Дипломная работа на тему "Системы с постоянной четной частью"

ГлавнаяМатематика → Системы с постоянной четной частью




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Системы с постоянной четной частью":


Дипломная работа

"Системы с постоянной четной частью"

Содержание

Введение. 3

1. Четные и нечетные вектор-функции. 4

2. Основные сведения из теории отражающих функций. 6

3. Системы чёт-нечет. 11

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная 14

5. Простые и простейшие системы.. 22

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна 26

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть. 26

6.2 Построение систем с заданной четной частью.. 27

Заключение. 31

Список использованных источников………………………………………… 25


Введение

Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т. п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.

В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т. е. когда четная часть будет представлена в виде константы.

Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.

1. Четные и нечетные вектор-функции

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых студентами дипломных проектов предлагает вам написать любые проекты по нужной вам теме. Качественное выполнение дипломных работ по индивидуальным требованиям в Новокузнецке и в других городах России.

По аналогии с вещественными функциями одной переменной, вектор-функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем называть четной (нечетной), если для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является четной (нечетной) функцией, т. е. область определения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. симметрична относительно нуля и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является четной функцией, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нечетной.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем называть четной частью функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нечетной.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.

Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).

Доказательство. a) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – четная функция.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существуют или не существуют одновременно, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, производная четной функции есть функция нечетная.

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нечетная функция.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существуют или не существуют одновременно, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, производная нечетной функции есть функция четная.

Свойство 2 Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нечетная функция, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нечетная функция, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Подставив вместо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Откуда следует

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Основные сведения из теории отражающих функций

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначим интервал существования решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Определение: Отражающей функцией системы (1) назовем дифференцируемую функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

определяемую формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

или формулами

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для отражающей функции справедливы свойства:

1) Для любого решения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

системы (1) верно тождество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

2) Для отображающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. любой системы выполнены тождества:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

3) Дифференцируемая функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

и начальному условию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

Уравнение (5) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.

Доказательство. Свойство 1) следует непосредственно из определения (2). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (1) верны тождества

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. проходит некоторое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (1), и следуют тождества (5).

Приступим к доказательству свойства 3). Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – отражающая функция системы (1). Тогда для неё верно тождество (3). Продифференцируем это тождество по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и воспользуемся тем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – решение системы (1), и самим тождеством (3). Получим тождество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

из которого в силу произвольности решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – решение системы (5). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.

Пусть некоторая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет системе (5) и условию (6). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (5) – (6) функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.

Лемма Основная лемма 3 Пусть правая часть системы (1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодична по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда отображение за период для системы (1) можно найти по формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и поэтому решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

системы (1) будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодическим тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть решение недифференциальной системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.

Утверждение 4 Пусть непрерывно дифференцируемая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодична и нечетна по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда всякое продолжение на отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решение системы (1) будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодическим и четным по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет уравнению (5) и условию (6). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (7) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которого определено значение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Согласно основной лемме любое продолжимое на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решение системы (1) будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодическим. Четность произвольного решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (1) следует из тождеств

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.

Справедливы следующие утверждения [4].

Теорема 5 Пусть все решения системы (1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичны и однозначно определяются своими начальными данными. Тогда отражающая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. этой системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодична по

Теорема 6 Пусть система (1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодична по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. а ее решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Если, кроме того, отражающая функция этой системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодична по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то все решения системы (1) периодичны с периодом

Аналогичная теорема имеет место в том случае, когда не все решения системы (1) продолжимы на отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. При этом заключение о Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичности можно сделать лишь для тех решений, которые существуют при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичности отражающей функции следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичность всех продолжимых на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решений периодической системы (1). Из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичности отражающей функции не следует, вообще говоря, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичность решений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодической системы, хотя следует их Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичность.

Не следует думать, что если все решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодической системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичны, то ее отражающая функция обязана быть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодической. Этому противоречит пример уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В случае, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. когда система (1) вырождается в уравнение, верна

Теорема 7 Пусть уравнение (1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодично по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. а его решения однозначно определяются своими начальными данными и существуют при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Тогда для того, чтобы все решения уравнения (1) были Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичны, необходима и достаточна Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодичность по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отражающей функции этого уравнения.

3. Системы чёт-нечет

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (8)

Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:

а) Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (8) имеет единственное решение;

б) Правая часть системы (8) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодична по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Лемма 8 Пусть система (8) удовлетворяет условиям а) и б). Тогда продолжимое на отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. этой системы будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодическим тогда и только тогда, когда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

– есть нечетная часть решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодическое решение системы (8). Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Необходимость доказана.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – решение системы (8), для которого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть неподвижная точка отображения за период, а решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-периодическое.

Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

сводит к вычислению одного из значений нечетной части Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Иногда относительно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно сказать больше, чем о самом решении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (8). Дифференцируемые функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (9)

так как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

решение системы (8). Заменяя в тождестве (9) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество –

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (10)

Из тождеств (9) и (10) найдем производные:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом вектор-функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (11)

удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (12)

При этом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Систему (12) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (8). решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.

4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная

Пример

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

теперь продифференцируем его

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сделаем преобразования и приведем подобные

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Четная часть общего решения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

теперь продифференцируем его

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сделаем преобразования и приведем подобные

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сделаем проверку:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Четная часть общего решения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем решение: будем использовать метод исключения, возьмем первое уравнение системы и выразим из него Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

теперь продифференцируем его

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получили два решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сделаем проверку для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.

Сделаем проверку для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда видно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не являются решением для исходной системы.

Таким образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Четная часть общего решения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (13)

Системы вида (13) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.

5. Простые и простейшие системы

Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

для которой выполнены тождества (4), имеют место соотношения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теорема 10 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определенной в симметричной области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., содержащей гиперплоскость Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для которой выполнены тождества (4), существует дифференциальная система

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

c непрерывно дифференцируемой правой частью, отражающая функция которой совпадает с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

определенной в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержащей гиперплоскость Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которой выполнены тождества (4), при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и достаточно малых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует дифференциальная система

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

отражающая функция которой совпадает с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. а общий интеграл задается формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества (4).

Системы, существование которых гарантируется теоремами 10 и 11, называются соответственно простой и простейшей.

Теорема 13 Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

простейшая система, тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – отражающая функция системы (1).

Доказательство. Если система простейшая,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теорема 14 Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

выполнены тождества (4). Тогда для того, чтобы в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадала с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

или вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

есть некоторая непрерывная вектор-функция.

Будем говорить, что множество систем вида (1) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

со свойствами:

1) Oтражающая функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

любой системы из рассматриваемого множества совпадает в своей области определения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) Любая система вида (1), отражающая функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

которой совпадает в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида (1), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определенную вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из третьего свойства отражающей функции следует, что система (1) и система

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

совместна.

Необходимым условием совместности этой системы является тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна

6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть

Пусть нам дана система

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (14)

Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (15)

То есть, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не будет зависеть от времени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем отражающую функцию системы (14) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и используя

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

получим четную часть следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (16)

Теорема 15 Если выполнено тождество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – отражающая функция, для линейной системы вида (14), то любое решение этой системы имеет постоянную четную часть.

Доказательство. Возьмем любое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (14). Его производная

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Поэтому можем записать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из условия теоремы имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом получили, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – четная вектор-функция. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

6.2 Построение систем с заданной четной частью

Рассмотрим систему (14). Будем строить систему с заданной четной частью.

Пусть нам известна четная часть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Воспользуемся формулой (15) и преобразуем ее

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно, можем записать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда зная (3), получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – отражающая функция системы. Исключая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из предыдущего соотношения, с произвольной отражающей функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющей условию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

получим требуемую систему.

Пример 16 Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – заданная четная часть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Продифференцируем обе части равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Преобразуем правую часть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Перепишем полученное в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Выразим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (17)

Для всех систем вида (17) должно быть выполнено условие

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Возьмем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Подставим значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в систему (17):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

П

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Системы с постоянной четной частью". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 696

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>