Дипломная работа на тему "Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений"

ГлавнаяМатематика → Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Системы, эквивалентные системам с известными качественными свойствами решений":


Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой Мироненко В. И.

"" 2007 г.

Системы, эквивалентные системам с известными

качественными свойствами решений

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 Поляк Е. М .

Научный руководитель:

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых оригинальных дипломных проектов предлагает вам скачать любые работы по требуемой вам теме. Правильное написание дипломных работ на заказ в Казани и в других городах России.

к. ф. - м. н., старший преподаватель Вересович П. П.

Рецензент:

к. ф. - м. н., доцент кафедры ВМП Карасёва Г. Л.

Гомель 2007

Содержание

Введение

§1. Отображение Пуанкаре

§2. Общие сведения об отражающей функции

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

§4. Стационарный интеграл

§5. Способ построения дифференциальных систем, эквивалентных стационарным системам

§6. О некоторых аспектах применения отражающей функции для исследования свойств решений дифференциальных систем

Заключение

Список используемых источников


Введение

Многочисленные нужды практики приводят нас к необходимости моделирования динамики развития реальных систем, а тем самым и зачастую к необходимости построения систем дифференциальных уравнений с определёнными свойствами. При моделировании задач классической физики дифференциальные равнения появляются естественным образом, когда мы формулируем на математическом языке соответствующие физические законы. В последнее время, однако, всё чаще приходится иметь дело с более сложными реальными системами, и здесь на первый план выходит качественное моделирование. При этом очень часто нам приходится составлять модели таких реальных систем, для которых общие фундаментальные законы могут служить лишь некоторым ориентиром. В этом случае мы, как правило, вынуждены отказаться от точных количественных оценок и строить модель, отражающую лишь качественные стороны поведения системы. Обычно это достигается искусным заданием правых частей соответствующей дифференциальной системы.

Полученная при моделировании дифференциальная система оказывается, как правило, достаточно сложной для исследования. Поскольку наша задача состоит лишь в выяснении качественной стороны эволюции реальной системы, то при изучении полученной дифференциальной системы мы можем заменить её на качественно эквивалентную её дифференциальную систему.

Таким образом, практика ставит перед нами следующие задачи:

задача некоторой унификации построения дифференциальных систем с заданными качественными свойствами;

в том случае, когда уже построена некоторая сложная дифференциальная система, встаёт задача о замене этой системы ей качественно эквивалентной, но удобной для дальнейшего исследования.

Для решения этих задач было бы разумно с одной стороны, иметь набор соответствующих модельных систем, т. е. достаточно богатый набор качественно различных дифференциальных систем, а с другой стороны, обладать математическим аппаратом, позволяющим устанавливать качественную эквивалентность модельной системы и исследуемой дифференциальной системы.

Качественное поведение решений дифференциальных систем во многом определяется наличием и количеством периодических решений, их начальными условиями.

Для выяснения вопросов о наличии и количестве периодических решений периодических систем наиболее часто используется отображение Пуанкаре и метод отражающей функции. Ниже будут приведены некоторые сведения о них.

Значительное число работ учёных всех стран мира посвящено качественному исследованию автономных дифференциальных систем небольших размерностей .

Неавтономные дифференциальные системы даже не высоких размерностей изучаются менее интенсивно из-за отсутствия методик их прямого исследования.

Получить сведения, о качественном поведении решений исследуемой неавтономной дифференциальной системы, возможно, установив её эквивалентность, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальной системы, стационарной или нестационарной, качественный портрет решений которой известен.

В данной работе рассматривается задача о построении дифференциальных систем, эквивалентных в смысле совпадения отражающих функций, системам с известным первым интегралом.


§1. Отображение Пуанкаре

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Будем считать, что эта система удовлетворяет следующим условиям:

а) при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. задача Коши для системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет единственное решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

б) система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодична по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Чтобы не делать далее оговорок, будем считать также, что все решения системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существуют при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отображение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называют оператором или отображением сдвига вдоль решений системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [1]. Имеют место следующие свойства оператора сдвига вдоль решений системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Каждое из этих свойств вытекает из свойств функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, к примеру, свойство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое равносильно тождеству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для его доказательства отметим, что в силу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодичности системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как и функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является решением системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. эти решения совпадают. Поэтому они обязаны совпадать и при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в том числе и при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. т. е. должно иметь место тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а с ним и свойство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отображение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при любом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называют отображением за период, или отображением Пуанкаре для системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Областью определения отображения Пуанкаре является множество всех тех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для которых решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определено при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Общий принцип.

Для того, чтобы продолжимое на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. было Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодическим, необходимо и достаточно, чтобы точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. была неподвижной точкой отображения Пуанкаре Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Необходимость очевидным образом следует из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодичности решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Достаточность. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть неподвижная точка отображения за период Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это означает, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определена на некотором множестве, содержащем отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и в силу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодичности системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является решением системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Согласно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оба решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадают. Так как решения системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. однозначно определяются своими начальными условиями, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Таким образом, если при каком-то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удаётся отыскать отображение за период Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то из уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут найдены начальные данные всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодических решений.

Создаётся впечатление, что отображение Пуанкаре можно найти только зная общее решение дифференциальной системы.

Для отыскания отображения Пуанкаре (отображение за период) можно использовать некоторые вспомогательные функции, которые не совпадая с общим решением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. во всей области существования решения, совпадают с ним на гиперплоскостях, отличающихся на период. Если такая функция будет найдена, то будет найдено и отображение за период.

В. И. Мироненко в качестве такой функции использовал функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [2,3], которую назвал отображающей функцией. При известной отображающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодической дифференциальной системы отображение за период Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяется формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В дальнейшем будем полагать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.половина периода.

Приведём теперь известные факты об отражающей функции [3,4].

§2. Общие сведения об отражающей функции

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Общее решение в форме Коши обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.обозначим интервал существования решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отражающей функцией системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. назовём дифференцируемую функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., определяемую формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для отражающей функции справедливы свойства:

для любого решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. верно тождество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

для отражающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. любой системы выполнены тождества

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

дифференцируемая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет отражающей функцией системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и начальному условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Совокупность условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и начального условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. назовём основным соотношением для отражающей функции.

Как известно, в большинстве случаев система дифференциальных уравнений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не может быть проинтегрирована в элементарных функциях или в квадратурах. Это вынуждает исследовать решения системы по самим дифференциальным уравнениям.

Знание отражающей функции системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. позволяет решать вопросы существования, количества и начальные данные периодических решений системы.

Поскольку у разных дифференциальных систем может быть одна и та же отражающая функция, то с помощью отражающей функции можно заменить одну дифференциальную систему на качественно ей эквивалентную и более простую другую дифференциальную систему.

Пример.

Уравнение Рикатти Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет отражающую функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Такую же отражающую функцию имеет и уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое значительно проще интегрируется в замкнутом виде, а значит проще и исследование свойств решений данного условия.

Приведём более точное понятие эквивалентности, в смысле совпадения отражающих функций, дифференциальных систем.

Эквивалентные системы.

Рассмотрим класс систем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со свойствами:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отражающая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.любая система вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., отражающая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. которой совпадает в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., содержится в рассматриваемом множестве.

Две системы вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс - соответствующим отражающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для построения систем имеющих одну и ту же отражающую функцию можно воспользоваться теоремой:

Лемма 2.1 Для всякой непрерывно-дифференцируемой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которой выполнены тождества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеют место соотношения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство. Продифференцируем тождество по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получим тождества

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

из которых следует неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и тождества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Лемма доказана.

Теорема 2.1. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью, а для дважды непрерывно дифференцируемой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполнено

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда, для того, чтобы в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадала с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., необходимо и достаточно, чтобы рассматриваемая система имела вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть некоторая непрерывно дифференцируемая вектор-функция.

Доказательство. Необходимость. Пусть есть отражающая функция некоторой системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и пусть совпадает с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Положим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда используя тождества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. и основное соотношение для отражающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим тождества

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

из которых следует, что всякая система, для которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть отражающая функция, может быть записана в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Достаточность. Пусть в системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть такая функция, для которой решение системы однозначно определяется своими начальными данными. Тогда, в чём можно убедиться подстановкой, выполняется основное соотношение для отражающей функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому, согласно третьему свойству отражающей функции, функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является отражающей функцией системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Т. о. варьируя вектор-функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. мы получим все системы имеющие заданную отражающую функцию.

У эквивалентных систем одинаковое количество периодических решений, т. к начальные данные периодических решений определяются из уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.половина периода правой части соответствующих дифференциальных систем.

Пусть известно, что системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

принадлежат одному классу эквивалентности, и пусть одна из этих систем, скажем, система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодической. Тогда если решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. систем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соответственно продолжимы на отрезок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., хотя система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может быть непериодической. Откуда следует

Теорема 2.2. Пусть система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодической по Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. правой частью и система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. принадлежат одному классу эквивалентности, а их решения существуют при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда между Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодическими решениями системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и решениями двухточечной задачи Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно установить взаимооднозначное соответствие.

Уравнения

например, принадлежат одному классу эквивалентности с отражающей функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Единственное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.периодическое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

первого уравнения соответствует единственному решению задачи Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. второго уравнения.

§3. Возмущения дифференциальных систем, не меняющие отражающей функции

Наряду с дифференциальной системой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

будем рассматривать множество систем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.непрерывная скалярная нечётная функция, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. назовём возмущённой, а добавку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.возмущением. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Как известно, отражающая функция системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обязана удовлетворять следующему соотношению

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для решения поставленной задачи нам потребуются некоторые вспомогательные утверждения. Справедлива [4]

Лемма 3.1. Для любых трёх вектор-функций

имеет место тождество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство.

Будем преобразовывать левую часть тождества

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Лемма доказана.

Лемма 3.2. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть отражающая функция системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор-функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

удовлетворяет тождеству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство.

Подставив функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в выражение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., придем к следующим тождествам:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Выразим из соотношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. частную производную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., подставим в последнее тождество и будем преобразовывать получившееся выражение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Применив к первым двум слагаемым последней части этой цепочки тождеств тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. придем к следующим соотношениям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Выразим из соотношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выражение, находящееся в скобках последнего тождества и подставим в последнее из получившихся тождеств:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Учитывая определение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., полученное тождество можно переписать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Мы пришли к соотношению

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Прибавив к левой и правой частям этого соотношения выражение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., придем к нужному нам тождеству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и тем самым докажем лемму.

Лемма доказана.

Теорема 3.1. Пусть вектор-функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является решением дифференциального уравнения в частных производных

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда возмущенная дифференциальная система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.произвольная непрерывная скалярная нечетная функция, эквивалентна дифференциальной системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в смысле совпадения отражающих функций.

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.отражающая функция системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что помимо этого уравнения при условиях теоремы она удовлетворяет тождеству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

С этой целью введем функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по формуле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Согласно предыдущей лемме, эта функция удовлетворяет тождеству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При условиях доказываемой теоремы, с учетом соотношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. это тождество переписывается в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции верно тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеют место соотношения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Поставим следующую задачу Коши для функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Решение этой задачи существует и единственно [6, с.66]. Таким образом, имеет место тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. влекущее за собой тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь покажем, что отражающая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. дифференциальной системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является также и отражающей функцией дифференциальной системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое в данном случае должно быть переписано в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечетность функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., приходим к следующей цепочке тождеств:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое - потому, что для отражающей функции системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. верно тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., второе - потому, что при условиях теоремы верно тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, тождество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.выполняется и функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является отражающей функцией системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

Следствие3.1. Пусть функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются решениями дифференциального уравнения в частных производных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда все дифференциальные системы вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.нечетные скалярные непрерывные функции, такие, что ряд Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сходится к непрерывно дифференцируемой функции, эквивалентны между собой в смысле совпадения отражающих функций и все они эквивалентны дифференциальной системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательствоследствия очевидно и сводится к последовательному применению теоремы 3.1

Замечание 3.1. В [2, с.24] доказано, что правая часть стационарной дифференциальной системы, эквивалентной дифференциальной системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в смысле совпадения отражающих функций, если такая система существует, может быть найдена по формуле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Учитывая этот факт и сформулированное выше следствие, для нас важно установить, когда вектор-функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может быть представлена в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.решения уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Последующие рассмотрения направлены на решение этой задачи. Решив ее, мы сможем заменить изучение свойств решений нестационарных систем изучением свойств решений стационарных систем вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или, если угодно, использовать уже изученные стационарные системы для изучения нестационарных систем.

§4. Стационарный интеграл

Рассмотрим систему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

с непрерывной в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Дифференцируемая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заданная в некоторой подобласти Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется первым интегралом системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если для любого решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., график которого расположен в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 464

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>