Дипломная работа на тему "Операторные уравнения"

ГлавнаяМатематика → Операторные уравнения




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Операторные уравнения":


Федеральное агентство по образованию

Государственное муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Вятский Государственный Гуманитарный университет

(ВятГГУ)

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

«Операторные уравнения»

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

Кощеева Анна Серг еевна

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Гукасов Артур Константинович

_______________________

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ

Подгорная Ирина Иссаковна

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам написать любые работы по желаемой вами теме. Правильное выполнение дипломных работ на заказ в Краснодаре и в других городах России.

________________________

Допущен к защите в ГАК

Зав. кафедрой______________________ Крутихина М. В.

« »____________

Декан факультета__________________ Варанкина В. И.

« »____________

Киров 2005

Содержание

--------------------------------------------------
Введение_______________________________________________________ | 3 |
---------------------------------------------------------
Глава 1.Операторные уравнения.___________________________________ | 4 |
---------------------------------------------------------
§1. Определение линейного оператора________________________ | 4 |
---------------------------------------------------------
§2. Норма линейного оператора______________________________ | 5 |
---------------------------------------------------------
§3. Обратные операторы____________________________________ | 5 |
---------------------------------------------------------
§4. Абстрактные функции___________________________________ | 9 |
---------------------------------------------------------
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________ | 11 |
---------------------------------------------------------
§6. Метод малого параметра в простейшем случае______________ | 12 |
---------------------------------------------------------
§7. Метод малого параметра в общем случае___________________ | 13 |
---------------------------------------------------------
§8. Метод продолжения по параметру________________________ | 15 |
---------------------------------------------------------
8.1. Формулировка основной теоремы___________________ | 15 |
---------------------------------------------------------
8.2. Простейший случай продолжения по параметру_______ | 16 |
---------------------------------------------------------
Глава 2. Приложение_____________________________________________ | 19 |
---------------------------------------------------------
Литература_____________________________________________________ | 27 |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Введение Функциональный анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины. Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.

Цель данной работы: рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать применение этих методов к решению задач.

Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

1.  раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

2.  проиллюстрировать на конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по ходу решения конкретных задач.

Так как выделение из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во второй – решения конкретных задач.
Глава 1. Операторные уравнения §1.Определение линейного оператора

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(λ1x1 + λ2x2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)

для любых x1,x2 ÎD и любых скаляров λ1 и λ2.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т. е. D(А) = X).

Оператор А называется непрерывным в точке x0 ÎX, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 ÎX можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой точке x0 Î X.

Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.

Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.

Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.

Будем называть линейный оператор А: X → Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т. е. если ограничено множество

{ ||Аx||, ||x|| ≤ 1}.

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство

||Аx|| ≤ с (1)

Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ≤ с ||x|| (2)

для любых x Î X, где – постоянная.

Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§2. Норма линейного оператора

В линейном пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. . (1)

Поясним, почему существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

ограничено сверху. По теореме о верхней грани существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из свойства sup M следует, что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S1(0). Отсюда

||Аx|| ≤ ||А|| ||x||, (2)

справедливое для всех x Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и, значит, оценка (2) является наилучшей.

Пространство нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем обозначать L(X, Y).

§3.Обратные операторы

Системы линейных алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут быть записаны в виде линейного уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если существует обратный оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то решение задачи записывается в явном виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.

Пусть задан линейный оператор: А: X → Y, где X, Y – линейные пространства, причем его область определения D(A)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.X, а область значений R(A)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Y.

Введем множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - множество нулей оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)

Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (т. е. множество А нулей состоит только из элемента 0)

Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для некоторой постоянной m>0 и любого x Î D(A)выполняется неравенство

. (1)

Введем теперь следующее важное понятие.

Будем говорить, что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y, оператор обратим и A-1 ÎL(Y, X), (т. е. ограничен).

Обращаясь к теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.

Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется неравенство (1).

В случае определенного и ограниченного на всем множестве оператора A ÎL(X, Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1 ограничен.

Иными словами, если А Î L(X, Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А непрерывно обратим.

Взглянем на понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного уравнения

Ax = y (2)

Если А непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для любой правой части у. Если при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(решение того же уравнения с правой частью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это означает, что малое изменение правой части y влечет малое изменение решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.

Пусть А Î L(X, Y). Оператор U Î L(X, Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X, Y) будем называть левым обратным к А, если VA = Ix.

Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А используем обозначение Аr–1, а для левого – АL–1.

Лемма 1. Если существует правый обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет решение

x = Аr–1 y

Если существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более одного решения.

Доказательство.

А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,

т. е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит, является решением.

Далее, пусть существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x ÎN(A), тогда Аx = 0. применим к этому равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x ÎN(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А взаимно однозначен, т. е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности. Что и требовалось доказать.

Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство L(X) – пространство линейных, ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается, что вместе с I непрерывно обратимы все операторы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - единичного шара в L(X), т. е. все такие А, для которых справедливо неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для краткости положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.

Теорема 8. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; тогда оператор IC непрерывно обратим. При этом справедливы оценки

(1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Доказательство. Рассмотрим в L(X) ряд

I+C+C2+C3+… (3)

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то ряд (3) оценивается сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По признаку Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Где S – сумма ряда (3). Далее простой проверкой убеждаемся, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (ибо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому, в пределе имеем равенства (IC)S = I и S(IC) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(IC)-1. Далее,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Переходя в этих неравенствах к пределу при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.

Теперь рассмотрим более общий случай пространства L(X, Y). Пусть А ÎL(X, Y) непрерывно обратим.

Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда B непрерывно обратим и справедливы оценки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§4. Абстрактные функции

Пусть S – некоторое множество на числовой оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.

Рассмотрим функцию x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) с областью определения S и с областью значений в X. Такие функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической абстрактной функции.

Пусть x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) определена в окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0, за исключением, быть может, самой точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0. Элемент а Î X будем называть пределом функции x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 и записывать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0,

если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0.

Степенные ряды – это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда зависят от параметраРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим в нормированном пространстве X ряд вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где xк Î X, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – вещественное или комплексное переменное. Поскольку можно ввести новую переменную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то в дальнейшем мы полагаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 = 0 и рассматриваем степенные ряды вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Конечная сумма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется частичной суммой степенного ряда (1).

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – множество всех точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых ряд (1) сходится. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется областью сходимости ряда (1).

Сумму ряда (1) при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначим через S(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) (это абстрактная функция, определенная на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. со значениями в X), при этом будем писать

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Последнее равенство означает, что Sn(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) → S(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при n→∞ для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Очевидно, область сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 ÎРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Как и в случае скалярных функций, справедлива следующая теорема.

Теорема 10 (Абель). ПустьРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 ≠ 0 и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 Î , тогда круг Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержится в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Во всяком круге Sr(0), где r < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно относительно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:

;

тогда равны все их коэффициенты: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (k=0, 1, 2, …)

Дифференцирование абстрактных функций

Пусть функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. числового переменного λ со значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.

По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0 называется предел

,

если этот предел существует (и конечен). Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет производную в точке λ0, то она называется дифференцируемой в этой точке.

§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора

Абстрактную функцию x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) будем называть аналитической при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, если она представима в некоторой окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0 сходящимся степенным рядом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

с ненулевым радиусом сходимости.

Теорема 12. Если x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – аналитическая абстрактная функция при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, то x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) непрерывна в круге SR(0), где R – радиус сходимости степенного разложения (1).

Теорема 13. Если x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – аналитическая абстрактная функция при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, то x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) дифференцируема в круге SR(0) сходимости своего степенного разложения.

Пусть x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) бесконечно дифференцируема в точке 0. Ряд вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

называется рядом Тейлора функции x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Если x(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) аналитична при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0, то ее ряд Тейлора, в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней в SR(0).

Понятие абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике методе малого параметра.

§6. Метод малого параметра в простейшем случае

Рассмотрим следующее уравнение:

Аx Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Сx=y. (1)

Здесь А, С ÎL(X,Y) и y ÎY заданы, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - скалярный параметр, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а неизвестное x разыскивается в X. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2)

то, согласно теореме 9, оператор А–Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.С непрерывно обратим, и тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Отсюда видно, что в круге (2) решение является аналитической функцией параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, следовательно, может быть найдено в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

На этой идее основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в правой и левой частях получившегося тождества:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, мы приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0, x1, …:

Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1, …

Так как А непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим

x0=А–1y, x1= А–1(СА–1)y, …, xк= А–1(СА–1)кy, …

Следовательно,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (5)

Мы получили решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд и ограничиться приближенным решением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

то можно оценить ошибку. Вычитая из ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§7. Метод малого параметра в общем случае

Пусть дано уравнение

А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)х = у(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). (1)

Здесь А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)ÎL(X,Y) задана при каждом , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., или, как говорят, А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – оператор-функция. Пусть А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) аналитична при =0, а оператор А(0) непрерывно обратим, у( ) – заданная аналитическая функция при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается в X.

Аналитичность А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и у( ) в точке 0 означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами сходимости, которые равны Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.соответственно:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2)

Из аналитичности А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) следует непрерывность А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при =0. следовательно, найдется число r > 0 такое, что в круге Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда вытекает, что в круге Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.оператор-функцияА(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

при этом x( ) аналитична в точке =0 и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., r). Для фактического построения x( ) удобно воспользоваться методом малого параметра. Будем разыскивать x( ) в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Подставляя ряд (3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2, …:

А0x0 = y0, А0x1+А1x0 = y1,

А0x2 + А1x1 + А2x0 = y2, (4)

. . . . . . . . . . .

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …

Здесь А0 = А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся системы, находим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., … (5)

Возникающие здесь формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях, когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения оператора А( ).

§8. Метод продолжения по параметру 8.1. Формулировка основной теоремы

В качестве еще одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов метода продолжения по параметру. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и А непрерывно обратим. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, согласно теореме 9 §3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную на отрезке [0, 1] оператор - функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая, соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор – функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется следующее условие:

1.  Существует постоянная Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такая, что при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и при любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливо неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Ниже будет доказана следующая теорема.

Теорема 14. Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), причем оператор А(0) непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Замечание к теореме 14. Если выполнено условие I при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывно обратим, то

. (2)

Действительно, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. тогда условие I дает Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что означает справедливость неравенства (2).

8.2. Простейший случай продолжения по параметру

Приведем здесь доказательство теоремы 14 для случая, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Согласно условию этой теоремы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По замечанию 14 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Имеем следующую оценку:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. На [0, δ] имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и, следовательно, по теореме 9 А(λ) при всяком Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывно обратим. Если окажется, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то теорема доказана.

Пусть δ < 1. Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Повторяем наши рассуждения при λ>δ. Имеем оценку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда А(λ) непрерывно обратим при каждом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то теорема доказана. Если же 2δ < 1, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.

Доказательство теоремы в общем случае

Рассмотренный выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях. Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.

Лемма. Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].

Замечание 1. условие открытости М на [0,1] понимается так: для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует δ > 0 такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ – пустое множество. Допустим противное, что N ¹ Æ. Поскольку М ¹ Æ и ограничено сверху, то существует b = supM, причем b Î M вследствие замкнутости. Покажем, что b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.

Теперь рассмотрим множество N. Как дополнение к М, оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение с supM . мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное противоречие доказывает, что допущение N ¹ Æ неверно. Итак, N= Æ, т. е. М = [0, 1]. Лемма доказана.

Вернемся к доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ) непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î [0, 1].

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

воспользуемся непрерывностью оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ Î [0, 1] таких, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. < δ выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. <e.

Возьмем e = γ, тогда при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. < δ(γ), λ Î [0, 1]

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.<1.

По теореме 9 §3 А(λ) непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ0 М содержит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. М открыто на [0, 1].

Докажем, что М замкнуто на [0, 1]. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Надо доказать, что λ0 М. воспользуемся неравенством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вследствие непрерывности А(λ) по λ для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.<e. Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.<1.

По теореме 9 А(λ0) непрерывно обратим, т. е. λ0 Î М, и, значит, М замкнуто на [0, 1]. По лемме М = [0, 1] . в частности, 1Î М и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Теорема полностью доказана.

Замечание. Рассмотрим уравнение с параметром:

А(λ)х = у, λÎ [0, 1]. (1*)

Пусть для всех возможных решений этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2*)

где с – некоторая постоянная, не зависящая от х, у и λ. Оценка такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно, априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1): Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказанная выше теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем существования и единственности решений.

Глава 2. Приложение

Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение с малым вещественным параметром λ:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Это уравнение вида А( )х = у(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – операторное уравнение в С[-π; π], где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Покажем, что А( ) аналитична в т. 0, т. е. разлагается в ряд вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Разложим функцию А( ) в ряд Тейлора: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Найдем к– ую производную:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Разложим функцию в ряд Тейлора в т. 0:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, функция аналитична, следовательно, непрерывна при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 0, а значит, уравнение имеет единственное решение.

Операторные коэффициенты имеют вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

I. Начнем с уравнения А0x0 = y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥ 1.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Заменим, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (4)

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для того, чтобы найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и, интегрируем по t от –π до π:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

подсчитаем интегралы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда, подставив в уравнение, получаем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (5)

Найдем коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя по t от –π до π:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Подсчитав соответствующие интегралы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., подставив и выразив В, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (6)

Подставим найденные коэффициенты (5) и (6) в уравнение (4):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и свернем по формуле:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

II. Найдем теперь x1(t), для этого необходимо решить следующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0 = y1. Так как y1=0 в нашем случае, то мы будем решать уравнение А0x1= – А1x0.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. к. мы знаем теперь x0(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Как в предыдущем случае заменим, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. . (7)

где Рисунок убран из работы и доступен тольк
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 609

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>