Дипломная работа на тему "Размерность конечных упорядоченных множеств"

ГлавнаяМатематика → Размерность конечных упорядоченных множеств




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Размерность конечных упорядоченных множеств":


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Выпускная квалификационная работа

РАЗМЕРНОСТЬ КОНЕЧНЫХ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ

Выполнила студентка V курса

математического факультета

Артемьева Е. П.

Рисунок убр    ан из работы и доступен только в оригинальном файле./подпись/

Научный руководитель:

доктор ф.-м. наук, профессор

Вечтомов Е. М.

/подпись/

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Рецензент:

кандидат ф.-м. наук, доцент

Чермных В. В.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле./подпись/

Допущен к защите в ГАК

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Правильное выполнение дипломных работ по индивидуальному заказу в Челябинске и в других городах России.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Зав. кафедрой Вечтомов Е. М.

(подпись)

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.2003г.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Декан факультета Варанкина В. И.

(подпись)

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.2003г.

Киров, 2003г.

Содержание

Введение. 3

§1.Основные понятия. 4

§2.Определение размерности упорядоченного множества. 9

§3.Свойства размерности конечных упорядоченных множеств. 14

Литература. 22

Введение

Теория множеств служит фундаментом современной математики.

Порядковая структура входит в список основных (ещё алгебраическая и топологическая) математических структур, которые изучает теоретико-множественная математика.

При написании этой дипломной работы мы задавались целью – изучить порядковую структуру и элементы алгебраической теории решёток, сформировать углублённое представление о размерности упорядоченных множеств, познакомиться со свойствами размерности конечных упорядоченных множеств, сформулировать новые свойства и доказать их.

Язык упорядоченных множеств и решёток широко применяется в математике (алгебра, логика, теория множеств, общая топология, графы) и является основой одного из важнейших типов математического мышления.

Дипломная работа состоит из трёх параграфов: «Основные понятия», «Определение размерности упорядоченных множеств», «Свойства размерности конечных упорядоченных множеств».

В первом параграфе определяются основные понятия, с которыми нужно ознакомиться для дальнейшей работы и устанавливаются связи между ними. Большое число примеров позволяет достаточно глубоко понять суть рассматриваемых понятий.

Во втором параграфе рассматриваются только конечные множества. И особое внимание уделяется на линейный и нелинейный порядок. Формулируется и доказывается теорема об их связи. На основе этого появляется понятие размерности.

В третьем параграфе указаны 6 основных свойств размерности конечных упорядоченных множеств и приведены их доказательства. Некоторые из них оформлены в виде теорем.

§1.Основные понятия

Упорядоченным множеством называется пара <A, ≤ >, где А – непустое множество, а ≤ - бинарное отношение на А, называемое отношением порядка, которое (для " a, b,cÎA)

1.  рефлексивно: а£а

2.  транзитивно: а£в и в£с Þ а£с

3.  антисимметрично: а£в и в£а Þ а=в

Основными примерами упорядоченных множеств являются:

-   <, ≤ > - множество всех действительных чисел с обычным отношением порядка и непустое подмножество;

-   <(X), Í > - множество всех подмножеств данного множества X с отношением включения и непустое подмножество;

-   <, / > - множество всех натуральных чисел с отношением делит и непустое подмножество;

-   множество всех лучей, лежащих на одной прямой, и отношением включения.

Пусть А – упорядоченное множество с отношением порядка £. Элементы а, в Î А называются сравнимыми, если а £ в или в £ а.

Упорядоченное множество А, в котором любые 2 элемента сравнимы, называется цепью, а соответствующий порядок £ - линейным.

Если в упорядоченном множестве А любые два различных элемента несравнимы, то множество А называется антицепью.

Элемент аÎА называется наибольшим, если x £ а для" xÎА. Понятие наименьшего элемента определяется аналогичным образом. Если наибольший и наименьший элементы существуют, то они единственны. Наибольший элемент обычно обозначают – 1, а наименьший – 0.

Элемент множества А будет называться максимальным, если в А нет элементов больших его. Аналогичным образом определяется понятие минимального элемента.

Упорядоченное множество называется конечным, если конечно множество его элементов. Конечное упорядоченное множество <A, ≤ > удобно изображать в виде графа, который можно построить следующим образом:

Ø элементы множества А изображаются точками;

Ø точки а и в соединяются ребром – идущим вверх отрезком, не обязательно вертикальным, если а<в и между ними нет других элементов из А;

Ø при этом все минимальные элементы А располагаются на одной горизонтали и образуют – первый уровень;

Ø выше находятся минимальные элементы множества А, из которого удалены точки первого уровня, они образуют второй уровень;

Ø еще выше идет третий уровень, состоящий из минимальных элементов множества, полученного удалением из А элементов второго и первого уровней, и т. д.

Заметим, что если а<в, то из точки а по ребрам, двигаясь вверх, можно добраться до точки в. Полученный граф назовем стандартным графом (диаграммой Хассе) упорядоченного множества А. Изоморфные упорядоченные множества имеют одинаковые стандартные графы, а неизоморфные – различные.

Приведем графы упорядоченных 4-х элементных множеств.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следует обратить внимание на то, что из любой точки стандартного графа конечного упорядоченного множества можно по рёбрам спуститься на первый уровень, побывав на всех промежуточных уровнях. Т. е. среди стандартных графов не может быть такого, например, графа:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

А должен быть такой

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Длиной конечного упорядоченного множества А будем называть наибольшее из чисел элементов цепей А. Видно, что длина А равна числу уровней его стандартного графа.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Шириной А называется наибольшее из чисел элементов антицепей в А. Ширина А будет не меньше числа элементов любого уровня этого графа.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Замечание: число элементов любого конечного упорядоченного множества не превосходит произведения его длины на ширину.

Пусть В – непустое подмножество упорядоченного множества А. Элемент аÎА называется верхней гранью для В, если в£а для всех вÎВ. Точной верхней гранью В называется наименьший элемент множества всех верхних граней В в А, его обозначают sup. Точная нижняя грань определяется аналогичным образом и обозначается inf.

Упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное множество обладает тачной верхней и точной нижней гранью называется решёткой.

Любая конечная решётка обладает наибольшим и наименьшим элементами. Среди графов 5-ти элементных множеств, только пять решёток.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

В нашей дипломной работе пойдёт речь ещё и прямом произведении конечных упорядоченных множествах. Поэтому объясним, что это такое.

Пусть <A,≤> и <В,≤> - конечные упорядоченные множества с одинаковым порядком, тогда их прямым произведением Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. называется конечное упорядоченное множество Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле., элементы которого – это всевозможные пары, состоящие из двух компонент,1-ая компонента принадлежит множеству А, а вторая – В. Порядок на Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. определяется следующим образом:

(a, b)≤(c, d)Û(a≤c и b≤d).

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

§2.Определение размерности упорядоченного множества

Напомним, что такое цепь на примере диаграммы Хассе для конечного упорядоченного множества <A,£>. Здесь порядок £ будет линейным.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Примером антицепи может служить множество:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Нелинейный порядок £ на конечном упорядоченном множестве А можно доупорядочить до различных линейных порядков на А.

Например, нелинейный порядок на А

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

можно доупорядочить до следующих линейных порядков:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для любого нелинейного порядка конечного упорядоченного множества будет справедлива теорема.

Теорема 1. Любой нелинейный порядок ≤ на конечном упорядоченном множестве А можно продолжить до линейных порядков, дающих в пересечении исходный порядок ≤.

Доказательство:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Возьмём произвольное конечное упорядоченное множество А с нелинейным порядком £.

Рассмотрим 2 его произвольных элемента а и b.

Если они несравнимы, то доопределим Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. (или можно взятьРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Если при этом элемент x£ а, а элемент y ³ b, то Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

В нашем примере b и с несравнимы. Доопределим Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.. При этом, а £ b и c £ e, значит, Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если <A,Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.> - всё ещё не цепь, то, беря новую пару несравнимых элементов, аналогично доопределяем до “большего” порядка на А.

Через несколько таких шагов получим линейный порядок на A, содержащий исходный порядок £.

Если бы мы доопределили bРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.a, тогда получили бы другой линейный порядок, содержащий исходный порядок £. В пересечении Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. и í линейных порядков элементы a и b окажутся несравнимыми.

Аналогичным образом можно получить и другие линейные порядки, пересечение которых образует множество А.

Ч. т.д.

Из всего вышесказанного видно, что любой порядок на конечном упорядоченном множестве А является пересечением нескольких линейных порядков на А.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Наименьшее число линейных порядков на А, дающих в пересечении данный порядок £, называется размерностью А. И обозначается d(A).

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

d(A)=2.

Корректность определения: каждое конечное упорядоченное множество имеет размерность. По определению конечного упорядоченного множества в нём будет конечное число элементов. А линейный порядок получается путём различных перестановок этих элементов. Если число элементов n, то число перестановок будет Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.n! - конечное число. Из них выберем наименьшее число линейных порядков, пересечение которых даст исходное множество, и получим конечную размерность.

Цепи имеют размерность 1. Известно, что размерность всех множеств с количеством элементов n (где n£5), кроме цепей, равна 2.

Среди 6-элементных множеств существует только одно с размерностью 3.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Остальные 6-элементные множества имеют размерность 2.

Дадим понятие перестановочно упорядоченного множества.

Пусть имеется множество А, состоящее из n элементов. А={1, 2 ,3 ,…, n}. Рассмотрим некоторую перестановку этого множества. (Например, (2, 1, 4, 3, …, n, n-1 )).

Эта перестановка задаёт свой линейный порядок на А, наряду с естественным числовым порядком, пересечение которых и определяет перестановочно упорядоченное множество < A, Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. >

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

При этом, аРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.в Û а<в и в данной перестановке n-ой степени число а встречается раньше числа в.

Конечные упорядоченные множества размерности 1 и 2 получаются с точностью до изоморфизма, как перестановочно упорядоченные множества.

Например, цепи Z: d(Z)=1

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

соответствует перестановка (1,2,3).

А множеству P: d(P)=2

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

соответствует перестановка (1,6,5,4,3,2).

Перестановочно упорядоченные множества, отличные от цепей, - это в точности упорядоченные множества размерности 2.

Например, перестановка (5,3,1,2,6,4,7) задаёт упорядоченное множество размерности 2:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

§3.Свойства размерности конечных упорядоченных множеств

Свойство монотонности: ÍВ Þ d(A) £ d(B) для любых конечных упорядоченного множества В и его непустого подмножества А.

Доказательство:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть < B, ≤ >- конечное упорядоченное множество размерности n. Имеем, Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. для линейных порядков £i на В. На подмножестве А рассмотрим индуцированный порядок Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. из В, т. е. ограничение отношения £ на А.

Рассмотрим ограничения линейных порядков £i на А – они также линейны и в пересечении дадут порядок Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значит, по определению размерности упорядоченного множества размерность <A, Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.> не превосходит n.

Ч. т.д.

Свойство размерности дизъюнктивного объединения: Пусть А и В – конечные упорядоченные множества и X=AРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.B. Тогда d(X)=max(d(A), d(B)), если хотя бы одно из множеств А или В не является цепью, и d(X)=2, если А и В – цепи.

Доказательство:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Дизъюнктивным объединением упорядоченных множеств А и В Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В) называется упорядоченное множество, состоящее из непересекающихся объединяемых множеств, на каждом из которых сохраняется свой порядок, а элементы из разных множеств попарно несравнимы.

Пусть <A, £> и <B, Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.> - конечные упорядоченные множества.

Порядок на А Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.для линейных порядков £i , а порядок на В Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. для линейных порядков Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть для определённости n³m и n³2.

В результате объединения А и В получается упорядоченное множество, состоящее из всех элементов А и всех элементов В. Значит, одному линейному порядку на АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В соответствует два линейных порядка: один для А £i и один для В Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.. Линейные порядки на АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В должны содержать все n линейных порядков £i и все m линейных порядков Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле., чтобы в пересечении они дали множество АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В.

Первый линейный порядок на АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Вопределим следующим образом:

£1 … Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Т. е. мы взяли первый линейный порядок на А и приписали к нему справа первый линейный порядок на В.

Второй линейный порядок на АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В получим, взяв из множества А линейный порядок £2, а из множества В, если m³2, то линейный порядок Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле., если же m=1, то линейный порядок Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но сейчас линейный порядок из множества А поместим за линейным порядком из множества В, для того, чтобы элементы из разных множеств были попарно несравнимы:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. … £2, где j=1 при m=1 и j=2 при m³2.

Аналогичным образом будем получать остальные линейные порядки на АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В:

£i … Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. при i£m

£i … Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. при i>m.

Получим n линейных порядков, пересечение которых даёт множество АРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.В. Т. е. Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.=n=max(d(A), d(B)).

Ч. т.д.

Теорема 2. Размерность прямого произведения двух конечных упорядоченных множеств А и В меньше либо равна сумме их размерностей:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство:

Дадим сначала несколько определений.

Пусть даны конечные упорядоченные множества <А, £> и <В, £>, размерности которых соответственно равны m и n. Поэтому Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле., для некоторых линейных порядков £i на А и Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. для линейных порядков на В.

Определим покоординатно порядок на Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. :

(a, b)<(c, d) Û (a < c и b £ d) или (a £ c и b < d).

Определим m линейных порядков на Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. по первой компоненте:

(a, b)<i(c, d) Û a<i c или (a=c и b<1 d) для i=1,…,m. (*)

Аналогично определим n линейных порядков на Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. по второй компоненте:

(a, b)<j(c, d) Û b<j d или (b=d и a<1 c) для j=1,…,n. (**)

Исходя из этих определений, порядок на Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. можно определить и следующим образом:

(a, b)<(c, d)Û(a<ic и b£j d ) или (a£I c и b<j d) (***)

для i=1,…,m и для j=1,…,n.

Для завершения доказательства достаточно показать, что имеет место равенство:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда по определению размерности конечного упорядоченного множества получим Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Требуется доказать, что для любых (a, b) и (c, d) из Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.:

(a, b)<(c, d) Û(a, b)<i(c, d) и (a, b)<j(c, d).

Для " (a, b) и (c, d) из Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. не умоляя общности, будем считать, что

(a, b)<(c, d) Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. (a<I c и b£j d) или (a£I c и b<j d) для i=1,…,m и для j=1,…,n.

Отсюда вследствие того, что x£y выполняется тогда и только тогда, когда x<y или x=y, следует равносильность:

Û(a<I c и b<j d) или (a<I c и b=d) или (a=c и b<j d)

для i=1,…,m и для j=1,…,n

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

для i=1,…,m и для j=1,…,n.

Эта система равносильна тому, что элементы (a, b) и (c, d) сравнимы как по первой, так и по второй компоненте. И порядок на Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. равен пересечению его линейных порядков.

А т. к. размерность – это наименьшее число линейных порядков, дающих в пересечении множество, то Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. т.д.

Теорема 3. ЕслиА и В – не одноэлементные множества, причём А - решётка, а В –цепь, то размерность их прямого произведения на единицу больше размерности решётки:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.(по теореме 2).

Покажем, что выполняется и Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмём любую цепь Z из множества цепей, пересечение которых образует решётку. Каждой такой цепи (а их Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. ) во множестве цепей, пересечение которых образует множествоРисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле., будет соответствовать своя цепь, все первые компоненты которой находятся в таком же соответствии, как и элементы цепи Z.

Но во множестве Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.среди вторых компонент должны сохраняться и соотношения, которые присутствуют в цепи В. Значит, во множестве цепей, пересечение которых образует множество Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. появится еще одна цепь.

Ч. т.д.

Теорема 4. Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. решётка , размерности

Доказательство:

Возьмём n не одноэлементных цепей А1, А2,…,Аn и рассмотрим множество X=A1Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. A2Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.An=Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.. (n-1) раз применяя теорему 3 получаем, что d(X)=n.

Ч. т.д.

Теорема 5. Размерность множества всех подмножеств ß) множества М равна мощности множества М, т. е.

ß))=Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство:

1)  Покажем, что ß(M) @Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле., где D={0,1}.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. - будем рассматривать, как множество n-ок, состоящих из 0 и 1.

М={1,2,3,…,n}.

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.

2)  Чтобы доказать, что ß(M) и Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. изоморфны, нужно установить взаимно однозначное соответствие.

Т. е. нужно показать, что для любого подмножества X множества М существует n-ка, состоящая из 0 и 1. И для любой n-ки существует подмножество Y множества М.

3)  Выделим во множестве М подмножество X и составим по нему n-ку таким образом:

на место 1-ой компоненты n-ки поставим 1, если первый элемент множества М входит и в его подмножество X;

и 0, если 1-ый элемент множества М не входит в подмножество X.

Аналогичным образом определим все остальные компоненты n-ки.

Из нашего примера:

Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.X (0,1,1,0,1,0…0)

n компонент

4)  И, наоборот, возьмём произвольную n-ку. Например, (0,1,0,1,0…0). И поставим ей в соответствие подмножество Y множества М по тому же принципу:

если к-ая компонента равна 1, то к-ый элемент множества М входит в подмножество Y;

если же к-ая компонента равна 0, то к-ый элемент множества М не входит в подмножество Y.

Из примера получаем подмножество Y={2,4}.

5)  Т. о. из ß(M)@Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле. следует, что d(ß(M))=d(Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.)Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле.n

Получили, что d(ß(M))=Рисунок убр<!--more--> ан из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. т.д.


Литература

1.  Беран Л. Упорядоченные множества: Популярные лекции по математике. Вып. 55. – М.: Наука, 1981.

2.  Биркгоф Г. Теория решёток. – М.: Наука, 1984.

3.  Вечтомов Е. М. Теория решёток: учебно-методическая разработка спецкурса. – Киров: КГПИ, 1995.

4.  Гретцер Г. Общая теория решёток. – М.: Мир, 1982.

5.  Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980.


Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Размерность конечных упорядоченных множеств". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 551

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>