Дипломная работа на тему "Обобщённо булевы решетки"

ГлавнаяМатематика → Обобщённо булевы решетки




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Обобщённо булевы решетки":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обобщенно булевы решетки

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Онучин Андрей Владимирович

Научный руководитель:

к. ф.-м. н., доцент кафедры алгебры и геометрии ВятГГУ
Чермных Василий Владимирович

Рецензент:

д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии ВятГГУ

Вечтомов Евгений Михайлович

Работа допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по требуемой вам теме. Мастерское выполнение дипломных работ на заказ в Новокузнецке и в других городах России.

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»__________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение.......................................................................................................... 3

Глава 1............................................................................................................. 4

1.1. Упорядоченные множества................................................................... 4

1.2. Решётки.................................................................................................. 5

1.3. Дистрибутивные решётки..................................................................... 7

1.4. Обобщённые булевы решётки, булевы решётки................................. 8

1.5. Идеалы................................................................................................... 9

Глава 2........................................................................................................... 11

2.1. Конгруэнции....................................................................................... 11

2.2. Основная теорема............................................................................... 16

Библиографический список.......................................................................... 22


Введение

Булева решётка представляет собой классический математический объект, который начал интенсивно изучаться в работах М. Стоуна 30-е годы 20-го века, расширением этого понятия до обобщённо булевых решёток занимались Г. Гретцер и Е. Шмидт в своих трудах конца 50-х годов.

Цель данной работы: установление взаимно однозначного соответствия между конгруэнциями и идеалами в обобщённо булевых решётках. (Для булевых решёток это положение доказано в книге [2], кроме того, сформулировано в книге [3] в качестве упражнений). А также – установление связи между обобщённо булевыми решётками и булевыми кольцами.

Данная дипломная работа состоит из двух глав: в первой главе даны основные понятия, а так же содержатся базовые сведения из теории решёток. Кроме того, в первой главе рассмотрено несколько простейших теорем.

Вторая глава представляет собой основную часть данной дипломной работы. Опираясь на работы Гретцера Г., но более подробно, рассмотрены свойства конгруэнций и связь конгруэнций и идеалов в обобщённо булевых решётках (Теоремы 2.1, 2.2, 2.3.). Кроме того реализована основная цель данной дипломной работы: установлена связь между булевыми кольцами и обобщённо булевыми решётками (Основная теорема).


Глава 1 1.1. Упорядоченные множества

Упорядоченным множеством P называется непустое множество, на котором определено бинарное отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющее для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следующим условиям:

1. Рефлексивность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2. Антисимметричность. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3. Транзитивность. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то говорят, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. меньше Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. больше Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и пишут Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Примеры упорядоченных множеств:

1.  Множество целых положительных чисел, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. означает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2.  Множество всех действительных функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. означает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Цепьюназывается упорядоченное множество, на котором для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет место Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Используя отношение порядка, можно получить графическое представление любого конечного упорядоченного множества P. Изобразим каждый элемент множества P в виде небольшого кружка, располагая x выше y, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Соединим x и y отрезком. Полученная фигура называется диаграммой упорядоченного множества P.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
Примеры диаграмм упорядоченного множества:

1.2. Решётки

Верхней гранью подмножества Х в упорядоченном множестве Р называется элемент a из Р, больший или равный всех x из X.

Точная верхняя грань подмножества X упорядоченного множества P – это такая его верхняя грань, которая меньше любой другой его верхней грани. Обозначается символом sup X и читается «супремум X».

Согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная верхняя грань существует, то она единственна.

Понятия нижней грани и точной нижней грани (которая обозначается inf X и читается «инфинум») определяются двойственно. Также, согласно аксиоме антисимметричности упорядоченного множества, если точная нижняя грань X существует, то она единственна.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
Решёткой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется упорядоченное множество L, в котором любые два элемента x и y имеют точную нижнюю грань, обозначаемую Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и точную верхнюю грань, обозначаемую Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Примеры решёток:

Примечание. Любая цепь является решёткой, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадает с меньшим, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с большим из элементов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Наибольший элемент, то есть элемент, больший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 1, а наименьший элемент, то есть меньший или равный каждого элемента упорядоченного множества, обозначают 0.

На решётке можно рассматривать две бинарные операции:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - сложение и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - произведение

Эти операции обладают следующими свойствами:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. идемпотентность;

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коммутативность;

3. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ассоциативность;

4. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. законы поглощения.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть L - множество с двумя бинарными операциями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обладающими свойствами (1) – (4). Тогда отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) является порядком на L, а возникающее упорядоченное множество оказывается решёткой, причём: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Рефлексивность отношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вытекает из свойства (1). Заметим, что оно является следствием свойства (4):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то в силу свойства (2), получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это означает, что отношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. антисимметрично.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то применяя свойство (3), получим: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что доказывает транзитивность отношения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Применяя свойства (3), (1), (2), получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то используя свойства (1) – (3), имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По определению точней верхней грани убедимся, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из свойств (2), (4) вытекает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то по свойствам (3), (4) получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда по свойствам (2) и (4) следует, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть L решётка, тогда её наибольший элемент 1 характеризуется одним из свойств:

1.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично характеризуется наименьший элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

1.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.3. Дистрибутивные решётки

Решётка L называется дистрибутивной, если для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется:

D1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

D2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В любой решётке тождества D1 и D2 равносильны. Доказательство этого факта содержится в книге [2], стр. 24.

Примеры дистрибутивных решёток:

1.  Множество целых положительных чисел, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. означает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это решётка с операциями НОД и НОК.

2.  Любая цепь является дистрибутивной решёткой.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
ТЕОРЕМА 1.2. Решётка L с 0 и 1 является дистрибутивной тогда и только тогда, когда она не содержит подрешёток вида

Доказательство этой теоремы можно найти в книге [1].

1.4. Обобщённо булевы решётки, булевы решётки

Всюду далее под словом «решётка» понимается произвольная дистрибутивная решётка с 0.

Решётка L называется обобщённой булевой, если для любых элементов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и d из L, таких что существует относительное дополнениена интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. такой элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из L, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

(Для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., интервал Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; дляРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.можно так же определить полуоткрытый интервалРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

ТЕОРЕМА 1.3. (О единственности относительного дополнения в обобщённо булевой решётке). Каждый элемент обобщённо булевой решётки L имеет только одно относительное дополнение на промежутке.

Доказательство. Пусть для элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует два относительных дополнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. относительное дополнение элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. относительное дополнение элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

таким образом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. любой элемент обобщённой булевой решётки имеет на промежутке только одно относительное дополнение.

Решётка L называется булевой, если для любого элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из L существует дополнение, т. е. такой элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из L, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

ТЕОРЕМА 1.4. (О единственности дополнения в булевой решётке). Каждый элемент булевой решётки L имеет только одно дополнение.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3.

ТЕОРЕМА 1.5. (О связи обобщённо булевых и булевых решёток).

Любая булева решётка является обобщённо булевой, обратное утверждение не верно.

Доказательство. Действительно, рассмотрим произвольную булеву решётку L. Возьмём элементы a и d из L, такие что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что относительным дополнением элемента a до элемента d является элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где a’ – дополнение элемента a в булевой решётке L. Действительно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., кроме того Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда следует, что решётка L является обобщённо булевой.

1.5. Идеалы

Подрешётка I решётки L называется идеалом если для любых элементов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежит в I. Идеал I называется собственным, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Собственный идеал решётки L называется простым, если из того, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как непустое пересечение любого числа идеалов снова будет идеалом, то мы можем определить идеал, порождённый множеством H в решётке L, предполагая, что H не совпадает с пустым множеством. Идеал, порождённый множеством H будет обозначаться через (H]. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то вместо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем писать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и называть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. главным идеалом.

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть L – решётка, а H и I – непустые подмножества в L, тогда I является идеалом тогда и только тогда, когда если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Пусть I – идеал, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. влечёт за собой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как I – подрешётка. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и условия теоремы проверены.

Обратно, пусть I удовлетворяет этим условиям и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., следовательно, I – подрешётка. Наконец, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и I является идеалом.

Глава 2 2.1. Конгруэнции

Отношение эквивалентности (т. е. рефлексивное, симметричное и транзитивное бинарное отношение) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на решётке L называется конгруэнцией на L, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совместно влекут за собой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (свойство стабильности). Простейшими примерами являются ω, ι, определённые так:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(ω)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(ι) для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. смежный класс, содержащий элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.‌|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть L – произвольная решётка и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Наименьшую конгруэнцию, такую, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и назовём конгруэнцией, порождённой множеством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

ЛЕММА 2.1. Конгруэнция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.существует для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Действительно, пусть Ф = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как пересечение в решётке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадает с теоретико-множественным пересечением, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, Ф=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В двух случаях мы будем использовать специальные обозначения: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- идеал, то вместо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.мы пишем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соответственно. Конгруэнция вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется главной; её значение объясняется следующей леммой:

ЛЕММА 2.2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. С другой стороны рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - наименьшая конгруэнция, относительно которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - наименьшая конгруэнция, такая, чтоРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.содержится в одном смежном классе. Для произвольных решёток о конгруэнции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.почти ничего не известно. Для дистрибутивных решёток важным является следующее описание конгруэнции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- дистрибутивная решётка, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Обозначим через Ф бинарное отношение, определённое следующим образом: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что Ф – отношение эквивалентности:

1) Ф – отношение рефлексивности: x·a = x·a ; x+b = x+b;

2) Ф – отношение симметричности:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x·a = y·a и x+b = y+b Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. y·a = x·a и y+b = x+b Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

3) Ф – отношение транзитивности.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x·a = y·a и x+b = y+b и пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. y·с = z·с и y+d = z+d. Умножим обе части x·a = y·a на элемент с, получим x·a·c = y·a·c. А обе части y·с = z·с умножим на элемент a, получим y·c·a = z·c·a. В силу симметричности x·a·c = y·a·c = z·a·c. Аналогично получаем x+b+d = y+b+d = z+b+d. Таким образом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из всего выше обозначенного следует, что Ф – отношение эквивалентности.

Покажем, что Ф сохраняет операции. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и zРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.L, то (x+z) ·a = (x·a) + (z·a) = (y·a) + (z·a) = (y+z) ·a и (x+z)+b = z+(x+b) = z+(y+b); следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Аналогично доказывается, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и, таким образом, Ф – конгруэнция.

Наконец, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - произвольная конгруэнция, такая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда x·a = y·a, x+b = y+b , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому вычисляя по модулю Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ 2.1. Пусть I – произвольный идеал дистрибутивной решётки L. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в том и только том случае, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В частности, идеал I является смежным классом по модулю Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и элементы x·y·i, i принадлежат идеалу I.

Действительно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Воспользуемся тем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (*), заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому мы можем прибавить к тождеству (*) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и тождество при этом будет выполняться.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Прибавим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Прибавим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обратно согласно лемме 2, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.‌‌‌‌‍|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Однако Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.‌‌‌‌‍|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. откуда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Действительно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (**).

Рассмотрим правую часть этого тождества:

Объединим первое и второе слагаемые –

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Объединим первое и третье слагаемые –

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

таким образом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (***)

Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому прибавим к обеим частям выражения (***) y:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, условие следствия из теоремы 2.1. выполнено для элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Наконец, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является смежным классом.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть L – булева решётка. Тогда отображение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является взаимно однозначным соответствием между конгруэнциями и идеалами решётки L. (Под Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. понимаем класс нуля по конгруэнции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., под Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. понимаем решётку конгруэнций.)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Доказательство. В силу следствия из теоремы 2.1. это отображение на множество идеалов; таким образом мы должны только доказать, что оно взаимно однозначно, т. е. что смежный класс Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяет конгруэнцию Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Обобщённо булевы решетки". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 537

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>