Дипломная работа на тему "Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа"

ГлавнаяМатематика → Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа":


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа

Выполнил

студент 5 курса

математического факультета

Чупраков Дмитрий Вячеславович

_____________________/подпись/

Научный руководитель:

д. ф-м. н., профессор Е. М. Вечтомов

_____________________/подпись/

Рецензент:

к. ф-м. н., доцент В. В. Чермных

_____________________/подпись/

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ______________________д. ф-м. н., профессор Е. М. Вечтомов

(подпись) “__” _________

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по желаемой вами теме. Мастерское выполнение дипломных работ на заказ в Новокузнецке и в других городах России.

Декан факультета _____________________к. ф-м. н., доцент В. И. Варанкина

(подпись) “__” _________

Киров

2005


Содержание

Содержание. 2

Введение. 3

Глава 1. 5

1.1. Базовые понятия и факты.. 5

1.2. Простое расширение Q+(a) 5

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7

Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел 9

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом 12

2.4. Примеры.. 20

Литература. 22

Введение

Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А. В.Ряттель [3] и диссертации И. И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа

Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.

Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.

В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.

Основными результатами работы являются:

-   Теорема 2.2.1. Любое расширение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., является полем

-   Теорема 2.3.1. Если , то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – поле тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

-   Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., такой что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. задается следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.

-   Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. расширение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Глава 1. 1.1. Базовые понятия и факты

Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем, если

(1)  <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;

(2)  <Р, ×> – группа с 1;

(3)  Дистрибутивность

a.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

b.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(4)  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Не сложно показать, что Q+ является полуполем.

Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда простым расширением полуполя P с помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество P и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается P(a).

1.2. Простое расширение Q+(a)

Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.

Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т. е. найдется такой ненулевой элемент sÎS, что s+s¹s. Откуда

.

Рассмотрим суммы единиц. Через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначим сумму k единиц (при kÎN). Так как любое полутело является антикольцом, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что суммы различного числа единиц в S различны. Допустим от противного, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mÎN. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого tÎN.

По свойству Архимеда, найдется такое tÎN, что tl>n. При k=tl имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и n<k. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Откуда 1=1+1 (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Получили противоречие.

Следовательно, полутело S содержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т. е. содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.

Теорема 1.2.2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- простое расширение полуполя Q+.

Доказательство. Заметим, что Q+(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Очевидно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Предположим, что есть полуполе P меньшее Q+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как P – полуполе, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как P – минимальное полуполе, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.–простое расширение полуполя Q+.

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Теорема 1.2.3. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- простое расширение поля Q.

1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел

Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через f многочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что любое равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получается из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как а – корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – минимальный многочлен для a. Представим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составлен из положительных одночленов многочлена h, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Приведем подобные члены в паре Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и найдем такой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

не имеют подобных членов.

Получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не имеют подобных членов и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не имеют подобных членов, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Найдем значения этих многочленов в точке а.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Будем говорить, что Q+(a) порождается минимальным соотношением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Глава 2. Однопорожденные полуполя 2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. простое расширение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., a – алгебраический элемент над Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) – поле;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство

-   (1)®(2): Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – поле. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - простое расширение поля Q элементом a. То Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Однако, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

-   (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не будет обратим. Рассмотрим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

-   (3)®(4): Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как ( g)(a) = 0, то h(a) = 0.

-   (4)®(5): Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как h(a)=0, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если b0≠0, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если h0=0, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как a≠0, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

-   (5)®(1): Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., покажем, что Q+(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q+(a) – полуполе. Рассмотрим bÎQ+(a), тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. b + (b)=0. То есть, Q+(a) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q+(a) простое расширение Q+, a – алгебраический элемент над Q+. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1) Q+(a) –полуполе;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q+(a) не является полем, а значит Q+(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),

("hÎQ+[a], h≠0) h(a)≠0.

То есть, если h(a)=0, то h=0. Пусть h(a)=(x+y)(a)=0. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда (xi+yi)=0.

Так как xiÎQ+ и yiÎQ+, то xi=yi=0. А значит, x=y=0.

Теорема доказана.

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

Теорема 2.2.1. Любое расширение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., является полем.

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и при a > 0. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.

Очевидно, существует натуральное n, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где c < 0, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По теореме 2.1.1, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – поле. Очевидно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является полем С.

Аналогично рассматривается случай Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом

Теорема 2.3.1. Если , то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – поле тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – поле.

Доказательство. По теореме 2.1.1 Q+(ai) – поле равносильно существованию

f¹0, f(ai)=0.

Так как все степени aiÎQ+(ai). Рассмотрим некоторый многочлен

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.

То есть,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Это верно тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.

Получили, что Q+(ai) – поле тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – поле. ■

Как следствие получаем более ценные утверждения.

Следствие 1. Если , то Q+(ai) – полуполе тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – полуполе.

Следствие Если и Q+(-b2) – полуполе, aÎQ+(-b2), то Q+(a + bi) – полуполе.

Теорема 2.3.2. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где D – дискриминант минимального соотношения.

Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если bc ≥ 0, то имеем многочлен из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если многочлен не имеет действительных корней, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (*)

То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем многочлен из Q+[x]. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Введем обозначения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда многочлен примет вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Умножим его на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то это искомый многочлен иначе умножим его на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q+. Докажем, что найдется такие k, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для начала найдем дискриминант уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

То есть, дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl<0.

Рассмотрим неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., подставим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

То есть,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Зная, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. заметим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, для доказательства нам достаточно установить, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

То есть,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Используя оценкуРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и деля на положительный элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим отображение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заданное по правилу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а это следует из (*). Итак, мы доказали, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, мы нашли такой многочлен, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Итак, мы доказали, что если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – поле. ■

Следствие 1. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – мнимый корень квадратного трехчлена, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ‑ поле.

Следствие 2. Любое простое расширение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является полем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., порожденным минимальным соотношением 2 степени.

Доказательство.

Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что для любого aÎQ найдется такой квадратный многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - его корень многочлена. Для этого достаточно представить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Возьмем такой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Очевидно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, нам удалось найти многочлен из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - поле. ■

Рассмотрим последовательность действительных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (**)

Будем говорить, что последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. задается числами p и q.

Лемма 2.3.3. Существует n, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что последовательность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. убывающая.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пользуясь методом математической индукции, заключаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - убывающая.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - монотонно убывающая и ограничена снизу 0, то существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

что невозможно для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. ■

Лемма 2.3.4. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Запишем а и b в виде десятичных дробей:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то существует k, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. ■

Теорема 2.3.5. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. По лемме 2.3.3, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если n=1, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

То есть,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По лемме 2.3.4 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим n > 1.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Раскроем скобки и сгруппируем члены при xj.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

То есть,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для существования Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., по лемме 2.3.4, достаточно выполнения условий Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для существования Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. достаточно доказать существование Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Повторим эту операцию n-2 раза. Получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По лемме 2.3.4, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Эти условия следуют из того, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, доказано существование Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., такой что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.

Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., последовательность (**), заданная числами p и q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Кроме того Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а остальные множители многочлена Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеют вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По теореме 2.1.1, минимальный многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.порождает поле. ■

Теорема 2.3.7. Для комплексных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. расширение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.

Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – поле. Тогда существует многочлен f с положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит f(a')=0. Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит a' – не является корнем многочлена f. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – полуполе. ■

2.4. Примеры

1.  Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Оно удовлетворяет минимальному соотношению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По теореме 2.3.7, Рисунок убран из работы и досту
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 401

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>