]. Множество всех собственных характеристических показателей (то есть отличных от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) решений дифференциальной системы будем называть ее спектром.

Теорема 1.1 [1,с.143]. Фундаментальная система линейной системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ спектр системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., является нормальной тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости.

Замечание 1.2 [1,с.142]. Совокупность вектор-функций с различными характеристическими показателями, очевидно, обладает свойством несжимаемости.

Следствие 1.1 [1,с.145]. Всякая нормальная фундаментальная система реализует весь спектр линейной системы.

Определение1.5 [2,с.71]. Наибольший верхний показатель

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

будем называть старшим показателем.

Определение 1.6 [2,с.7]. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ функция. Тогда верхнее среднее значение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

зависящие от параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна в том смысле, что из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.7 [ 2,с.103]. Ограниченная измеримая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется верхней или C-функцией для семейства P, если все функции этого семейства равномерно не превосходят в интегральном смысле функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ константа, общая для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но, вообще говоря, зависящая от выбора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.8 [2, с.103]. Совокупность всех верхних функций назовем верхним классом или C-классом семейства P, и обозначим через

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P).

Определение 1.9 [2,с.103]. Число

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

назовем верхним центральным или C-числом семейства P. Оно обозначается также через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Утверждение 1.1 [2, с. 104]. Если существует такая C-функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то эта функция одна образует верхний класс и C-число совпадает с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание 1.3 [2,с.102]. Для упрощения записи введем обозначение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Определение 1.10 [2,с.115]. Центральное число семейства P будем называть центральным показателем системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение 1.11 [2,с.106]. Разобьем полуось Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. точками 0,T,2T,… на промежутки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Найдем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание 1.4 [2,с.106]. Число

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

совпадает с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и знак Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.можно заменить на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Определение 1.12 [2,с.107]. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ─ любая ограниченная кусочно непрерывная функция, для которой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание 1.5 [2,с.107]. Такие функции существуют: достаточно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равной одной из тех функцийРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых достигается максимальное значение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Утверждение 1.2 [2,с.537]. Верхнее среднее значение любой ограниченной кусочно непрерывной функции, а в частности функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольное, равно

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Утверждение 1.3 [2,с.114]. Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ ее решение и

P = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда старший показатель этой системы равен наибольшему из верхних средних значений функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. семейства P, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

2. СООТНОШЕНИЕ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим какое-либо семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций:

P = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

зависящее от параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывно в том смысле, что из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равномерно, по крайней мере, на каждом конечном отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для доказательства соотношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нам потребуется доказать несколько утверждений и следствий.

Утверждение 1.

Если семейство сужается, то его верхний класс может только расшириться, а верхнее число уменьшиться, то есть из

P’Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. P

следует

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P’)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P)

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Всякая верхняя функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для семейства P является верхней и для P’, так как P’Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. P. Значит,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P’).

По определению 1.9

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из того, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P’)

следует

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

А значит,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Утверждение 1 доказано.

Утверждение 2.

Если семейство P’ состоит из одной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть P’=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то верхнее среднее значение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадает с верхним центральным числом семейства P’, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство.

Для доказательства равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

докажем два неравенства:

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1)  Из определения 1.7 следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является верхней функцией, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= 0;

итак,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P’).

Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2)  Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ любая верхняя функция семейства P’:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

для любой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P’).

Тогда по определению 1.6

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ любое, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

для любой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P).

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тем самым утверждение 2 доказано.

Следствие 1.(из утверждений 1 и 2)

Пусть P =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ семейство кусочно непрерывных функций и равномерно ограниченных функций. Тогда если семейство P’ состоит из одной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть P’=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , и P’Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. P, то верхнее среднее значение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не превосходит верхнего центрального числа семейства P, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Доказательство.

Так как P’Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. P, то из утверждения 1 следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P’)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P)

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Так как P’ состоит из одной функции, то есть P’= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то из утверждения 2 следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следствие 1 доказано.

Следствие 2.(из следствия 1)

Пусть P = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Из следствия 1 вытекает, что для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следствие 2 доказано.

Воспользуемся доказательством следствия 2 для доказательства следующего утверждения.

Утверждение 3.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

некоторая линейная система дифференциальных уравнений и

P = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

семейство кусочно непрерывных и равномерно ограниченных функций, где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда старший показатель Ляпунова Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не превосходит верхнего центрального числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. семейства P, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выразим из последнего равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда из определения 1.2 следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[определение 1.6]Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из этого следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как по определению 1.5

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда из следствия 2 получаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как по определению 1.9

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

(утверждение 3 доказано)

3 СТАРШИЙ И ВЕРХ НИЙ ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ ДИАГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

3.1 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с произвольными коэффициентами

Исследуем случай, когда матрица системы с произвольными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим диагональную систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ вектор-функция размерности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Она имеет матрицу Коши

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

с нормой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По определению 1.2 найдем для каждой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ее характеристический показатель Ляпунова, используя определение 1.6:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из утверждения 1.3 и определения 1.5 вытекает, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так как матрица конечномерная.

По определению 1.9

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.PРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P).

3.2 Старший и верхний центральный показатели для диагональной системы с постоянными коэффициентами. Случай Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Исследуем случай, когда матрица системы с постоянными коэффициентами является диагональной. Найдем для нее Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим диагональную систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ вектор-функция размерности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ некоторые числа, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Она имеет матрицу Коши

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,

с нормой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим следующую лемму.

Лемма*.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.─ некоторое число. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

По определению 1.6

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Имеем, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Что и требовалось доказать.

На основании предыдущего пункта заметим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то по определению 1.7

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(P).

Тогда по определению 1.9 и лемме*

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.выполняется всегда, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, для диагональной системы с постоянными коэффициентами всегда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

4 ВЫЧИСЛЕНИЕ СТАРШЕГО И ВЕРХНЕГО ЦЕНТРАЛЬНОГО ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛЯ ЗАДАННОЙ СИСТЕМЫ. СЛУЧАЙ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

4.1 Вычисление старшего показателя системы.

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Решим ее.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,

получили уравнение с разделяющимися переменными.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Общее решение системы (1) имеет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Возьмем 1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

тогда получим два решения системы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Составим матрицу решений системы (1).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Проверим ее на фундаментальность:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно [1,с.70], матрица Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. фундаментальна.

Перейдем к вычислению показателей решений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По определению [1,с.20] вычислим норму:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По определению 1.2 вычислим характеристические показатели, используя лемму 1.1:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так как функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ограниченные.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Проверим на несжимаемость систему вектор-функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., используя определение 1.3.

Составим линейную комбинацию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

и рассмотрим три случая: 1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В первом случае

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Во втором случае

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

В третьем случае

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Найдем нормы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В силу определения 1.2:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ─ ограниченная величина, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

А значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

По определению 1.3 следует, что характеристический показатель линейной комбинации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадает с наибольшим из характеристических показателей комбинируемых решений, то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

А это означает, что система (1) обладает свойством несжимаемости. Тогда по теореме 1.1 наша фундаментальная сист

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Старший и верхний центральный показатели линейной системы". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 446

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>