Дипломная работа на тему "Символ "О" - асимптотический анализ"

ГлавнаяМатематика → Символ "О" - асимптотический анализ




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Символ "О" - асимптотический анализ":


Выпускная квалификационная работа

«Символ О»

Содержание

--------------------------------------------------

Введение………………………………………………………….

Глава 1. Символ О………………………………………………..

§1. Основные определения, примеры…………………..……

§2. Основные соотношения.………………………………….

§3. Решение задач…………………………………………….

Глава 2. Приложения символа О………………………………...

§1. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного..……………..……..……

§2. Асимптотическое р ешение интегралов………………….

§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда…..…………

Литература………………………………………………………...

|

стр. 3

стр. 5

стр. 5

стр. 9

стр. 14

стр. 18

стр. 18

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам написать любые проекты по желаемой вами теме. Грамотное написание дипломных проектов под заказ в Краснодаре и в других городах России.

стр. 22

стр. 24

стр. 26

|
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Введение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Слово асимптотика имеет греческое происхождение и буквально означает «никогда не соединяющиеся». Изучая конические сечения, древнегреческие математики рассматривали, в частности, гиперболы, такие, как график функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

имеющий прямые y = x и y = -x своими «асимптотами». При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. кривая приближается к асимптотам, но никогда не соприкасается с ними. В наши дни слово «асимптотика» используется в более широком смысле для обозначения любой приближенной величины, которая становится все более точной по мере приближения некоторого параметра к предельному значению.

Точные решения, если их удается получить, - это замечательно: окончательный ответ вызывает чувство глубокого удовлетворения. Но и приближенное значение иногда оказывается в цене.

В 1894 году Пауль Бахман придумал обозначение для асимптотического анализа. В последующие годы его популярности способствовали Эдмунд Ландау и др. Мы встречаем это обозначение в формулах наподобие:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.1)

которая говорит нам, что n-е гармоническое число равно натуральному логарифму n плюс константа Эйлера плюс некоторая величина, которая составляет «О большое от 1 на n». Эта последняя величина точно не определена, однако, какой бы она ни была, обозначение «О» позволяет утверждать, что она не превосходит константу, умноженную на 1/n.

Величину О(1/n) можно считать пренебрежимо малой, если только нас не интересуют величины, отличающиеся от 1/n лишь постоянным множителем.

Приложения символа О можно встретить в разных областях математики, а также и в физике. Например, в книге Панченкова А. Н. «Асимптотические методы в экстремальных задачах механики» рассматривается применение асимптотических методов в решении задач аэродинамики.

Цель дипломной работы:

изучить понятие «Символ О» и показать его применения.

Задачи:

1. Изучить понятие «Символ О», дать определение.

2. Изучить и доказать основные соотношения.

3. Показать применение символа О при решении задач.

4. Найти применение символа О в различных областях математики.

На основании поставленных целей и задач квалификационная работа разбита на две главы.

Глава 1 «Символ О» состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные определения, приводятся примеры; во втором – формулируются утверждения, приводятся их доказательства; третий параграф посвящен решению задач.

Глава 2 «Приложения символа О» освещает применение символа О, а именно, при решении трансцендентных уравнений, при вычислении интегралов, при нахождении суммы рядов.

Глава 1. Символ О.

§1. Основные определения, примеры

Определение 1:

f(n) = O(g(n)) для всех n Î N (1.1.1)

означает, что существует такая константа С, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех n Î N; (1.1.2)

а если обозначение O(g(n)) использовано внутри формулы, то оно обозначает функцию f(n), удовлетворяющую (1.1.2). Значения функции f(n) неизвестны, но мы знаем, что они не слишком велики.

Символ «О» включает неопределенную константу С, каждое вхождение О может подразумевать различные С, но каждая из этих констант не зависит от n.

Пример 1: мы знаем, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна

n = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно записать n = О(n3),

так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех целых n. Можно получить более точную формулу

n = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.О(n2), так как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех целых n. Можно также небрежно отбросить часть информации и записать n = О(n10).

Определение О не заставляет нас давать наилучшую оценку.

Рассмотрим пример, когда переменная n – не целочисленная.

Пример 2: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где х – вещественное число.

Здесь уже нельзя сказать, что S(x) = O(x3), так как отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. неограниченно растет при х®0. Нельзя также сказать, что S(x) = O(x), т. к. отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. неограниченно растет, когда х стремится к бесконечности. Значит, мы не можем использовать символ «О» для оценки S(x).

Эта дилемма разрешается благодаря тому, что на переменные, используемые с О, обычно накладываются какие-либо ограничения. Если, например, мы поставим условие, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., или что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где e - произвольная положительная константа, или что х – целое число, то мы сможем записать S(x) = O(x3). Если же наложено условие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где с – произвольная положительная константа, то в этом случае S(x) = O(x). «О большое» зависит от контекста, от ограничений на используемые переменные.

Эти ограничения часто задаются в виде предельных соотношений.

Определение 2: соотношение f(n) = O(g(n)) при n®¥ означает, что существуют две константы С и n0, такие, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при всех n ³ n0. (1.1.3)

Замечание 1: Значения С и n0 могут быть разными для разных О, но они не зависят от n.

Определение 3: запись f(х) = O(g(х)) при х®0 означает, что существуют две константы С и e, такие, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если только Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.1.4)

Теперь О представляет неопределенную функцию и одну или две неопределенные константы, зависящие от контекста.

Замечание 2: запись Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. корректна, но в этом равенстве нельзя менять местами правую и левую части. В противном случае мы можем прийти к нелепым выводам, наподобие n = n2, исходя из верных тождеств n = О(n2) и n2 = О(n2).

Работая с символом «О» мы имеем дело с односторонними равенствами. Правая часть уравнения содержит не больше информации, чем левая, и фактически может содержать меньше информации; правая часть является «огрублением» левой.

Если говорить строго формально, то запись O(g(n)) обозначает не какую-то одну функцию f(n), а сразу множество функций f(n), таких, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторой константы С. Обычная формула g(n), не включающая символ О, обозначает множество, содержащее одну функцию f(n) = g(n). Если S и T суть множества функций от n, то запись ST обозначает множество всех функций вида f(n) + g(n), где f(nS и g(nT; другие обозначения вроде S – T, ST, S/T, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., еS, ln S определяются аналогично. Тогда «равенство» между двумя такими множествами функций есть теоретико-множественное включение; знак «=» в действительности означает «Í».

Пример 3: «Уравнение» Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. означает, что S1 Í S2, где S1 есть множество всех функций вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых найдется константа С1, такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а S2 есть множество всех функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых найдется константа С2, такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно строго доказать это «равенство», если взять произвольный элемент из левой части и показать, что он принадлежит правой части: пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. таково, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., следует доказать, что существует такая константа С2, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Константа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решает проблему, так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех целых n.

Замечание 3: Если в формуле используется несколько переменных, то символ О представляет множество функций от двух или более переменных, а не только от одной. В область определения каждой функции входят все переменные, которые в данном контексте «свободны» для изменения.

Тут есть некоторая тонкость ввиду того, что переменные могут иметь смысл лишь в части выражения, если они связаны знаком S или подобным.

Пример 4: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., целое n ³ 0. (1.1.5)

Выражение k2 + O(k) в левой части отвечает множеству всех функций от двух переменных вида k2 + f(k, n), для которых найдется константа С, такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для 0 £ k £ n. Сумма таких множеств функций для 0 £ k £ n есть множество всех функций g(n) вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где f удовлетворяет сформулированному условию. Поскольку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.то все такие функции g(n) принадлежат правой части (1.1.5); следовательно, (1.1.5) справедливо.

§2. Основные соотношения

Соотношение 1: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.2.1)

Доказательство:

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по свойству степени и модуля. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где С = 1. А по определению (1.1.2) символа О это и означает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Соотношение 1 доказано.

Соотношение 2: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.2.2)

Доказательство:

Покажем строго в соответствии с теоретико-множественным определением символа О, что левая часть является подмножеством правой части.

Любая функция из левой части имеет вид a(n) + b(n), и существуют константы m0, B, n0, C, такие, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, функция в левой части

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

А, значит, по определению символа О левая часть принадлежит правой части. Соотношение 2 доказано.

Соотношение 3: f(n) = O(f(n)); (1.2.3)

Доказательство:

Для любой функции f(n) верно неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где С = 1. По определению символа О (1.1.2) это и означает, что f(n) = O(f(n)). Соотношение 3 доказано.

Соотношение 4: O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)); (1.2.4)

Доказательство:

Покажем в соответствии с теоретико-множественным определением символа О, что левая часть является подмножеством правой части.

В левой части функции имеют вид a(n) × b(n), такие, что существуют константы В, С, n0, m0, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого n ³ max(n0, m0,). Значит левая часть принадлежит правой части, а, следовательно, является подмножеством правой части по определению символа О. Соотношение 6 доказано.

Соотношение 5: O(O(f(n))) = O(f(n)); (1.2.5)

Доказательство:

Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.

Функция из левой части имеет вид a(n) такой, что существуют положительные константы С, В, n0, m0 такие, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно, по определению левая часть является подмножеством правой части. Соотношение 5 доказано.

Соотношение 6: С × O(f(n)) = O(f(n)), если С – константа; (1.2.6)

Доказательство:

Существует такая константа В, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., по определению (1.1.1) С = О(1). Тогда С × O(f(n)) = О(1) × O(f(n)) = (по 1.2.4) = O(f(n)).

Соотношение доказано.

Соотношение 7: O(f(n)g(n)) = f(n)O(g(n)). (1.2.7)

Доказательство:

Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.

В левой части функции имеют вид a(n), такие, что существуют константы С, n0, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По определению символа О мы получаем верное равенство (1.2.7). Соотношение 7 доказано.

Соотношение 8: O(f(n)2) = O(f(n))2. (1.2.8)

Доказательство:

O(f(n)2) = O(f(n) · f(n)) = (по 1.2.7) = f(n) · O(f(n)) = (по 1.2.3) = О(f(n)) · O(f(n)) = O(f(n))2

Соотношение доказано.

Соотношение 9: еO(f(n)) = 1 + O(f(n)), если f(n) = О(1) (1.2.9)

Доказательство:

еO(f(n)) = еg(n), где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Т. к. f(n) = О(1), т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тоРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит еO(f(n)) = 1 + O(f(n)).

Соотношение доказано.

Соотношение 10: Если сумма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сходится абсолютно для некоторого комплексного числа z = z0, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство:

Данное соотношение очевидно, поскольку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Соотношение доказано.

Замечание 4: В частности, S(z) = O(1) при z ® 0 и S(1/n) = O(1) при n ® ¥ при том только условии, что S(z) сходится хотя бы для одного ненулевого значения z. Мы можем использовать этот принцип для того, чтобы, отбросив хвост степенного ряда, начиная с любого удобного места, оценить этот хвост через О. Так, например, не только S(z) = O(1), но и

S(z) = a0 + O(z), S(z) = a0 + a1z + O(z2),

и т. д., поскольку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а последняя сумма, как и сама S(z), абсолютно сходится при z = z0 и есть О(1).

В таблице №1 приведены самые полезные асимптотические формулы [2], половина из которых получена просто путем отбрасывания членов степенного ряда в соответствии с этим правилом.

Таблица №1

Асимптотические аппроксимации, справедливые при ® ¥ и ® 0

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.10)

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.11)

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.12)

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.13)

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.14)

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.15)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Асимптотические формулы для Hn, n! не являются начальными отрезками сходящихся рядов; если неограниченно продолжить эти формулы, то полученные ряды будут расходиться при всех n.

Говорят, что асимптотическая аппроксимация имеет абсолютную погрешность O(g(n)), если она имеет вид f(n) + O(g(n)), где f(n) не включает О. Аппроксимация вида f(n)(1 + O(g(n))) имеет относительную погрешность O(g(n)), если f(n) не включает О. Например, аппроксимация Hn в таблице №1 имеет абсолютную погрешность O(n-6); аппроксимация n! - относительную погрешность O(n-4). (Правая часть (1.2.11) не такая, как требуется, - f(n)(1 + O(n-4)), но ее можно переписать как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Абсолютная погрешность этой аппроксимации есть O(nn-3.5e-n). Абсолютная погрешность соотносится с числом верных десятичных цифр справа от десятичной точки, которые сохраняются после отбрасывания члена О; относительная погрешность связана с числом верных «значащих цифр».

3. Решение задач

Задача 1. Что неверно в следующих рассуждениях? Поскольку n = O(n) и 2n = O(n) и так далее, то заключаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.?

Решение:

Замена kn на O(n) подразумевает различные С для различных k; а нужно, чтобы все О имели общую константу. В действительности, в данном случае требуется, чтобы О обозначало множество функций двух переменных, k и n. Правильно будет записать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 2. Докажите или опровергните: О(f(n) + g(n)) = f(n) + O(g(n)), если f(n) и g(n) положительны для всех nÎN.

Решение:

Утверждение ложно. Пусть f(n) = n2, а g(n) = 1. Найдем такую функцию j(n), которая бы принадлежала левому множеству, но не принадлежала бы правому множеству, т. е. ($С1) ("n) [j(n) £ C1(n2 + 1)] и ("С2) ($n³n0) [j(n) > n2 + C2]. Возьмем j(n) = 2n2. 1). Пусть С1 = 3, тогда ("n³n0) 2n2 £ 3(n2 + 1). Значит функция j(n) принадлежит левому множеству. 2). ("С2) ($n> ) 2n2 > n2 + C2. Значит функция j(n) не принадлежит правому множеству.

Задача 3. Докажите или опровергните: cos O(x) = 1 + O(x2) для всех вещественных х.

Решение:

Если функция g(x) принадлежит левой части так, что g(x) = cos y для некоторого y, причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторой константы С, то
g(x) = cos y = 1 - 2sin2 (y/2) £ 1 = 1 + 0 × х2. Значит существует такая константа В, что g(x) £ 1 + В × х2. Следовательно, множество из левой части содержится в правой части, и формула верна.

Задача 4. Докажите, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение:

Преобразуем левую часть следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где С – константа, тогда можно записать по определению символа О, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Используя это для преобразованного равенства, получаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = (по 1.2.4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Что и требовалось доказать.

Задача 5. Вычислите Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при nÎN.

Решение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.6)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.3)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(по 1.2.4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.2)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Задача 6. Вычислите (n + 2 + O(n-1))n с относительной погрешностью
O(n-1), при n®¥.

Решение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.3 и 1.2.4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

При n®¥ k = (2n-1 + O(n-2)) ® 0, тогда ln (1 + k) ® 0. Тогда при n®¥
ln (1 + k) = k.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.9)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 7. Докажите, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при nÎN, n®¥.

Решение:

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (*)

По определению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - функция аn такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= (по 1.2.4 и 1.2.6) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = (по (*))
= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.6) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(по 1.2.9)
= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (по 1.2.6) =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Глава 2. Приложения символа О.

§1. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений: действительного переменного

Пример 1.

Рассмотрим уравнение

x +th x = u,

где u - действительный параметр, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - гиперболический тангенс [6], Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., х и th x – непрерывные, строго возрастающие функции на всей числовой прямой.

Найдем асимптотические приближения для корня:

1). Функция u(x) = x +th x непрерывна и строго монотонна на R. По теореме о непрерывности обратной функции, существует обратная к ней функция х(и), непрерывная и строго монотонная на Еи = R.

Так как при х®¥ и(х)®¥, то при и®¥ х(и)®¥.

Пусть и®¥, тогда х®¥ и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит, х(и) ~ и, при и®¥. Это первое асимптотическое приближение для корня.

2). Приведем уравнение к виду:

x = и - th x.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+С, где С – некоторая константа. По определению символа О thx = 1+O(1).

x = и – 1 + О(1) - это второе асимптотическое приближение корня.

3). Докажем, что е-2х = О(е-2и): (2.1.1)

подставим второе асимптотическое приближение корня

е-2х = е-2(и – 1 + О(1)) = е-2и × е2× еО(1) = (по 1.2.3 и 1.2.9) = е2 О(е-2и) (1 + О(1))×=

(по 1.2.3) = е2 О(е-2и) (2О(1)) = (по 1.2.6 и 1.2.4) = О(е-2и).

Разложим th x в ряд [6], удобный при больших х:

th x = 1 – 2е-2х + 2е-4х – 2е-6х +… (х > 0)

Тогда по теореме [3]: (2.1.2)

если ряд Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сходится при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда для фиксированного n Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в любом круге Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ряд – 2е-2х + 2е-4х – 2е-6х +… сходится при х > 0, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и его сумма равна th x - 1. Значит, по теореме: th x - 1 = О(е-2х), т. е.
th x=О(е-2х)+1.

Тогда x = и - th x = и – 1 + О(е-2х) = (по 2.1.1) = и – 1 + О(О(е-2и)) =

(по 1.2.5) = и – 1 + О(е-2и).

Таким образом, x = и – 1 + О(е-2и) - этот третье асимптотическое приближение корня.

4). Докажем, что е-2х = е-2и+2 + О(е-4и): (2.1.3)

подставим третье асимптотическое приближение корня

(по 1.2.9)

(по 1.2.6)

(по 1.2.3 и 1.2.4) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ряд 2е-4х – 2е-6х + 2е-8х – 2е-10х +… сходится при х > 0, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и его сумма равна th x – 1 + 2е-2х. Значит, по теореме: th x – 1 + 2е-2х = О(е-4х),
т. е. th x=О(е-4х)+1 - 2е-2х.

Тогда x = и - th x = и – 1 + 2е-2х + О(е-4х) = (по 2.1.3) =

= и – 1 + 2(е-2и+2 + О(е-4и)) + О(е-4х) = (по 1.2.6) =

= и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(е-2х × е-2х) = (по 2.1.1) =

= и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(О(е-2и) × О(е-2и)) = (по 1.2.4) =

= и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(О(е-4и)) = (по 1.2.5) =

= и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) + О(е-4и) = и – 1 + 2е-2и+2 + 2О(е-4и) = (по 1.2.6) =

= и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и).

Таким образом, x = и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) - этот четвертое асимптотическое приближение корня.

Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и = 5:

1) х = 5;

2) х = и – 1 + О(1) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(1))

3) x = и – 1 + О(е-2и) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О(е-2и))

4) x = и – 1 + 2е-2и+2 + О(е-4и) = 5 – 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О(е-4и))

Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…

Пример 2.

Найдем большие положительные корни уравнения

x tg x = 1

Это уравнение можно обратить следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где n – целое число, а арктангенс принимает значения в интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., находим, что x ~ np при (n → ¥).

Если x > 1, то [6]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1). По теореме (2.1.2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2). Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По теореме (2.1.2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3). Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По теореме (2.1.2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

И так далее.

§2. Асимптотическое р ешение интегралов

Пример 1. Вычислить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при х > 1.

Разложим в ряд [6]:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По теореме (2.1.2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 2. Вычислить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при e®+0, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., А(х) - ступенчатая функция: А(х) = 0 при х < 0, А(х) = Аk, k £ x < k + 1,
Аk = а1 + а2 +…+ аk , аk = k -1 . Причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Воспользуемся асимптотической формулой [4]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где g - постоянная Эйлера Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Введем функцию Ã(х) = lnx + g.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Последний интеграл имеет порядок О(e ln e) при e®+0, а предпоследний – равен -g/2, так что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

S(e) = I + J, где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Оценим интеграл J. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда " k ³ 1

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Прологарифмируем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда

При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Вk – числа Бернулли, Вm({x}) – многочлен Бернулли.

Вk = (-1)k b2k. [6]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Коэффициенты bk вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

путем приравнивая коэффициентов:

коэффициент при х: b0 = 1,

коэффициент при хk: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 1. Найти Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По 1.2.10 Нk = ln k + O(1). Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Применим формулу суммирования Эйлера:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пример 2. Найти Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Применим формулу суммирования Эйлера:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 3. Найти асимптотику при n ® ¥ суммы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Члены этой суммы быстро растут с ростом номера, так что главный член асимптотики равен последнему члену суммы: S(n) ~ n!, n ® ¥. Действительно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Литература

1.  Брейн, Н. Г. Асимптотические методы в анализе / Н. Г. Брейн. – М.: Иностранная литература, 1961.

2.  Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. – М.: Мир, 1998.

3.  Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. – М.: Наука, 1978.

4.  Панченков, А. Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики / А. Н. Панченков. – Новосибирск: Наука, 1982.

5.  Федорюк, М. В. Асимптотика: интегралы и ряды / М. В. Федорюк. – М.: Наука, 1987.

6.  Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.


Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Символ "О" - асимптотический анализ". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 548

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>