Дипломная работа на тему "Сингулярные интегралы"

ГлавнаяМатематика → Сингулярные интегралы




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Сингулярные интегралы":


Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Сингулярные интегралы.

Выполнила:

студентка V ку рса

математического факультета

Сколова Ирина Юрьевна

____________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

____________________

Рецензент:

кандидат физико-математических наук, доцент

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Высококлассное написание дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Новосибирске и в других городах РФ.

Подгорная Ирина Иссаковна

____________________

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ___________________ Крутихина М. В.

« » _______________

Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.

« » _______________

Киров 2005

Оглавление

Введение………………………………………………………………………...с. 3

§1. Понятие сингулярного интеграла…………………………………………с. 6

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке…с. 11

§3. Приложения в теории рядов Фурье.............................................................с. 18

§4. Сингулярный интеграл Пуассона................................................................с. 23

Литература……………………………………………………………………...с. 27


Введение

Цель работы – познакомиться с понятием сингулярного интеграла, рассмотреть представление функции сингулярным интегралом в заданной точке и приложения в теории рядов Фурье.

Основной вопрос теории сингулярных интегралов состоит в установлении связи предельных значений интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со значением функции f (t) в точке x. Важным также является вопрос о представлении суммируемой функции сингулярным интегралом в точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега. Теория сингулярных интегралов имеет многочисленные приложения. Например, вопрос о сходимости ряда Фурье разрешается с помощью сингулярного интеграла.

Во всем дальнейшем интеграл будем понимать в смысле интеграла Лебега. Напомним, что функция называется суммируемой, если существует конечный интеграл от этой функции.

В работе нам будут необходимы следующие определения и теоремы.

Определение. Если в точке x будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то точка x называется точкой Лебега функции f (t).

Теорема (Н. Н. Лузин). Пусть f (x) измеримая и почти везде конечная функция, заданная на [a, b]. Каково бы ни было δ>0, существует такая непрерывная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если, в частности, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорему Н. Н. Лузина можно сформулировать и так: измеримая и почти везде конечная функция становится непрерывной, если пренебречь множеством сколь угодно малой меры.

Определение. Пусть дано измеримое множество E. Взяв произвольную точку x и число h>0, положим E(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., h)=E∙[Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-h, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+h]. Это тоже измеримое множество.

Предел отношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при h→0 называется плотностью множества E в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и обозначается через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Пусть функция f (x) задана на сегменте [a, b] и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если существует такое измеримое множество E, лежащее на [a, b] и имеющее точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. точкой плотности, что f (x) вдоль E непрерывна в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то говорят, что f (x) аппроксимативно непрерывна в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Измеримая функция f (x) называется функцией с суммируемым квадратом, или функцией, суммируемой с квадратом, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Множество всех функций с суммируемым квадратом обозначается символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Пусть на сегменте [a, b] задана конечная функция f (x). Если всякому ε>0 отвечает такое δ>0, что для любой конечной системы взаимно не пересекающихся интервалов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оказывается

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (3)

то говорят, что функция f (x) абсолютно непрерывна.

Не изменяя смысла определения, можно условие (3) заменить более тяжелым условием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Две функции f (x) и g(x), заданные на сегменте [a, b], называются взаимно ортогональными, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Функция f (x), заданная на [a, b], называется нормальной, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Система функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, заданных на сегменте [a, b], называется ортонормальной системой, если каждая функция системы нормирована, а любые две функции системы взаимно ортогональны.

Определение. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ортонормальная система и f (x) некоторая функция из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называются коэффициентами Фурье функции f (x) в системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ряд Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется рядом Фурье функции f (x) в системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..


§1. Понятие сингулярного интеграла

Чтобы познакомиться с идеей, лежащей в основе понятия сингулярного интеграла, начнем с примера.

Рассмотрим функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Если n и x фиксированы, а t меняется от 0 до 1, то эта функция есть непрерывная функция от t. Значит, для всякой суммируемой f (t) (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) можно образовать величину

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2)

Докажем, что во всякой точке x (0<x<1), в которой функция f(t) непрерывна, будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Для этого прежде всего отметим, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (4)

Поэтому, чтобы установить (3), достаточно показать, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к нулю разность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем произвольное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и найдем такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Считая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., представим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оценивается следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В интеграле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не зависит от n. Аналогично Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что при достаточно больших n будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к 0 с возрастанием n, что и требовалось доказать.

Соотношение (3) обеспечивают следующие свойства функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: при больших значениях n те значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые отвечают сколько-нибудь заметно удаленным от x значениям t, очень малы, так что величина интеграла (2) определяется в основном значениями подынтегральной функции в непосредственной близости точки x. Но около точки x функция f (t) почти равна f (x) (т. к. она непрерывна при t=x). Значит, если n велико, то интеграл (2) мало изменяется при замене f (t) на f (x), т. е. он почти равен интегралу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и, в силу (4), почти равен f (x).

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обладающая подобными свойствами, носит название ядра.

Определение. Пусть функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (n=1, 2, …), заданная в квадрате (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), суммируема по t при каждом фиксированном x. Она называется ядром, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при условии, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Интеграл вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, называется сингулярным интегралом.

В теории сингулярных интегралов очень важен вопрос установления связи предельных значений интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со значением функции

f (t) в точке x. Так как изменение значения функции f (t) в одной точке никак не отражается на величине Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то необходимо потребовать, чтобы значение f (x) функции f (t) в точке x было как-то связано с ее значениями в близких точках. Простейшая форма такой связи есть непрерывность функции f (t) в точке t=x. Другими формами связи могут служить аппроксимативная непрерывность, требование, чтобы x была точкой Лебега функции f (t), и т. п.

Теорема 1 (А. Лебег). Пусть на [a, b] задана последовательность измеримых функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., … Если существует такая постоянная K, что при всех n и t будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (5)

и если при всяком c (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (6)

то, какова бы ни была суммируемая на [a, b] функция f (t), справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (7)

Доказательство. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть сегмент, содержащийся в [a, b], то из (6) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (8)

Рассмотрим непрерывную функцию f (t), и для наперед заданного Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разложим [a, b] точками на столь малые части, чтобы в каждой из них колебание f (t) было меньше, чем ε.

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (9)

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что первая сумма из (9) не больше, чем (b-a). Вторая же сумма (9), в силу (8), стремится к нулю с возрастанием n и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. окажется меньшей, чем ε. Для этих n будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что (7) доказано для непрерывной функции f(t).

Пусть f (t) измеримая ограниченная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем ε>0 и, пользуясь теоремой Н. Н. Лузина, найдем такую непрерывную функцию g(t), что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по уже доказанному стремится к нулю и для достаточно больших n становится меньше ε. Значит, для этих n будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

что доказывает (7) для случая ограниченной измеримой функции.

Пусть f (t) произвольная суммируемая функция.

Возьмем ε>0 и, пользуясь абсолютной непрерывностью интеграла, найдем такое δ>0, чтобы для любого измеримого множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с мерой me<δ было Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сделав это, найдем такую измеримую ограниченную функцию g(t), чтобы было Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это возможно по

Теореме. Пусть на множестве Е задана измеримая, почти везде конечная функция f (x). Каково бы ни было ε>0, существует измеримая ограниченная функция g(x) такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно считать, что на множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция g(t) равна нулю.

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при достаточно больших n будет меньше ε, и при этих n окажется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и доказывает теорему.

Пример. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно выполнены оба условия теоремы Лебега. Аналогично рассматривается случай Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом доказана

Теорема 2 (Риман-Лебег). Для любой суммируемой на [a, b] функции

f (t) будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В частности, коэффициенты Фурье Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольной суммируемой функции стремятся к нулю при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если соотношение (7) имеет место для всякой суммируемой на [a, b] функции f (t), то мы будем говорить, что последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю.

§2. Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке

Во всем дальнейшем будем считать, что ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет смысл при любой суммируемой функции f (t).

Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x(a<x<b) и любом δ>0 ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ],

[x+δ, b] и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где H(x) не зависит от n, то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x, справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, то ,

и достаточно обнаружить, что

.

С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x.

Тогда при любом n Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но каждый из интегралов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к нулю, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [a, x-δ], [x+δ, b]. Поэтому для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3.

И для этих n окажется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы.

Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса.

Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [a, b] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [a, b], интеграл

(2)

существует (может быть как несобственный при t=a) и справедливо неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега.

Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g*(t), определив ее равенствами

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. g(t), если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

g*(t)=

0, если t=b.

Доказав теорему для g*(t), мы затем смогли бы всюду заменить g*(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0.

Пусть a<α<b. На сегменте [α, b] функция g(t) ограничена, и интеграл

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

заведомо существует. Если положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

откуда, после интегрирования по частям, находим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a] выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и следовательно

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (5)

а так как g(t) убывает, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (6)

Значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. С другой стороны, функция g(t) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда, учитывая (6), следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сопоставляя все сказанное, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (7)

Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α<β<b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t)=1 в (3) достигается равенство.)

Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как функция одного лишь t, возрастает в сегменте [a, x] и убывает в сегменте

[x, b].

Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и достаточно проверить, что .

Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте

[a, x] и [x, b], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично.

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

что возможно, так как f (t) в точке t=x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда по предыдущей лемме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что .

Таким образом,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С другой стороны, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на сегменте [x+δ, b] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является ядром. Следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на сегменте [x+δ, b] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При этих n окажется

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема доказана.

В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро, т. к. при α<x<β

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эта функция положительна, и она возрастает при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и убывает при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит, для всякой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла.

Определение. Функция Ψ(t, x) называется горбатой мажорантой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и если Ψ(t, x) при фиксированном x возрастает на сегменте [a, x] и убывает на сегменте [x, b].

Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при каждом n имеет такую горбатую мажоранту Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где K(x) зависит лишь от x, то для любой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеющей точку t=x точкой Лебега, будет справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Достаточно доказать, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По лемме имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С другой стороны, в сегменте [x+δ, b] последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. слабо сходится к нулю, т. к. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно для достаточно больших n будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При этих n окажется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Теорема доказана.


§3. Приложения в теории рядов Фурье

Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В частности, если речь идет о тригонометрической системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1)

то рядом Фурье функции f (x) служит ряд

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2)

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Во введении предполагали, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функции f (x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции.

Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, в силу (3), Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=0, 1, …, n-1),

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это дает Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда следует равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (4)

Пользуясь этой формулой, придадим сумме Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (5)

Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле.

Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (6)

В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится.

Для исследования Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. преобразуем ее с помощью формулы (5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (7)

Действительно, складывая равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=0, 1, …, n-1),

находим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда и следует (7).

С помощью (7) получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (8)

Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева.

Для этого рассмотрим функцию f (t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=1, 2, …).

Значит, для этой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (n=0, 1, 2, …), а следовательно и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но выражая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегралом Фейера, получим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (9)

Заметив это, рассмотрим точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и, следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где A(x, α) не зависит от n.

Отсюда следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ядро.

Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (10)

С другой стороны, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (11)

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может оказаться и больше, чем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но это несущественно. Если положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из (10) и (11) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть горбатая мажоранта ядра Фейера.

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n.

Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы

Д. К. Фаддеева. Отсюда следует

Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [-π, +π] будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (12)

Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t), лежащих внутри [-π, +π].

Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива следующая

Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции

f (x) равны нулю, то f (x) эквивалентна нулю.

В самом деле, в этом случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, следовательно, f (x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде.

Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для этого заметим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

так что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§4. Сингулярный интеграл Пуассона

Пусть точка x есть точка d суммируемой функции f (t), если в этой точке производная неопределенного интеграла функции f (t) равна f (x) (причем Рисунок убран из раб
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 618

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>