Дипломная работа на тему "Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей"

ГлавнаяМатематика → Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей":


Санкт-Петербургский государственный университет Факультет прикладной математики – процессов управления Кафедра математического моделирования

энергетических систем

Карпова

Наталия

Анатольевна

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПОЛИНОМЫ И КРИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Зав. Кафедрой,

профессор, доктор физ.-мат. наук Захаров В. В.

Научный руководитель,

доцент, кандидат физ.-мат. наук Свиркин М. В.

Рецензент,

доцент, кандидат физ.-мат. наук Корников В. В.

Санкт Петербург

2003

Оглавление.

Введение…………………………………………………………………………..3

Глава 1. Система кривых Пирсона.

§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона…………………….………5

§ 2. Основные типы кривых Пирсона…….……………………………...8

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам написать любые работы по требуемой вам теме. Качественное написание дипломных проектов под заказ в Новосибирске и в других городах РФ.

§ 3. Переходные типы кривых Пирсона…………………………………17

Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

§ 1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева…...23

§ 2. Обобщение метода Грамма - Шарлье………………...…………….33

§ 3. Весовые функции и кривые распределения вероятностей…….….36

Глава 3. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей и программное обеспечение.

§ 1. Примеры нахождения кривых распределения вероятностей……..40

§ 2. Алгоритм вычислений...................................……...……...………...46

Заключение……………………………………………………………………..47

Литература……………………………………………………………………...48

Введение.

Математическая статистика является наукой, которая изучает соотношения, столь глубоко проникающие в суть вещей, что их можно встретить при самых различных обстоятельствах. Результаты исследований, полученные с помощью аппарата математической статистики, используются в самых различных областях науки и техники, таких как биология, медицина, анатомия, геология, экология, экономика, и т. д.

Данная дипломная работа посвящена рассмотрению двух основных задач математической статистики:

1.  получению кривой распределения вероятностей по имеющейся выборке;

2.  нахождению зависимости между двумя случайными величинами, заданными своими выборками.

Для решения первой задачи используются различные методы. В данной работе рассмотрен метод Карла Пирсона, представителя английской школы статистики. Им было получено дифференциальное уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а так же введен критерий æ (каппа Пирсона), с помощью которого Пирсон классифицировал решения этого дифференциального уравнения и представил их в виде двенадцати типов.

Позже в своих теоретических исследованиях Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения данной задачи используется метод Пирсона нахождения кривой распределения.

Для решения второй задачи используется метод П. Л. Чебышева, создателя Санкт – Петербургской математической школы. В статистике имя знаменитого русского математика П. Л. Чебышева (1821-1894) известно главным образом по так называемому неравенству Чебышева, которое он предложил для распределения вероятностей, и которое имеет силу для любого статистического распределения численностей.

Однако за последнее время в статистике всё большее значение приобретают ортогональные полиномы Чебышева, которые имеют особое значение при определении множественной и криволинейной регрессии и при вычислении коэффициентов обобщённой функции нормального распределения вероятностей.

Чебышев предложил общую интерполяционную формулу, при которой возможно интерполирование в самых разнообразных случаях. Эта интерполяционная формула удовлетворяет условиям метода наименьших квадратов и выражена при помощи его ортогональных полиномов. Общая интерполяционная формула, или, иначе ряд Чебышева, предложен Чебышевым в 1855 году. Она имеет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом в дипломной работе рассматриваются два метода:

ü метод Пирсона нахождения кривых распределения вероятностей,

ü метод Чебышева получения ортогональных полиномов,

которые были положены в основу обобщенного метода Грамма – Шарлье нахождения кривой распределения вероятностей.

Глава 1. Система кривых Пирсона.

В данной главе ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде. Для ее решения рассматривается подход К. Пирсона, который является выдающимся представителем английской статистической школы.

§ 1. Дифференциальное уравнение Пирсона.

Рассмотрим случайную величину, заданную своей выборкой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., таким образом, можем записать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - статистической распределение. Ставится задача нахождения закона распределения случайной величины в удобном для практического использования виде.

Метод Пирсона заключается в том, что мы рассматриваем дифференциальное уравнение Пирсона:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

и исследуем, какие решения можно получить при различных значениях параметров уравнения (1).

Общий интеграл этого уравнения представим в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Значение этого неопределенного интеграла зависит от корней уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2),

следовательно, от его дискриминанта

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

который можно написать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

вводя параметр

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Или иначе, величину æ можно представить в виде:

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где величины Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представимы через центральные моменты статистических распределений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. к-го порядка, которые определяются по формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Через величины Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно представить и величины Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следующим образом [5]:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Величина æ называется критерием Пирсона (каппа Пирсона) и раз­личные значения ее дают нам следующие выводы о корнях уравнения:

А. Если æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и уравнение (1) имеет вещественные корни различных знаков.

В. Если 0< æ<1, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и уравнение (1) имеет комплексные корни.

С. Если æ>1, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и уравнение (1) имеет вещественные корни одного знака.

Соответственно этим случаям Пирсон различает три главных типа своих кривых, которые он назвал соответст­венно типами I, IV и VI. Затем æ может равняться Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что дает переходные типы кривых. Наконец, присоединяя некоторые дополнительные условия, мы можем увеличить число переходных типов. Всего система кривых Пирсона заключает 12 типов и нормальную кривую.

В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.

2. Основные типы кривых Пирсона.

В этом параграфе будут рассмотрены основные типы кривых распределения вероятностей, предложенные и классифицированные Пирсоном.

Тип I.

Пусть æ<0. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и уравнение (2) имеет вещественные корни различных знаков: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что можем записать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда правая часть уравнения (1) может быть представлена в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть еще

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда уравнение (1) перепишется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и общий интеграл его можно представим в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должны удовлетворять условиям

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип I получается, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. заключается в интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

или, как обычно пишут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выражаются определенным образом через моменты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, очевидно, и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также выражаются через те же моменты. Для этого введем число

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда простое преобразование дает следующие формулы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.

Далее, пользуясь этими же формулами,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Затем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

или, после простых подсчетов,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представляют корни уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Когда найдены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. находятся по формулам

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

в которых

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Здесь использовано равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

которое получается, так мы имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

откуда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), нужно брать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образам, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть корни уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по формулам

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

в которых

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. находится из равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Остается найти Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Оно находится по равенству

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При помощи подстановки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

мы находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип IV

Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям

0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.

Пусть эти корни равны

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда уравнение (1) будет

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

откуда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,(3)

причем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Параметры кривой (3), выражаются следующим образом через моменты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и константы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(здесь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.),

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - функция Пирсона, определяемая равенством

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Интеграл в правой части можно привести к другому виду:

подстановка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

приводит его к виду

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обычно, полагая

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

пишут Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип VI.

Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(в нем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Его параметры вычисляются по формулам:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

причем берется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. дают выражения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

причем должно быть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

беря за начало координат точку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Параметры Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вычисляются как выше, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет теперь такое выражение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Кривая простирается от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3. Переходные типы кривых Пирсона.

Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значениях критерия æ и при некоторых условиях, налагаемых на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип II.

Получается при æ=0,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

отнесенное к моде, которая теперь равна средней (кривая симметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Кривая простирается от -а до а. На концах распределения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Эта кривая имеет так называемую U-образную форму с антимодой вместо моды.

Тип VII.

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

получается при æ=0,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и имеет параметры

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Нчало координат в средней (средняя равна моде).

Тип III.

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

с началом координат в моде и с параметрами

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получается при æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тип V.

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

с параметрами

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

кривая получается при æ=1 и бесконечна в одном направлении.

Тип VIII

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

простирается от –а до 0, получается при

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. зависит от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а параметр т получается как решение уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и он не должен быть больше 1 или меньше 0.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а начало в точке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тип IX.

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

простирается от –а до 0, получается при

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Параметр т определяется как решение уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а начало будет в точке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тип X.

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

с началом координат в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; получается как специальный случай кривой типа III при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип XI

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

получается при

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и простирается от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а т находится из уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и b зависит от m.

Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

а начало координат в точке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип XII.

Имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

получается при

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Кривая простирается от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., начало координат в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тип N.

Тринадцатый тип кривых распределения Пирсона – нормальная кривая с уравнением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

которая получается при условиях

æРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Типы II, VI, VII, VIII, IX представляют специальные случаи кривой типа I, тип X – специальный случай типа III, а тип XI - типа VI. [5] (См. приложение 1.)

Глава 2. Применение ортогональных полиномов Чебышева при нахождении кривых распределения вероятностей.

В этой главе рассмотрено получение ортогональных полиномов способом, который разработал П. Л. Чебышев. А именно, через разложение в непрерывную дробь суммы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и рассмотрение знаменателей подходящих дробей полученной непрерывной дроби. Причем показано, что полученные таким образом ортогональные полиномы отвечают условиям метода наименьших квадратов, а так же показано их применение для нахождения кривых распределения вероятностей.

1. Получение ортогональных полиномов по способу Чебышева.

Пусть даны значения интерполируемой функцииРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

соответствующие значения аргумента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Каждому значению аргумента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ставится в соответствие частота Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Требуется найти такую целую функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которая удовлетворяла бы условию наименьшего значения суммы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В данной задаче в качестве веса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. предлагается рассмотреть [8]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где n есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

или иначе говоря n - сумма всех испытаний.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для решения нашей задачи находим коэффициенты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые определяются из следующих уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

……………………

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

После преобразований получаем следующую систему уравнений для нахождения коэффициентов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

……………………

……………………

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

……………………

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Такой подход к нахождению коэффициентов имеет существенный недостаток – при повышении степени полинома хотя бы на единицу приходится переписывать все уравнения и решать систему заново.

Есть другой вариант построения искомого полинома [8].

Пусть будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. целая функция от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которая обращается в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Положим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - целые функции степеней Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коэффициенты.

Пусть теперь сумма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. первых членов выражения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

равняется

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Каковы в этом случае условия относительно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при которых сумма

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

имеет наименьшее значение?

Обозначим эту сумму через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

и, подставляя в нее

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

составляем обычным способом дифференцирования следующие уравнения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда следует:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть ортогональные полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут равняться 0.

В результате преобразований получим выражения для коэффициентов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

………………

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

………………

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь можно представить функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в таком виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой функции к целой функции степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для дальнейшего перехода к целой функции степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., также удовлетворяющей условию наименьшего значения суммы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

достаточно прибавить к найденному выражению функции степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., такой новый член

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, решение задачи параболического интерполирования по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.первых членов приближенное представление интерполируемой функции в виде целой функции степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющей требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.

Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют собой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., определив через данные величины Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коэффициенты при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в выражении этих функций.

Далее, с помощью разложения дроби

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

по нисходящим степеням Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получим, что дробь

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

дает приближенное представление функции [7]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

с точностью до членов степени

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

включительно. Здесь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть весовая функция, найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда будет в своих неполных частных содержать переменную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.есть функции степеней Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; поэтому можно положить

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Что касается Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то его можно приравнять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Разлагая

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в непрерывную дробь вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - некоторые постоянные, используем найденные выше свойства функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для определения этих постоянных через данные значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выражения для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет иметь вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выражения для коэффициентов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут следующими:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вводя для сокращения обозначение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., запишем выражение для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в таком виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выражение будет иметь вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Что касается величин Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то они равны соответственно

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь перейдем к определению коэффициентов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в выражении

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.получим выражение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это выражение весьма упростится, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. мы будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней арифметической так, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а выражение для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет иметь вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Также упростятся выражения для

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. станет равной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяются путем последовательных подстановок выражений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в формулы

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 527

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>