Дипломная работа на тему "Схема Бернулли. Цепи Маркова"

ГлавнаяМатематика → Схема Бернулли. Цепи Маркова




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Схема Бернулли. Цепи Маркова":


Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Zn

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Рисунок убран из работы и доступен толь    ко в оригинальном файле.

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор

Вечтомов Е. М.

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых защищённых студентами дипломных работ предлагает вам приобрести любые проекты по нужной вам теме. Грамотное написание дипломных работ на заказ в Санкт-Петербурге и в других городах РФ.

Чермных В. В.

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Допущена к защите в ГАК

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
Зав. кафедрой Вечтомов Е М.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
« »

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
Декан факультета Варанкина В. И.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
« »

Киров 2003

Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Zp

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp ..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над n ………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp . В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Zp .

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов n .

§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (или - размеров Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.) записывается в форме:

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.

Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицы A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(ci j), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., т. е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c из поля на матрицу A=(aij) определяется следующим образом: cA=(caij).

Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A=(aij) размером Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и матрицу B=(bij) размером Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (т. к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(cij) размером Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

1.   (A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;

2.   A+B=B+A – коммутативность;

3.   Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;

4.   Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;

По умножению матриц на скаляр:

5.   Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.;

6.   Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.;

7.   Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.;

8.   Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.;

По умножению матриц:

9.   Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т. е. AB ВА;

10. (AB)C=A(BC) – ассоциативность;

11. (cA)B=A(cB)=cAB;

12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A1+A2)B=A1B+A2B, A(B1+B2)=AB1+AB2;

13. Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., то
EmA = AEn = A.

14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.,

где (a1, a2, ..., an) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. равен +1, если (a1, a2, ..., an) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента aij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор aij элемента обозначается Мij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается Аij=(-1)i+j× Мij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СРисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.В, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., …, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т. е. столбец из n n-мерных столбцов)

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Тогда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.×1=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.×Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..
Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. Пусть A=(aij) –невырожденная квадратная матрица (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.). Рассмотрим матрицу А*=Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА*, где С=(сij)

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

и т. д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Значит матрица А* - обратная к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.) имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства: А·А*=Е,Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..
Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn .

§2. Обратимые матрицы над полем Zp

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Алгебраическое дополнение к элементу Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. есть определитель матрицы Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. порядка 1, т. е. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Алгебраическое дополнение к элементу Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. есть определитель матрицы Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. порядка 1, т. е. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.). При этом

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

1)  Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р-1 штук), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р-1 штук),

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (по р штук) (1.2).

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)2р2 (1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

В условии (1.2) не учитываются матрицы вида Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

а) Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р-1 штук), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из (1.1) получаем равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Значит Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. При заданном Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (где Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=1,2…р-1) элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. однозначно выражается через Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (количество невырожденных матриц Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук.

б) Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Значит Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. однозначно выражается через Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук

Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.

2)  Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., а из (1.1) получаем что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)2×р (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp

(р-1)2×р×(р+1) (1.5)

2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.

Будем рассматривать матрицы Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Алгебраические дополнения к элементам Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. есть определители матриц Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. соответственно, порядка 2, при чем Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Нужно найти количество всех невырожденных матриц (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.).
При этом

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (2.1)

Формулу выведем в 3 этапа.

1)  Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р-1 штук), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (их количество по формуле (1.5)), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (по р штук) (2.2).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3р5(р+1) (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

При условии (2.2) не учитываются матрицы вида Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р-1 штук), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из (2.1) получаем равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

а1) Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=0. Тогда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Значит элементов Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. всего р-1 штук, количество невырожденных матриц Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. - (р-1)2р(р+1). Т. к Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. то из выражения Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., т. е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из того, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Элементом Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1) штук.

а2) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..Тогда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Значит элементов Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. всего р-1 штук, количество невырожденных матриц Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. - (р-1)2р(р+1). Т. к Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., то, из выражения Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Домножим равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.) на Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Заменим Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (из того, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.). Получим равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Вынесем Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. за скобки Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и т. к. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. делаем вывод, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Значит и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5×р×(р+1) штук.

а3) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем (р-1)4×р2×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

а4) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем
(р-1)5×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

а5) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из того, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.) умножим на Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и заменим Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.). Получим равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Вынося Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. за скобки (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.), замечаем, что элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. однозначно выражается через Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. - р-1 штук). Но тогда Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6×р×(р+1)штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)4×р×(р+1)×(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

б) Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р-1 штук), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. ((р-1)2×р×(р+1)) штук). Т. к. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., значит Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (2.4)

б1) Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.=0. Тогда из (2.4) выводится равенство

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (2.5)

а из (2.5) получим Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Распишем (2.5): Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Т. е. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. однозначно выражается через элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., которых может быть р штук, и через элементы Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1).

б2) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..Тогда получим опять равенство (2.5) и из него Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Элементов Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. всего р-1 штук. Т. к Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., то получаем что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Умножив равенство (2.5) на Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., выражая Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и произведя замену Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получим равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. А т. к. Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. делаем вывод, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)5×р×(р+1) штук.

б3) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем (р-1)4×р2×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в
пункте б1)

б4) Если Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем
(р-1)5×р×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)

б5) Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.¹0, Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из того, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., получаем Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Тогда преобразовывая (2.4) получаем, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. однозначно выражается через Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и все остальные элементы.

Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6×р×(р+1) штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле
(р-1)4×р×(р+1)×(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)3р5(р+1) для случая 1) при условии (2.2) верна.

2) Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (количество их р-1), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (количество высчитывается по формуле (1.5)) и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (по р штук). Тогда из (2.1) получаем

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3р4(р+1) (2.6)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле..

Но при этих условиях не учитываются матрицы вида Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из (2.1) получаем равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., а из того что Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. получаем что, например, элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. однозначно выражается через элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4р2(р+1).

б) Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. Из (2.1) получаем равенство Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.. А из Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. можем однозначно выразить, например, элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. через элемент Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4р2(р+1).

3) Пусть Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (количество их p-1), Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (количество высчитывается по формуле (1.5)) и Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле. (по р штук).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)[(р-1)2р(р+1)]×р×р×р (2.7)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6) и (2.7), полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3матриц над полем Zp

(р-1)3р3(р+1)(р2+р+1) (2.8)

3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Zp.

Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.

Например:

Для матриц порядка 4:

(р-1)4р6(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1).

Для матриц порядка 5:

(р-1)5р10(р+1)(р2+р+1)(р3+р2+р+1)( р4+р3+р2+р+1), и т. д.

Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Zp выглядит так:

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

Рисунок убран из работы и доступен толь<!--more--> ко в оригинальном файле.

§3. Обратимые матрицы над кольцом Zn

Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителей матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|.

Для обратимых матриц A и B следует AB=E. Следовательно |AB|=|A||B|=|E|=1.

Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.

Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.

Обратимые матрицы над Z4.

--------------------------------------------------
* | 0 | 1 | 2 | 3 |
---------------------------------------------------------
0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
---------------------------------------------------------
1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---------------------------------------------------------
2 | 0 | 2 | 0 | 2 |
---------------------------------------------------------
3 | 0 | 3 | 2 | 1 |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Всего различных матриц второго порядка над Z4: 44=256.

В 4 обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=3. Возможные случаи:

1)  a=1 Ù d=3,

2)  a=3 Ù d=1,

bc=2. Возможные случаи:

1)  b=1 Ù c=2,

2)  b=2 Ù c=1,

3)  b=2 Ù c=3,

4)  b=3 Ù c=2.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

2. ad=2. Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

1)  b=c=1,

2)  b=c=3.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

1)  b=0 Ù c=1,

2)  b=0 Ù c=2,

3)  b=0 Ù c=3,

4)  b=1 Ù c=0,

5)  b=2 Ù c=0,

6)  b=

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Схема Бернулли. Цепи Маркова". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 488

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>