Дипломная работа на тему "Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений"

ГлавнаяМатематика → Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений":


Содержание

Введение. 3

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу. 5

§2. Основные теоремы операционного исчисления. 8

2.1 Свертка оригиналов. 8

2.1 Свойство линейности. 9

2.2 Теорема подобия. 9

2.3 Теорема запаздывания. 10

2.4 Теорема смещения. 10

2.5 Теорема упреждения. 11

2.6 Умножени е оригиналов. 11

2.7 Дифференцировани е оригинала. 11

2.8 Дифференцирование изображения. 12

2.9 Интегрировани е оригинала. 12

2.10 Интегрирование изображения. 13

§3. Изображения простейших функций. 13

§4. Отыскани е оригинала по изображению.. 15

4.1 Разложение на простейшие дроби. 15

4.2. Первая теорема разложения. 16

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. 18

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам скачать любые проекты по желаемой вами теме. Высококлассное написание дипломных проектов на заказ в Воронеже и в других городах России.

Приложение. 24

Введение

Операционное исчисление в настоящее время стало одной из важнейших глав практического математического анализа. Операционный метод непосредственно используется при решении обыкновенных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений; его можно использовать и при решении дифференциальных уравнений в частных производных.

Основателями символического (операционного) исчисления считают русских ученых М. Е. Ващенко – Захарченко и А. В. Летникова.

Операционное исчисление обратило на себя внимание после того, как английский инженер-электрик Хевисайд, используя символическое исчисление, получил ряд важных результатов. Но недоверие к символическому исчислению сохранялось до тех пор, пока Джорджи, Бромвич, Карсон, А. М. Эфрос, А. И. Лурье, В. А. Диткин и другие не установили связи операционного исчисления с интегральными преобразованиями.

Идея решения дифференциального уравнения операционным методом состоит в том, что от дифференциального уравнения относительно искомой функции-оригинала f(t) переходят к уравнению относительно другой функции F(p), называемой изображением f(t). Полученное (операционное) уравнение обычно уже алгебраическое (значит более простое по сравнению с исходным). Решая его относительно изображения F(p) и переходя затем к соответствующему оригиналу, находят искомое решение данного дифференциального уравнения.

Операционный метод решения дифференциальных уравнений можно сравнить с вычислением различных выражений при помощи логарифмов, когда, например, при умножении вычисления ведутся не над самими числами, а над их логарифмами, что приводит к замене умножения более простой операцией – сложением.

Так же как и при логарифмировании, при использовании операционного метода нужны:

1)  таблица оригиналов и соответствующих им изображений;

2)  знание правил выполнения операций над изображением, соответствующих действиям, производимым над оригиналом.

§1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу

Определение 1.Будем действительную функцию действительного аргумента f(t) называть оригиналом, если она удовлетворяет трем требованиям:

1) f (t) 0 , при t 0

2) f(t) возрастает не быстрее некоторой показательной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при t 0 , где M 0, s0 0 — некоторые действительные постоянные, s0 называют показателем роста функции f(t).

3) На любом конечном отрезке a, bположительной полуоси Ot функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.

a) ограничена,

b) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода,

c) имеет конечное число экстремумов.

Функции, удовлетворяющие этим трем требованиям, называются в операционном исчислении изображаемыми по Лапласу или оригиналами.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведениеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет удовлетворять и условию 1, т. е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Интегралом Лапласа для оригинала f(t) называется несобственный интеграл вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – комплексный параметр.

Теорема.

Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(то есть изображение F(p) заведомо определено при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), где s0 – показатель роста (t).

∆ При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , но по свойству модулей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Заметим, что по определению оригинала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вычислим этот интеграл:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

То есть получаем что F(p) существует при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Замечание. Из доказательства теоремы следует оценка:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Определение 2. Изображением по Лапласу функции f (t) называется функция комплексного переменного p = s + iσ, определяемая соотношением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Тот факт, что функция F(t) является изображением оригинала f (t), символически это записывается так:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

§2. Основные теоремы операционного исчисления   2.1 Свертка оригиналов.

Сверткой оригиналов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функции (t) и g(t) называются компонентами свертки.

Найдем для примера свертку произвольного оригинала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и единичной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2.1.1)

Теорема 1. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. иРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Действительно, по определению интеграла Лапласа имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Воспользуемся определением свертки:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Введем вместо t новую переменную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

что и требовалось доказать. ▲

Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и :

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Это свойство вытекает из свойства линейности интеграла.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Домножим равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на α: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.


2.2 Теорема подобия.

Для любого постоянного a> 0:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Умножение аргумента оригинала на положительное число  приводит к делению изображения и его аргумента на это число .

Положим αt=u. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, при t=0 получаем u=0, при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

  2.3 Теорема запаздывания.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для t>τ>0

Таким образом, запаздывание аргумента оригинала на положительную величину приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания F(p) на ept.

2.4 Теорема смещения.

Для a >0 имеет место соотношение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из определения изображения имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

  2.5 Теорема упреждения.

При а > 0 имеет место соотношение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

  2.6 Умножени е оригиналов

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.7 Дифференцировани е оригинала

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – оригиналы и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.7.1)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (2.1.1) будем иметь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда по теореме 1

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Применив формулу (2.7.1) дважды, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и т. д. В частности, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. в этом случае дифференцировани е оригинала сводится к умножению его изображения на p.

  2.8 Дифференцирование изображения

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть умножению оригинала на (-t) соответствует производная от изображения F(p).

Обобщение:

Путем последовательного дифференцирования по параметру p равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.9 Интегрировани е оригинала

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть интегрированию оригинала в пределах от 0 до t соответствует деление изображения на р.

Если f(t) принадлежит множеству оригиналов, то и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.будет принадлежать множеству оригиналов.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. видно, что

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Применим свойство дифференцирования оригинала к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и в силу последних двух равенств получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

А отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но, по условию теоремы, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

А отсюда и из соотношений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2.10 Интегрирование изображения

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. принадлежит множеству оригиналов, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§3. Изображения простейших функций

Единичная функция Хевисайда.

Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.по теореме запаздывания получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Экспонента. По теореме смещения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Гиперболические и тригонометрические функции.

В силу линейности преобразования Лапласа имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Степенная функция с натуральным показателем.

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Полученные с помощью формулы (1) изображения некоторых функций сведены в таблицу (см. приложение). Ее можно использовать для нахождения изображений функций.

§4. Отыскани е оригинала по изображению

Для нахождения оригинала f(t) по известному изображению F(p) нужно использовать формулы обращения Римана-Меллина

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если функция f(t) является оригиналом, т. е. удовлетворяет условиям 1-3 определения 1 и F(p) служит ее изображением, то в любой точке своей непрерывности функция f(t) равна:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Формула обращения Римана-Меллина дает выражени е оригинала f(t) через изображение F(p), причем α – произвольное число, удовлетворяющее неравенству α>s0.

Вычислени е оригинала по формуле Римана-Меллина довольно трудоёмко, поэтому на практике при решении задач применяют другие методы, которые рассматриваются ниже.

  4.1 Разложение на простейшие дроби.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.есть дробно-рациональная функция, причем степень числителя A(p) меньше степени знаменателя B(p), то эту дробь разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби либо непосредственно по формуле (1), либо по таблице (см. приложение).

Пример 1.Найти оригинал по изображению.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Разложим функцию на сумму дробей:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем методом неопределенных коэффициэнтов А, В, С:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Воспользуемся приложением:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В итог е оригинал равен

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

  4.2. Первая теорема разложения

Теорема. Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной ряд по степеням Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(причем этот ряд сходится к F( p) при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ), то оригинал имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(причем ряд сходится при всех значениях t ).

§5 Решение задачи Коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где ak –действительные числа.

Требуется найти решение данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

x(0)=x0, x`(0)=x`0, …, x(n-1)(0)=x0(n-1)

где x0, x`0, …, x0(n-1) – заданные числа.

Будем предполагать, что искомая функция x(t), все ее производные, а также функция f (t) являются оригиналами.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По формулам дифференцирования оригиналов

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Перейдем от данного дифференциального уравнения к уравнению в изображениях

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Перепишем его так Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Находим так называемое операторное решение уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдя оригинал x(t) по его изображению X(p) , мы получим тем самым решение задачи Коши для исходного дифференциального уравнения.

7. Примеры

Пример 1.

Найти решение дифференциального уравнения x(t)4x(t)5x(t)0,

удовлетворяющее условиям x(0) 0, x(0) 1.

Решение. Запишем уравнение в изображениях

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Вынесем Х за скобки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем оригинал используя выведенные ранее значения в таблице приложения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

искомое решение - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 2.

Решить дифференциальное уравнение y`-2y=0, y(0)=1.

Решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 3.

Решить дифференциальное уравнение y`+y=et, y(0)=0.

Решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Перейдем к уравнению

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 4.

Найти решение уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при начальных условиях y(0)=-1, y`(0)=0.

Решение

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - изображающее уравнение. Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Оригинал для правого слагаемого известен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а оригинал для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удобнее найти по теореме свертывания.

Известно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 5.

Найти общее решение уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Для получения общего решения начальные условия зададим так:

y(0)=C1, y`(0)=C2

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

И изображение уравнения имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Согласно приложению

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Собирая оригиналы всех слагаемых, представляющих Y(p), получаем искомое решение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пример 6

Операционный метод может быть применён для решения нестационарных задач математической физики. Рассмотрим случай, когда некая функция u(x, t) зависит лишь от пространственной координаты x и времени t.

Для уравнения теплопроводности будем решать краевую задачу:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

a2=const, u(x,0)=φ(x) - начальные условия и u(0,t)=ψ1(t), u(l,t)=ψ2(t), 0 ≤ xl – краевые условия.

Пусть все функции являются оригинальными. Обозначим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - изображение по Лапласу.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда краевые условия:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Уравнение в изображениях:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Библиографический список.

1.  Старков В. Н. Операционное исчисление и его применения. Учебн. пособ.-СПб, 2000.

2.  Белослюдова В. В., Дронсейка И. П.Специальные разделы математики. Часть 1. Элементы теории функций комплексной переменной. Операционное исчисление: Курс лекций для студентов второго курса специальностей 050702, 050716 / ВКГТУ. – Усть – Каменогорск, 2006.

3.  Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 2. М., 2005

4.  Ершова В. В. Импульсные функции. Функции комплексной переменной. Операционное исчисление. Под ред. В. И. Азаматовой. Минск, 1976

Приложение

Таблица оригиналов и их изображений.

--------------------------------------------------

Оригинал

|

Изображение

|

Оригинал

|

Изображение

|
---------------------------------------------------------
1 |

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------
t |

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 649

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>