Дипломная работа на тему "Обобщение классических средних величин"

ГлавнаяМатематика → Обобщение классических средних величин




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Обобщение классических средних величин":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускная квалификационная работа

Обобщение классических средних величин

Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лялин Андрей Васильевич

Научный руководитель:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

кафедры прикладной математики

С. И. Калинин

Рецензент:

>кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры математического анализа и МПМ В. И. Варанкина

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Уникальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по желаемой вами теме. Грамотное выполнение дипломных работ по индивидуальным требованиям в Самаре и в других городах России.

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М. В. Крутихина

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров

2005

Отзыв на выпускную квалификационную работу

А. В. Лялина «Обобщение классических средних величин»

Выпускная квалификационная работа студента Лялина А. В. представляет собой систематическое изложение вопросов, касающихся теории средних величин, а также их соответствующих обобщений. Отметим при этом, что её значительная часть является результатом самостоятельной научно-исследовательской деятельности.

Автор обозначенную тему рассматривает весьма полно: им приводятся все необходимые понятия и определения, формулировки и доказательства утверждений.

Затронутый в работе материал излагается индуктивно, на основе частных фактов, это облегчает читателю понимание текста работы.

Наибольший практический интерес представляет исследование неравенств для рассматриваемых средних. Автор устанавливает новый аналог неравенства Иенсена, им выводятся классические неравенства для средних степенных и их аналоги как приложение общих неравенств.

Полученные и усвоенные знания преподнесены грамотно (без стилистических ошибок, за редким исключением), правильно (без математических ошибок), чётко, логично и связно. Важно отметить, что автор умеет пользоваться научной литературой, в том числе иностранными статьями, согласовывать собственные исследования с фактами из литературных источников.

Подчеркнем, что по теме работы А. В. Лялин работал на протяжении трех лет, он неоднократно выступал с научными сообщениями на студенческом научно-исследовательском семинаре по математическому анализу, познакомился с несколькими статьями из зарубежных математических журналов.

Считаю, что работа Лялина А. В. отвечает требованиям, предъявляемым к ВКР, и заслуживает допуска к защите.

Калинин С. И..

Содержание

Введение.......................................................................................................... 3

Глава 1. Квази-средние как обобщение классических средних величин..... 4

Глава 2. Квази-средние и функциональные уравнения................................ 8

1.  Решение некоторых функциональных уравнений................................ 8

2.  Характеристическое свойство квази-средних..................................... 12

3.  Тождественные квази-средние............................................................. 15

4.  Однородные квази-средние................................................................. 17

5.  Аддитивные квази-средние.................................................................. 18

Глава 3. Квази-средние и выпуклые функции............................................. 19

1.  Некоторые вопросы теории выпуклых функций............................... 20

2.  Обобщение неравенства Коши и его аналог...................................... 24

3.  Обобщение неравенства Гёльдера и его аналог................................. 28

Заключение................................................................................................... 30

Библиографический список....................................................................... 31

Введение

Вопросы данной работы относятся к области математического анализа, конкретнее к теории средних величин, которая рассматривает свойства средних и неравенства с ними связанные.

Нашей целью будет изучение так называемых квази-средних, обобщающих известные среднее арифметическое, геометрическое и степенное.

В главе 1 мы скажем вначале о том, что вообще понимается под средними, а затем введём новые величины и проверим, в какой мере они удовлетворяют этому определению.

В главе 2 от прямого, конструктивного задания квази-средних, перейдём к аксиоматическому определению, то есть предпишем им некоторые характеристические свойства, а также выделим их основные классы. Здесь в основе будут лежать функциональные уравнения, которые мы отдельно рассмотрим.

В главе 3 укажем неравенства для квази-средних, из которых как частные случаи получим основные неравенства для средних степенных (неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом; неравенства, характеризующие свойство монотонности средних степенных; неравенство Гюйгенса; неравенство Гёльдера) и их аналоги. Теперь будем опираться на теорию выпуклых функций, и поэтому вновь предварительно обсудим некоторые её вопросы.

Методы доказательств, которые мы применяем в этой работе, не выходят за рамки классического анализа: используем свойства непрерывных, монотонных, выпуклых функций, обращаемся к функциональным уравнениям, при этом доказываем все необходимые факты.

Многие утверждения известны из литературы (где иногда просто сформулированы), некоторые утверждения являются новыми. Мы приводим их полное доказательство, уточняем, детализируем.

Глава 1. Квази-средние как обобщение классических средних величин

Так как предметом нашего изучения будет средняя величина, скажем вначале о том, как средние определяются в литературе. Сильное определение, включающее несколько условий, состоит в следующем [6].

Определение. Непрерывная действительная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. от n неотрицательных переменных называется средним, если для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняются условия:

1.  , то есть S “усредняет” любой набор из n неотрицательных чисел (свойство усреднения);

2.  , то есть “большему” набору соответствует не меньшее значение S (свойство возрастания);

3.  при любой перестановке чисел S не меняется (свойство симметричности);

4.  (свойство однородности).

Но чаще используется более слабое определение: средние выделяются среди других функций предписыванием им только свойства усреднения [2,3,5].

Так известные среднее арифметическое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., среднее геометрическое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и более общее среднее степенное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. очевидно будут средними и по сильному определению, а их весовые аналоги – взвешенные средние Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., уже не обладают свойством симметричности.

Теперь введём новые величины, обобщающие указанные классические средние – квази-средние [1], которые и будут предметом нашего изучения.

Легко заметить способ построения взвешенного среднего степенного – это есть величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., сюда включено и взвешенное среднее арифметическое при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и взвешенное среднее геометрическое – та же величина, но с функцией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отказавшись от конкретного вида функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем естественное обобщение этих простейших средних [1,2] –Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с тем лишь ограничением на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что она должна быть непрерывной и строго монотонной на некотором промежутке, содержащем все Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда обратная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует, и мы можем строить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых чисел из такого промежутка.

Определение. Квази-среднее есть величина вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из некоторого промежутка, на котором функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна и строго монотонна.

Очевидно, квази-средние включают и не взвешенные, обыкновенные средние, если взять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для всех номеров i и те же функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Как мы сказали, эти частные случаи квази-средних удовлетворяют всем условиям сильного определения средней величины. Естественно проверить, какие из условий останутся верными и для построенного обобщения. Рассмотрим условия по порядку.

1. Свойство усреднения.

При возрастании x от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. возрастает или убывает от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как среднее арифметическое лежит между этими значениями, но тогда в силу непрерывности обратной функции точкаРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обязана попасть в отрезок [Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.] = [Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.], то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и свойство выполняется.

2. Свойство возрастания.

Для возрастающей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а так как обратная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также возрастает, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В случае убывающей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.получаем тот же результат. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. влечёт Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и свойство выполняется.

3. Свойство симметричности.

Мы знаем, что симметричны, например, обычные, невзвешанные среднее арифметическое и геометрическое. Но в общем случае квази-средние, конечно, не симметричны. Можно выделить самый широкий класс симметричных квази-средних – они представляются в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Действительно, пусть М симметрична. Тогда для некоторого набора различных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и произвольной их перестановки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначив Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – набор, полученный произвольной перестановкой различных (в силу строгой монотонности функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Покажем, что последнее равенство возможно, только если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассуждаем по индукции.

Для n=2 получаем равенство _______________________________________________________________________________________________________________________________Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Предполагая теперь, что наше утверждение верно для какого-нибудь натурального , покажем, что оно будет верным и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть из равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.будет следовать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В наборе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. фиксируем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а остальные Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.чисел произвольно переставляем, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому по предположению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Аналогично, зафиксировав Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В результате Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Индукционный переход обоснован, и мы можем заключить, что наше утверждение верно для любых n.

А так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

4. Свойство однородности.

Также в общем случае, очевидно, не выполняется. Позже мы покажем, что однородными квази-средними будут только средние степенные.

Итак, по слабому определению квази-средние уже являются средними, но сильному определению они удовлетворяют только наполовину. Поэтому мы и назвали такие величины квази (“почти”)-средними.

Глава 2. Квази-средние и функциональные уравнения

Выше мы определили квази-средние напрямую, конструктивно, но оказывается, что можно дать и аксиоматическое определение, то есть предписать им характеристические свойства. С этой целью отдельно рассмотрим несколько функциональных уравнений, которые также будут использованы нами и для выделения основных классов квази-средних. Напомним, что с помощью свойства симметричности один класс мы уже указали – это величины вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.  Решение некоторых функциональных уравнений

Теорема 1. Единственными непрерывными хотя бы в одной точке решениями следующих уравнений являются соответственно функции:

1. ;

2. ;

3. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

4. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

5. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

6. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и , x≠0;

7. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., x>0

Доказательство. 1. Найдём все непрерывные хотя бы в одной точке решения уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое будет основным, так как мы далее сведём к нему все остальные уравнения.

Зафиксируем точку х0 из области определения – ту самую, в которой решение непрерывно, и проверим верность равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.для любого r R.

, что возможно только при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.для любого r N;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.для r=0;

, но тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и для любого r N, то есть равенство верно для всех целых r.

Далее пусть r Q или r=z/n, где p Z и q N. и поэтому , то есть равенство верно для всех рациональных r.

На последнем шаге используем непрерывность решения в точке х0 и тот факт, что любое действительное число представляется как предел некоторой рациональной последовательности.

Если , то и , а так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заключаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого r R.

Теперь , p R (если обозначить не зависящий от х множитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. за p).

2. Рассмотрим уравнение .

, и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнениюРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть уравнению 1, и поэтому .

Точно так же , … , . Но искомое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., pi R.

3. Решим уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

, откуда , и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению

, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

4. Обратимся к уравнению .

Прежде всего заметим, что если при каком-либо x0, то для любого x можно заключить , то есть .

Это одно из решений уравнения, и если существует другое решение, то оно не обращается в нуль ни в одной точке. Тогда . Но для положительной всюду можно определить функцию , которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению

, то есть . Откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

5. Рассмотрим уравнение .

, и поэтому

, и поэтому

, то есть g(x) – чётная функция.

Очевидно, если g(x)≠0, то она не определена при х=0. Действительно, если существует g(0), то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда тривиальное решение, существование которого очевидно. Таким образом уравнение достаточно рассматривать при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить чётным образом.

Определим функцию , где для любого х. G(x) непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению , то есть . Откуда , где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. И с учётом чётного продолжения .

6. Уравнение также сведём к уравнению 1.

Прежде всего заметим, что если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при каком-либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то для любого x можно заключить , то есть –тривиальное решение. Далее , и так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для нетривиального решения, то из этого равенства следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но тогда и g(–1)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1.
Если , то , и g(x) – чётная функция. Если же , то , и g(x) – нечётная функция. Таким образом g(x) достаточно найти при х>0, а на отрицательную полуось решение продолжить или чётным, или нечётным образом, получив тем самым два решения функционального уравнения.

При х>0 , так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – мы ищем нетривиальное решение. Поэтому можно определить функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которая непрерывна хотя бы в одной точке и удовлетворяет уравнению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть . Откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

И с учётом чётного и нечётного продолжений имеем два решения и , x≠0. Для k>0 функции можно по непрерывности доопределить и в нуле, но для k<0 это сделать невозможно. Заметим, что при k=0 вторая функция есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и мы получаем пример разрывного решения.

7. И уравнение решим, используя предыдущее уравнение.

, и поэтому функция , непрерывная хотя бы в одной точке, удовлетворяет уравнению , но тогда по доказанному для x>0 имеем (в этом случае ограничимся положительными x, так как далее решение на всей числовой прямой нам не понадобится).

Аналогично, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., … , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но искомое решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

, pi R.

2.  Характеристическое свойство квази-средних

Теперь мы готовы для квази-средних указать упомянутое выше аксиоматическое определение. Будем исходить от частных случаев – простейших средних. Так взвешенные среднее арифметическое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и среднее геометрическое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно определить как непрерывные хотя бы в одной точке решения функциональных уравнений и соответственно, а также эти решения должны удовлетворять условию усреднения, иначе не обязательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Первое условие есть результат теоремы 1, а второе условие мы докажем далее в общем случае.

Заметим, что операцию умножения, которая используется в уравнении для среднего геометрического, можно представить как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть функция, задающая среднее геометрическое. Операция сложения в уравнении для среднего арифметического представляется аналогично, но с функциейРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда вообще для квази-средних рассмотрим операцию, обобщающую сложение и умножение, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.– произвольная непрерывная, строго монотонная функция, множество значений которой – один из промежутков (–Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;а), (–Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;а], (b; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), [b; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), (–Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), где a≤0 и b≥0, что гарантирует существование операции для любых x и y из области определения функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Сформулируем общий результат, выражающий аксиоматическое определение квази-средних [1].

Теорема 2. Квази-средние – это такие функции от n переменных, для которых выполнены условия:

1)  непрерывность хотя бы в одной точке;

2)  ;

3)  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Очевидно, что квази-средние, ранее определённые как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяют перечисленным свойствам. Важно показать обратное – других величин с данными свойствами не существует. Для этого выведем вид функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., исходя из указанных условий.

Распишем уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., используя определение операции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=

=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=

=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Далее, если определить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и обозначить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то последнее выражение перепишется так , где функция H непрерывна хотя бы в одной точке. Тогда единственной такой функцией будет , pi R.Возвращаясь к прежним переменным и функциям, найдём Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., pi R.

Осталось показать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Используем свойство усреднения найденного решения: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмём Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А если предположить, что какое-то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=

=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что противоречит условию.

Аналогично можно определить квази-средние вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 3. Квази-средние вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.– это такие функции от n переменных, для которых выполнены условия:

1)  непрерывность хотя бы в одной точке;

2)  ;

3)  рефлексивность, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

4)  симметричность.

Действительно, свойства 1 и 2 выделяют функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., pi R, далее свойство 3 обеспечивает Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а из свойства 4 вытекаетРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теперь мы можем аксиоматически задавать частные случаи квази-средних, указывая для них свои операции в функциональном уравнении . Например:

для среднего арифметического Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. задающая его функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

для среднего геометрического Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

для среднего гармонического Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

для среднего квадратичного Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3.  Тождественные квази-средние

Квази-среднее Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определено, если задана функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Возникает естественный вопрос, справедливо ли обратное предложение: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. –тождественны, то следует ли отсюда, что задающие их функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также тождественны. Ответ на этот вопрос даёт следующая

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием тождественности квази-средних Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является условие Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Если указанное условие выполняется, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть условие достаточно.

Обратно, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., перепишем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сведём это равенство к функциональному уравнению. Возьмём точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из области значений функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и представим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Полагая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где для каждого i, найдём Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где не зависит от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что с обозначениями , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., перепишется так: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда решением этого функционального уравнения будет функция , , где . Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., илиРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если взять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, чтобы задать одно и то же квази-среднее Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. мы можем взять любую функцию из целого класса функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где а≠0 и bпроизвольные постоянные, и другого способа получить тождественные квази-средние не существует.

4.  Однородные квази-средние

Ранее мы говорили, что квази-средние в общем случае неоднородны, то есть соотношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не выполняется, но их подкласс – взвешенные средние степенные Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.обладают однородностью. Теперь покажем, что других квази-средних с данным свойством не существует [2].

Теорема 5. Взвешенные средние степенные – единственные однородные квази-средние.

Доказательство. Предположим, что равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет место, и выведем из него вид задающей квази-среднее функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Перепишем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получили тождественные квази-средние, заданные функциями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В силу теоремы 4 имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (*), где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.– функции от λ, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0. Также мы можем положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Подставляя теперь Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в (*) и заменяя λ на y, найдём, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (**). Аналогично Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Последние два равенства дают Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для x, y≠1 (***).

Отсюда следует, что функции в левой и правой частях (***) равны постоянной d, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из (**) вытекает сейчас равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое, очевидно, справедливо и для значений x=1 и y=1, и поэтому ограничение на (***) несущественно.

Итак, мы получили функциональное уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., рассматривая его, различаем два случая:

1) при d=0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому для x>0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2) при d0 полагая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., сведём уравнение к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и поэтому для x>0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В первом случае по теореме 4 о тождественных квази-средних Рисунок убран из работы
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 462

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>