Дипломная работа на тему "Положительные и ограниченные полукольца"

ГлавнаяМатематика → Положительные и ограниченные полукольца




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Положительные и ограниченные полукольца":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Положительные и ограниченные полукольца

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Ворожцов Вячеслав Андреевич _____

Научный руководитель:

канди дат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В. В. Чермных ________

Рецензент:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е. М. Вечтомов _______

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых оригинальных дипломных проектов предлагает вам приобрести любые проекты по желаемой вами теме. Мастерское написание дипломных работ на заказ в Саратове и в других городах России.

Глава 1. Основные понятия теории полуколец ............................................. 4

1.1. Определение полукольца. Примеры.................................................. 4

1.2. Дистрибутивные решетки.................................................................... 5

1.3. Идеалы полуколец............................................................................... 6

Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца.................................. 7

2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7

2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец..... 7

Библиографический список........................................................................... 16

Введение

Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.

Глава . «Основные понятия теории полуколец».

1.1. Определение полукольца. Примеры.

Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1.  (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

-   Ассоциативность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

-   Коммутативность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

-   Существование нейтрального элемента: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2.  (S,·) – полугруппа:

-   Ассоциативность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

3.  Умножение дистрибутивно относительно сложения:

-   левая дистрибутивность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. а(в+с)=ав+ас;

-   правая дистрибутивность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (а+в)с=ас+вс.

4.  Мультипликативное свойство 0:

-   Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в нем коммутативна: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в нем существует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1): Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Примеры полуколец:

1.  <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;

2.  <{0},+,·> - тривиальное полукольцо;

3.  Двухэлементные полукольца:<Z2 ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);

4.  Множество матриц Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.с элементами из полукольца N и операциями + и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

5.  Множества N, Z, Q+, Q, R+, R и введенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение, максимум Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и минимум Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.

Полукольцо с импликацией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется мультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняется равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется мультипликативно (аддитивно) идемпотентным.

1.2. Дистрибутивные решетки.

Пусть L – произвольное множество. Введем на L отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. положив,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.

Отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на множестве L является отношением порядка.

Пусть M – непустое подмножество частично упорядоченного множества L . Нижней гранью множества M называется такой элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Нижняя грань m множества M называется точной нижней гранью, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где n – произвольная нижняя грань множества M. Двойственным образом определяется точная верхняя грань.

Частично упорядоченное множество L называется решеткой, если любые два элемента имеют точную верхнюю Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и точную нижнюю Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. грани; решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивные законы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Решетка называется дистрибутивной, если для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ограниченной, если она имеет 0 и 1.

1.3. Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольца S, если для любых элементов a, bРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.I, sРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.S элементы a+b и sa (as) принадлежат I.

Непустое подмножество, являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольца S называется собственным. Наименьший из всех (левых) идеалов, содержащий элемент a S, называется главным (главным левым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS, односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всех элементов принадлежащих главному идеалу можно записать так .

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:

1. {0} – нулевой идеал;

2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;

3. Идеал на полукольце Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

4. Главный идеал ограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».

2.1. Определение, примеры и основные свойства.

Полукольцо S с 1 называется положительным, если для любого элемента а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. S элемент а+1 обратим в S, т. е.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:

1.  ограниченные дистрибутивные решетки;

2.  полукольца непрерывных R+ - значных функций;

3.  множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, если для любого выполняется . Ограниченное полукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченных полуколец:

1.  ограниченные дистрибутивные решетки;

2.  множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:

I. Для полукольца S следующие условия равносильны:

1. S – положительное полукольцо;

2. для любого максимального одностороннего идеала M в S и любых a и b S

(a+b M) (a M & b M).

Доказательство:

1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2. ПустьРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для произвольных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и максимального правого идеала M. Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.для некоторых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1. Пусть выполнено 2 и с – произвольный элемент из S. Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеале полукольца S (т. к. в противном случае в силу условия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит, 1+с обратим.

II. В положительном полукольце S справедливы импликации:

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., такой что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,т. к.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получили y=1 и значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,

Теперь, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,т. е. такое полукольцо еще и аддитивно идемпотентно.

Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножим обе части на x и получим необходимое равенство.

III . Полукольцо S положительно тогда и только тогда, когда для любого элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и любого обратимого элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обратим.

Доказательство.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Полукольцо положительно, следовательно, элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - обратим. Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – обратимы, тогда их произведение также обратимо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., значитРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обратим.

IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:

1.  S – дистрибутивная решетка.

2. 

Доказательство.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Очевидно.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По свойству 2 следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

1.  a+1=1;

2.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Доказательство.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Докажем методом математической индукции по числу n.

I.  База. к=1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т. е.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим для k=n

и a+1=1

Из I и II Следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.

Примером того, что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Зафиксируем элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для n=2

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. верно, но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совсем неверно.

VII. Если S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.

Доказательство.

Осталось доказать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Добавим к правой и левой части выражения равные элементы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.

VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.определяется так:

.

Доказательство.

1. Возьмем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для доказательства понадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство: ММИ по числу n в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

I. База. n=1. Из условия ограниченности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

II. И. П. n=i-1.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из условия II и ограниченности:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По ИП:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из условий I, II получили, что данное равенство верно для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., лемма доказана.

Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либоРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1 группа), либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группы имеется член Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и лемме 1. из группы 1 останется только элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., который и останется. Получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2 .Прежде всего проверим замкнутость операций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и + на множестве I.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

С другой стороны Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

b). 1 – нейтральный элемент:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

с). Коммутативность:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из 1 и 2 следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Коммутативность доказана. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.

(3) Дистрибутивность:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(4) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Все аксиомы полукольца доказаны, а значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.

IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то S – аддитивно идемпотентно.

Доказательство.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим t>1

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим t=1,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

т. к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X. В положительном полукольце S Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливо следующее тождество:

Доказательство.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Домножим на обратный к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Что и требовалось доказать.

Библиографический список

1.  Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.

2.  Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.


Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Положительные и ограниченные полукольца". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 499

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>