Дипломная работа на тему "Некоторые линейные операторы"

ГлавнаяМатематика → Некоторые линейные операторы




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Некоторые линейные операторы":


Содержание

Введение

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования

§7. Оператор сдвига

Заключение

Введение

Наиболее доступными для изучения среде оп ераторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс оп ераторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам скачать любые работы по необходимой вам теме. Профессиональное написание дипломных работ на заказ в Казани и в других городах России.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных оп ераторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть Ex и Ey [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором, если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняются следующие равенства [2]:

1.  А(х1+х2) = Ах1 + Ах2;

2.  А(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.х) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.А(х);

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Е.

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D[a, b] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a, b] задан формулой:

Дf(x) = f/(x).

Где f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. D[a, b], f/(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. C[a, b].

Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С[-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., +Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.] – пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию на const a:

Аf(x) = f(x+a).

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

4) Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1], и дано отображение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1, заданное формулой:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В силу линейности определенного интеграла данное отображение является линейным оператором.

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нормированные пространства.

Определение 2 .Оператор А: Е Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Е1 называется непрерывным в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если какова бы не была последовательность xn Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0, p (А(xn), А(x0)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0.

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность[3] U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. U.

Иначе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.>0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.>0, что как только p (x, x0) < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., p (f(x), f(x0)) < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 1.

Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он непрерывен и в любой другой точке этого пространства.

Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0.

Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда

Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0.

Таким образом, из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует непрерывность в любой другой точке пространства.

т. д-на.

Пример.

Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это отображение непрерывным.

Решение.

Пусть y(x) – произвольный элемент пространства С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему последовательность. Это означает:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. p (yn, y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|yn(x)- y(x))| = 0.

Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).

Расстояние в R определено следующим образом:

p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|yn(x)- y(x))|=p(yn, y),

то есть p (F(yn), F(y)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0.

Таким образом, F непрерывно в любой точке пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем пространстве.

С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие ограниченности.

Определение 4. Линейный оператор А: Е Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Е1 называется ограниченным, если можно указать число K>0 такое, что

||Аx|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K||x||. (1)

Теорема 2.

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Доказательство:

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. S.

По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. S, то выполняется неравенство: |А(x)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. kn||x||, (xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.E). Переходя в этом неравенстве к пределу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

получаем |А(x)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. k||x||, где (xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.E), (k Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. S).

т. д-на.

Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой оператора А и обозначается ||A||[4].

||А|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K, для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.K, подходящего для (1), то есть |А(x)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ||А||||x||, где

||А|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.E.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.>0, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.>0 что ||x||< Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ||Ax|| < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выберем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. так, чтобы K*||x|| < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ||x|| < Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (К>0), значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда если ||x||< Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то ||Аx|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K||x|| < KРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.

Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т. д.

Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где

||yn|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно последовательность yn Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0 при n Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0, однако

||Аyn || = ||AРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||Axn ||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. > n|| xn||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 1, получаем противоречие с Аyn Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a, b] функция, равна Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По определению 5: ||F|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|F(x)| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|.

|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| = |Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.y(x)||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|y(x)||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|;

||F|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|y(x)||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||y(x)|||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| = |Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, норма F(y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет ||F|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По выше доказанному ||F|| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – нормированные пространства, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – линейный оператор, DA - область определения оператора, а RA – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. m*||x||, отсюда ||x|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||Ax||=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||y||.

Отсюда ||A-1y|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1||=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A-1y|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. М||y||.

Подставляем значение y и значение A-1y, получим ||x|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||x||.

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=m, получим ||Ax|| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1)  уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;

2)  существует ограниченный оператор (А – λI)-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3)  оператор (А – λI)-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Теорема 5. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – линейный непрерывный оператор, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. его регулярные числа. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Умножим обе части равенства на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. С другой стороны получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – регулярные для оператора А, то оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет обратный. Значит, из равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x принимает в этом случае вид:

tx(t) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

RРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0, y(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0) = a Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0. Для такой функции равенство (t - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 уравнение Аx=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)x(t) = 0, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [0, 1], при любом t, отличном от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а следовательно, в силу непрерывности и при t = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., обращается в нуль, т. е. тождественно равно нулю.

2) Пусть оператор А действующий из Е Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Е, задается матрицей А=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аx = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Введем обозначения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = y1

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = y2

x1, x2, y1, y2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. E;

A - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.*I = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., найдем определитель A - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.*I:

D(A - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.*I) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = (2-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)*(-2-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – 3 = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 – 7;

Если определитель отличен от нуля, то есть если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не есть корень уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. регулярные.

Корни уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 – 7 = 0 образуют спектр:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1 = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 – собственные значения.

Найдем собственные векторы для собственных значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

откуда x1 = (2+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)x2; 1-й собственный вектор: ((2+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)x, x);

при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

откуда x1 = (2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)x2 ; 2-й собственный вектор: ((2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)x, x);

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

Рассмотрим пространство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывных на отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функций, и оператор А, заданный формулой:

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a, bРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.R.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(x), f0(x)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. p (A fn(x), Af0(x)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0.

Оператор А, действует в пространстве C[Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(x), f0(x)) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| fn(x) - f0(x)|.

Решение:

p (A xn(t), Ax0(t)) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Axn(t) - Ax0(t)| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|xn(t)g(t) - x0(t)g(t)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|g(t)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|xn(t) - x0(t)| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|g(t)|p (xn(t), x0(t)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0.

Итак, p (A xn(t), Ax0(t)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|A(f)|.

Решение.

||A||=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|A(f)|=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|g(t)x(t)|.

|g(t)x(t)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |g(t) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x(t)| = |g(t)| |Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x(t)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|x(t)| |g(t)|.

||A||=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|x(t)| |g(t)| = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ||x(t)|| |g(t)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |g(t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и составим оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. относительно функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это возможно, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда следует, что оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является ограниченным.

Если же Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).

Резольвента оператора имеет вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отметим, что точки спектра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a, bРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.R:

1.  линейный;

2.  непрерывный;

3.  ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;

4.  обратим при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

5.  спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;

6.  резольвента имеет вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§5. Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[a, b], определенных на отрезке [a, b], заданный следующим образом:

Аf(t) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [a, x]; x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [a, b]; a, bРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.R;

Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = k*Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1.  интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2.  вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(t), f0(t)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. p (A fn(t), Af0(t)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0.

Оператор А, действует в пространстве C[a, b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(t), f0(t)) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| fn(t) - f0(t)|.

Решение:

p (A fn(t), Af0(t)) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.|.

|Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| = |Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из рабо
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 641

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>