Дипломная работа на тему "Многомерная геометрия"

ГлавнаяМатематика → Многомерная геометрия




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Многомерная геометрия":


ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств

§ 1. Историческая справка

§ 2. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля.

§ 3. Евклидово векторное пространство

§ 4. Понятие точечно-векторного аффинного n-мерного пространства

Глава II. Многомерные геометрические образы в n-мерных пространствах

§ 5. Четырёхмерное пространство. Определение и его исследование

§ 6. Геометрия k-п лоскостей в аффинном и евклидовом пространствах

§ 7. K-параллелепипеды в пространстве

§8. K-симплексы в пространстве

§ 9. K-шары в пространстве

Глава III. Применения многомерной геометрии

§ 10. О необходимости введения многомерного пространства (на примерах задач)

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых студентами дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Грамотное написание дипломных проектов по индивидуальному заказу в Волгограде и в других городах России.

§ 11. Пространство-время классической механики

§ 12. Пространство-время специальной теории относительности

§ 13. Пространство-время общей теории относительности

Заключение

Литература

Введение

Многомерная геометрия в настоящее время широко применяется в математике и физике для наглядного представления уравнений с несколькими неизвестными, функций нескольких переменных и систем с несколькими степенями свободы.

Геометрический язык позволяет применить к решению сложных задач геометрическую интуицию, сложившуюся в нашем обычном пространстве.

К множеству задач, решаемых с помощью многомерной геометрии, относятся задачи о нахождении более выгодных вариантов перевозок, задачи о наиболее выгодных способах раскроя материала, наиболее эффективных режимах работы предприятий, задачи о составлении производственных планов и т. п. Тот факт, что эти задачи решаются геометрически с помощью нахождения наибольших или наименьших значений линейных функций на многогранниках (причём, как правило, в пространствах, имеющую размерность, большую трёх) был впервые подмечен Л. В. Канторовичем. Необходимость рассмотрения n-мерных пространств при n > 3 диктуется также математическими задачами физики, химии, биологии и других областей знания.

Таким образом, хотя пространственные свойства окружающего мира хорошо описываются геометрическим трёхмерным пространством, потребности практической деятельности человека приводит к необходимости рассмотрения пространств любой размерности n.Целью дипломной работы является рассмотрение методов построения многомерных пространств и некоторых геометрических образов в этих пространствах; приведение примеров применения многомерной геометрии.

Объектом исследования является теория многомерных пространств и их практическая значимость.

Работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на параграфы, списка литературы. В первой главе рассматривается историческая справка многомерного пространства, понятие n-мерного пространства на основе аксиоматики Вейля, евклидово векторное пространство, также оповещается об аффинном n-мерном пространстве.

Во второй главе рассказывается о многомерных геометрических образах в n-мерном пространстве.

Третья глава работы содержит применение многомерной геометрии в различных теориях.
Глава I. Элементы общей теории многомерных пространств

§ 1. Историческая справка

Многомерная геометрия – геометрия пространств размерности, больше трёх. Термин «многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n > 3, то есть, прежде всего к евклидову пространству, а также к пространствам Лобачевского, Римана, проективному, аффинному (общие же римановы и другие пространства были определены сразу для n-измерений). Разделения трёх - и многомерной геометрий имеет историческое и учебное значение, так как задачи ставятся и решаются для любого числа измерений, когда и поскольку это осмысленно. Построение геометрии указанных пространств для n-измерений проводится по аналогии со случаем трёх измерений. При этом можно исходить из обобщения непосредственно геометрических оснований 3-мерной геометрии, из той или иной системы её аксиом или из обобщения её аналитической геометрии, перенося её основные выводы со случая трёх координат на произвольное n.

Именно так и начиналось построение n-мерной евклидовой геометрии. В настоящее время предпочитают исходные из понятия векторного пространства.

Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалась постепенно; первоначально – на почве геометрического представления степеней: а2 – «квадрат», а3 – «куб», а4 – «биквадрат», а5 – «кубоквадрат» и т. д. (ещё у Диофанта в 3 в. и далее у ряда средневековых авторов). Мысль в многомерном пространстве выражал И. Кант (1746), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д’Аламбер (1764). Построение же евклидовой моногомерной геометрии было осуществлено А. Кэли (1843), Г. Грассманом (1844) и Л. Шлефли (1852). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворное формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике.

Многомерные пространства возникли путём обобщения, аналогии с геометрией на плоскости и в трёхмерном пространстве. На плоскости каждая точка задаётся в системе координат двумя числами – координатами этой точки, а в пространстве – тремя координатами. В n-мерном же пространстве, точка задаётся n координатами, то есть записывается в виде A(x1, x2, ..., xn), где x1, x2, ..., xn – произвольные действительные числа (координаты точки А). На плоскости система координат имеет две оси, в пространстве – три, а в n-мерном пространстве система координат содержит n осей, причём каждые две из этих осей перпендикулярны друг другу. Конечно, такие пространства существуют лишь в воображении математиков и тех специалистов из других областей из других областей знания, которые применяют эти математические абстракции. Ведь реальное пространство, в котором мы живём, математически хорошо описывается трёхмерным пространством (евклидовым или римановым, но именно трёхмерным). Увидеть – в буквальном, физическом смысле этого слова – фигуры в четырёхмерном пространстве (а тем более в пространствах большего числа измерений) не в состоянии никто, даже самый гениальный математик; их можно видеть только мысленным взором.

Существуют различные парадоксы четвёртого измерения. Если, например, на плоскости имеется кольцо (оболочка), а внутри – кружок, то как бы мы ни двигали этот кружок по плоскости, вынуть его из этой оболочки, не разрывая её, невозможно. Но стоит только выйти в третье измерение, и кружок легко вынуть из кольца, подняв его вверх, над плоскостью, то, не прорывая оболочку, невозможно вынуть из неё этот шарик. Но если бы существовало четвёртое измерение, то можно было бы «поднять» шарик над трёхмерным пространством в направлении четвёртого измерения, а затем положить его снова в трёхмерное пространство, но уже вне оболочки. И то, что это сделать никому не удаётся, приводят как довод против существования четвёртого измерения. Довод ошибочен, так как в нём спутаны два вопроса.

Первый вопрос: имеется ли в реальном? Ответ на этот вопрос отрицателен.

Второй вопрос: можно ли рассматривать четырёхмерное пространство абстрактно, математически? Ответ утвердителен.

Нет ничего нелогичного или противоречивого в том, чтобы рассматривать четвёрки чисел (x1, x2, x3, x4), исследовать свойства этих «четырёхмерных точек», составлять из них фигуры, доказывать теоремы, постоянно строя таким образом, геометрию четырехмерного (или, вообще n-мерного) пространства. Но математическая н6епротиворечивость n-мерной геометрии ещё недостаточна для суждения о ценности этой теории.

§ 2. Понятие векторного многомерного пространства на основе аксиоматики Вейля.

В векторной аксиоматике понятие вектора является одним из основных (необходимых) понятий. Понятие числа тоже будем считать основным понятием и исходить из того, что теория действительного числа известна. Свойства операций сложения векторов и умножения вектора на действительные числа примем за аксиомы. Тогда можно дать аксиоматическое определение векторного пространства.

Пусть V – некоторое непустое множество, элементы которого будем называть векторами, и которые могут быть произвольной природы, R – множество действительных чисел. Введём для векторов операции сложения векторов и умножения вектора на действительные числа из R такие, чтоа) любым двум векторам a и b поставлен в соответствие определённый вектор, называемый суммой и обозначаемый a+b;б) любому вектору a и любому действительному числу α поставлен в соответствие определённый вектор, называемый произведением вектора на число и обозначаемый через αа. И пусть при этом выполняются следующие свойства аксиомы:1. a+b=b+a для любых векторов a и b из V ;2. (a+b)+с=a+(b+c), для любых векторов a, b, c Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.V.3. Существует такой вектор О Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. V, что а+О=а;4. Для любого вектора а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.V существует такой вектор – a Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.V , что а+(- а)=O;5. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. V;6. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. R и любых векторов a и b из V;7. 1· а = а для любого вектора а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. V.

Тогда множество V называется действительным линейным векторным пространством или векторным пространством. Введённое определение не накладывает никаких ограничений на природу элементов множества V, поэтому могут существовать различные векторные пространства.

Примеры: Векторное пространство V1 – множество векторов на прямой; Векторное пространство V2 – множество векторов на плоскости; Векторное пространство V3 – множество векторов пространства трёх измерений; Множество различных многочленов от одной переменной также составляет векторное пространство. «Векторами» являются многочлены. Используя утверждения, что в обычном пространстве трёх измерений существует три линейно независимых вектора, то есть выполняется равенство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Любая система, состоящая более, чем из 3-х векторов этого пространства, линейно зависима.

Продолжая строить аксиоматическую теорию векторных пространств, введём следующее определение.

Определение: Векторное пространство V называется n-мерным, если в нём выполняются аксиомы:

9. В векторном пространстве V существуют n линейно независимых векторов.

10. Любая система, состоящая более, чем из n векторов пространства V, линейно зависима.

Число n называется размерностью векторного пространства и обозначается символом dim V , а само пространство будем обозначать символом Vn. Базисом n-мерного векторного пространства Vn называется любая упорядоченная система векторов, таких, что система линейно независима; любой вектор пространства Vn является линейной комбинацией данной системы векторов. Базис не может иметь более трёх векторов и менее чем три вектора. Очевидно, что базис пространства V3 будем называть 3-мерным и обозначать В = (е1, е2, е3), где векторы е1, е2, е3 называются базисными. Из аксиом 9 и 10 следует, что в n-мерном векторном пространстве Vn существует хотя бы один базис, состоящий из n векторов. Можно доказать, что в Vn существует бесчисленное множество базисов и любой из них состоит из n векторов. N-мерный базис будем обозначать В = (е1, е2,…, еn), а векторы е1, е2,…, еn называть базисными. Следствие: Любая система, состоящая более чем из трёх векторов обычного пространства трёх измерений, линейно зависима.

§ 3. Евклидово векторное пространство

Строя аксиоматическую теорию аналитической геометрии на векторной основе, введём следующее определение.

Определение 1: Скалярным произведением на векторном пространстве V называется операция, которая любой паре векторов a и b ставит в соответствие некоторое действительное число, обозначаем символом a b и обладающее следующими свойствами:11. Для любых векторов a, b V и любого вектора a b= b а;12. Для любых двух векторов a, b V и любого числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..13. Для любых трёх векторов a, b, c Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.V Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;14. Для любого ненулевого вектора а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.V aa>0.

Определение 2: Векторное пространство Vn, в котором введена операция скалярного произведения векторов, удовлетворяющая аксиомам 11-14, называется евклидовым векторным пространством. Будем обозначать его символом Еn.

На основе определения 1 можно ввести понятие длины вектора и величины угла между векторами.

Число аа называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а2. Из аксиомы 14 следует, что а2>0, следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительное положительное число. Оно называется длиной или нормой вектора и обозначается: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1, то вектор а называется единичным.

На основе аксиом 11-14 можно указать следующие утверждения: Для любых векторов a, b1, b2,…, bn выполняется равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где а – произвольный вектор;

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно показать, что если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является единичным, его называют ортом вектора а. Он определяет то же направление, что и вектор а.

При решении метрических задач, т. е. задач, связанных с измерением длин векторов и величин углов, пользуются ортонормированным базисом.

Определение: Базис называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональны, т. е. если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема. В евклидовом пространстве Еn существуют ортонормированные базисы.

Действительно, если (а1, а2,…, аn) – ортогональный базис, то можно рассмотреть векторы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,…, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ясно, что базис (е1, е2,…, еn) ортонормированный, так как его векторы единичные и попарно ортогональны.

Введём обозначения: В=(i, j) или B=(i, j, k) – ортонормированные базисы евклидовых векторных пространств Е2 и Е3 соответственно.

  § 4. Понятие точечно-векторного аффинного n-мерного пространства

В § 2 и § 3 были аксиоматически определены различные векторные пространства: линейные векторные, n-мерные векторные, евклидовы векторные. Но для построения геометрии, то есть для рассмотрения различных геометрических фигур, одних векторов недостаточно, нужны ещё точки.

Аксиоматизируя построение вектора по двум точкам, введём следующее определение.

Определение. Аффинным пространством называют некоторое множество А* элементов произвольной природы, называемых точками, для которого задано

а) некоторое векторное пространство V;

б) отображение, которое любым двум точкам А и ВРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.А* ставит в соответствие некоторый вектор из V, обозначаемый АВ.

При этом требуется выполнение следующих аксиом:

15. Для любой точки АРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.А* и любого вектора А из V существует единственная точка ВРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.А* и любого вектора аРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.V существует единственная точка ВРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.А*, такая что АВ=а.

16. Для любых трёх точек А, В, СРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.A* имеет место равенство АВ+ВС=АС.

Аксиома 15 называется аксиомой откладывания вектора от точки, а аксиома 16 – аксиомой треугольника, из которой следует правило треугольника и правило параллелограмма сложения векторов.

Размерность пространства V называется размерностью соответствующего аффинного пространства А* и обозначается символом А*n.

Отметим некоторые важные следствия из аксиом 15-16.

При любом выборе точки А вектор АА нулевой.

Если АВ=0, то точки А и В совпадают.

Для любых точек А и В АВ = - ВА.

Если АВ=СD, то АС=ВD.

Для произвольных точек А1, А2,…, Аn выполняется равенство А1А2+ А2А3+ Аn-1Аn= А1Аn (правило многоугольника сложения векторов).

Пространство А*n содержит бесчисленное множество точек. На основе аксиом 1-10 и 15-16 аффинной геометрии нельзя ввести понятий длин отрезков и величин (мер) углов. Эти понятия можно ввести, используя скалярное произведение векторов.

Как известно, введение в Vn скалярного произведения векторов приводит к евклидову векторному пространству Еn.

Определение. Аффинное пространство Аn*, в котором соответствующее ему векторное пространство Vn превращено в евклидово векторное пространство Еn, называется евклидовым n-мерным пространством.

Для этого пространства введём обозначение Еn. Согласно определению ясно, что всякое аффинное пространство Аn* можно превратить в евклидово пространство Еn, задавая на векторном пространстве Vn скалярное произведение векторов, удовлетворяющее аксиомам 11-14 (§ 3).

Таким образом, в Еn выполняются аксиомы 1-16.

На основе аксиом евклидова пространства строится евклидова геометрия.

В евклидовой геометрии, очевидно, справедлива вся изложенная выше теория аффинной геометрии. Но пространство Еn обладает метрическими свойствами, которые следуют из аксиом скалярного произведения векторов и связаны с измерением длин отрезков и мер углов. Поэтому евклидову геометрию называют ещё метрической геометрией.

Метрические аксиомы позволяют установить метрику евклидова пространства, т. е. расстояния между его точками. Определим сначала модуль |a| вектора а как неотрицательный корень из его квадрата, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4.1)

Векторы, модуль которых равен 1, будем называть единичными векторами; единичный вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем обозначать а0.

Будем считать расстоянием между точками А и В модуль вектора АВ; будем обозначать это расстоянием АВ.

Таким образом, расстояние АВ между точками А(х) и В(y) определяется соотношением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4.2)

Из определения расстояния следует, что

Расстояние симметрично, т. е.

АВ=ВА (4.3)

Расстояние позитивно, т. е. (4.4) AB ≥ 0, причём знак равно имеет место только при совпадении точек А и В.Покажем, что для расстояний между точками евклидова пространства помимо свойств 1 и 2 выполняется также «неравенство треугольника».расстояние между всякими двумя точками не более суммы расстояний между этими точками и третьей точкой, т. е.

АСАВ + ВС (4.5)

Множество точек, для всяких двух точек А и В которого определено число АВ, удовлетворяющего условиям 1-3, называется метрическим пространством. Для доказательства неравенства треугольника докажем так называемое неравенство Коши

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4.6)

Скалярный квадрат вектора a – tb неотрицателен при любом вещественном t

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В случае b = 0 обе части неравенства (4.6) равны 0, т. е. неравенство выполняется автоматически.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда неравенство примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

что равносильно неравенству (4.6). Рассмотрим три точки А(х), В(у) и С(z). Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рис. 1

Но в силу неравенства Коши Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда получаем неравенство (4.5).

Глава II. Многомерные геометрические образы в n-мерных пространствах

  § 5. Четырёхмерное пространство. Определение и его исследование

При построении геометрии на прямой, на плоскости и в трёхмерном пространстве есть две возможности: либо излагать материал с помощью наглядных представлений (этот способ характерен для школьного курса, поэтому трудно себе представить учебник геометрии без чертежей), либо – и эту возможность даёт нам метод координат – излагать его чисто аналитически, назвав, например, точкой плоскости в курсе планиметрии пару чисел (координаты этой точки), а точкой пространства – тройку чисел. При введении четырёхмерного пространства первая возможность у нас отсутствует. Мы не можем непосредственно пользоваться наглядными геометрическими представлениями – ведь окружающее нас пространство имеет всего три измерения. Однако вторая версия для нас не закрыта. В самом деле, мы определяем точку прямой как число, точку плоскости как пару чисел, точку трёхмерного пространства как тройку чисел. Поэтому совершенно естественно построить геометрию четырёхмерного пространства, определив точку этого воображаемого пространства как четвёрку чисел. Под геометрическими фигурами в таком пространстве нужно будет понимать некоторые множества точек (как, впрочем, и в случае обычной геометрии). Перейдём теперь к точным определениям.

Координатные оси и плоскости

Определение. Точкой четырёхмерного пространства называется упорядоченная четвёрка чисел (x, y, z, t).

Что считать в пространстве четырёх измерений координатными осями и сколько их?

Чтобы ответить на этот вопрос, вернёмся на время к плоскости и трёхмерному пространству.

На плоскости (т. е. в пространстве двух измерений) координатные оси – это множества точек, у которых одна из координат может иметь одно числовое значение, а вторая равна нулю. Так, ось абсцисс – это множество точек вида (х, 0), где х – любое число. Например, на оси абсцисс лежат точки (1, 0), (-3, 0), а точка (1/5, 2) не лежит на оси абсцисс.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рис. 2

Ось ординат плоскости – это множество точек вида (0, у), где у – любое число. В трёхмерном пространстве есть три оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z), где z – любое число. В четырёхмерном пространстве, состоящем из всех точек вида (x, y, z, t), где x, y, z, t – любые числа, естественно считать координатными осями такие множества точек, у которых одна из координат принимает любые числовые значения, а остальные равны нулю. Тогда ясно, что в четырёхмерном пространстве есть четыре координатные оси: ось х – это множество точек вида (х, 0, 0, 0), где х – любое число; ось у – множество точек вида (0, у, 0, 0), где у – любое число; ось z – множество точек вида (0, 0, z, 0), где z – любое число, где у – любое число; ось t – множество точек вида (0, 0, 0, t), где t – любое число. В трёхмерном пространстве, кроме координатных осей, имеются ещё координатные плоскости. Это – плоскости, проходящие через две какие-либо две координатные оси. Например, плоскость yz – это плоскость, проходящая через ось y и ось z.

Всего в трёхмерном пространстве есть три координатные плоскости:

плоскость xy – множество точек вида (х, у, 0), где х и у – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (х, 0, z), где х и z – любые числа;

плоскость yz – множество точек вида (0, у, z), где y и z – любые числа.

Естественно, и в четырёхмерном пространстве называть координатными плоскостями множество точек, у которых какие-либо две из четырёх координат принимают любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Например, множество точек вида (x, 0, z, 0) мы будем называть координатной плоскостью xz четырёхмерного пространства. Сколько же всего таких плоскостей?

Выпишем их:

плоскость ху – множество точек, вида (х, у, 0, 0),

плоскость хz – множество точек, вида (х, 0, z, 0),

плоскость хt – множество точек, вида (х, 0, 0, t),

плоскость уz – множество точек, вида (0, у, z, 0),

плоскость уt – множество точек, вида (0, у, 0, t),

плоскость zt – множество точек, вида (0, 0, z, t).

Для каждой из этих п лоскостей переменные координаты могут принимать любые числовые значения, в том числе и нулевое. Например, точка (5, 0, 0, 0) принадлежит плоскости xy и плоскости xt. Тогда легко видеть, что, например, плоскость yz «проходит» через ось у в том смысле, что каждая точка этой оси принадлежит этой плоскости. Действительно, любая точка на оси у, т. е. точка вида (0, у, 0, 0), принадлежит множеству точек вида (0, y, z, 0), т. е. плоскости yz.

Итак, в четырёхмерном пространстве существуют множества точек, аналогичные координатным плоскостям трёхмерного пространства. Их шесть. Каждое из них состоит из точек, у которых, как и у точек координатных п лоскостей трёхмерного пространства, две какие-либо координаты могут принимать любые числовые значения, а остальные две равны нулю. Каждая из этих координатных п лоскостей «проходит» через две координатные оси: например, плоскость yz проходит через ось у и ось z. С другой стороны, через каждую ось проходят три координатные плоскости. Так, через ось х проходят плоскости xy, xz, xt. Будем говорить, что ось х является пересечением этих плоскостей. Все шесть координатных п лоскостей содержат одну общую точку. Это точка (0, 0, 0, 0) – начало координат.

Получаем аналогичную тому, что имеется в трёхмерном пространстве. Представим схематический рисунок, который поможет создать некоторый наглядный образ расположения координатных п лоскостей и осей четырёхмерного пространства.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 3

На рисунке оси координат изображены прямыми, показаны координатные плоскости, все точно также, как и для трёхмерного пространства.

Однако, в четырёхмерном пространстве есть ещё множества точек, которые можно называть координатными плоскостями. На прямой имеется только начало координат, на плоскости есть и начало координат, и оси в трёхмерном пространстве, кроме начала и осей, появляются ещё и координатные плоскости. Естественно, что в четырёхмерном пространстве появляются новые множества, которые будем называть трёхмерными координатными плоскостями.

Это – множества, состоящие из всех точек, у которых какие-либо три из четырёх координат принимают всевозможные числовые значения, а четвёртая равна нулю.

Таково, например, множество, имеющее вид (х, 0, z, t), где x, z, t принимают всевозможные значения. Это множество будем называть трёхмерной координатной плоскостью xzt. Легко понять, что в четырёхмерном пространстве существует четыре координатные трёхмерные плоскости:

плоскость xyz – множество точек вида (x, y, z, 0),

плоскость xyt - множество точек вида (x, y, 0, t),

плоскость xzt - множество точек вида (x, 0, z, t),

плоскость yzt - множество точек вида (0, y, z, t).

Каждая из трёхмерных координатных п лоскостей «проходит» через начало координат и что каждая из этих п лоскостей «проходит» через три координатные оси (слово «проходит» мы здесь употребляем в том смысле, что начало координат и каждая из точек осей принадлежат плоскости). Например, трёхмерная плоскость xyt проходит через оси x, y, t.

Аналогично, можно сказать, что каждая из двумерных п лоскостей является пересечением двух трёхмерных плоскостей.

Например, плоскость ху является пересечением трёхмерных п лоскостей xyz и xyt, т. е. состоит из всех точек, принадлежащих одновременно и тому и другому множеству.

Четырёхмерный куб

Определение сферы и куба

Перейдём теперь к рассмотрению геометрических фигур в четырёхмерном пространстве. Под геометрической фигурой (как и в случае обычной геометрии) будем понимать некоторое множество точек.

Возьмем, например, определение сферы: сфера есть множество точек, удалённых от некоторой точки на одно и то же расстояние.

Это определение уже можно использовать, чтобы по аналогии определить сферу в четырёхмерном пространстве: что такое точка, мы знаем; что такое расстояние между точками, тоже знаем. Мы и примем определение, переведя его на язык чисел (для простоты, как и в случае трёхмерного пространства, возьмём сферу с центром в начале координат).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2-мерный шар (круг) 3-мерный шар

рис. 4

Определение. Множество точек (x, y, z, t), удовлетворяющих соотношению

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5. 1)

называется четырёхмерной сферой с центром в начале координат и радиусом R.

Если рассматривать не сферу, а шар, то указанное равенство надо заменить неравенством

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5. 2)

Это замечание относится также к двумерному и к трёхмерному случаям.

Расскажем теперь немного о четырёхмерном кубе. Судя по названию, его фигура, аналогичная обыкновенному, хорошо знакомому трёхмерному кубу.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3-мерный куб

Рис. 5

На плоскости тоже есть фигура, аналогичная кубу, - это квадрат.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2-мерный куб (квадрат)

Рис. 6

Кубом называется множество точек (x, y, z), удовлетворяющих соотношениям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5. 3)

Это «арифметическое» определение куба не нуждается ни в каком чертеже. Однако оно полностью соответствует геометрическому определению куба.

В пространстве есть и другие кубы. Например, множество точек, определяемых соотношениями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тоже является кубом. Этот куб хорошо расположен относительно координатных осей: начало координат является его центром, координатные оси и координатные плоскости – осями и плоскостями симметрии. Однако для наших целей удобен именно куб, определяемый соотношениями (5. 3). Такой куб мы будем иногда называть единичным, чтобы отличить его от других кубов.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

одномерный куб (отрезок)

рис. 7

Для квадрата тоже можно дать арифметическое определение: квадратом называется множество точек (х, у), удовлетворяющих соотношениям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сравнивая эти два определения, легко понять, что квадрат действительно является, как говорят, двумерным аналогом куба. Будем называть иногда квадрат «двумерным кубом».

Можно также рассмотреть аналог этих фигур и в пространстве одного измерения – на прямой. Получим множество точек х прямой, удовлетворяющих соотношениям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ясно, что таким «одномерным кубом» является отрезок.

Определение. Четырёхмерным кубом называется множество точек (x, y, z, t), удовлетворяющих соотношениям

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Устройство четырёхмерного куба

Рассмотрим по порядку «кубы» различных размерностей, т. е. отрезок, квадрат и обычный куб.

Отрезок, определяемый соотношениями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является очень простой фигурой. Про него можно сказать, что его граница состоит из двух точек: 0 и 1. Остальные точки отрезка будем называть внутренними.

Граница квадрата состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков. Таким образом, квадрат имеет на границе элементы двух типов: точки и отрезки. Граница трёхмерного куба содержит элементы трёх типов: вершины – их 8, рёбра (отрезки) – их 12 и границ (квадраты) – их 6.

Запишем эти данные в виде таблицы:


--------------------------------------------------

Состав границы

Фигура

|

Точек

(вершин)

|

Отрезок

(сторон, рёбер)

|

Квадратов

(граней)

|
---------------------------------------------------------
Отрезок | 2 | - | - |
---------------------------------------------------------
Квадрат | 4 | 4 | - |
---------------------------------------------------------
Куб | 8 | 12 | 6 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Эту таблицу можно переписать короче, если условиться писать вместо названия фигуры число n, равное её размерности: для отрезка n = 1; для квадрата n = 2; для куба n = 3. Вместо названия элемента границы тоже можно писать размерность этого элемента: для грани n = 2, для ребра n = 1.

При этом точку (вершину) удобно считать элементом нулевой размерности (n = 0). Тогда предыдущая таблица примет следующий вид:

--------------------------------------------------

размерность

границы

размерность

куба

| 0 | 1 | 2 |
---------------------------------------------------------
1 | 2 | - | - |
---------------------------------------------------------
2 | 4 | 4 | - |
---------------------------------------------------------
3 | 8 | 12 | 6 |
---------------------------------------------------------
4 | 16 | 32 | 24 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Цель – заполнить четвёртую строку этой таблицы.

Граница отрезка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. состоит из двух точек: х = 0 и х =1. Граница квадрата Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержит 4 вершины:

х = 0, у = 0; х = 0, у = 1; х = 0, у = 1; х = 1, у = 1, т. е. точки (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Куб Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., содержит восемь вершин. Каждая из этих вершин есть точка (x, y, z), в которой x, y, z заменяются либо нулём, либо единицей. Получаем следующие 8 точек:

(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1).

Вершинами четырёхмерного куба: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называются точки (x, y, z, t), у которых x, y, z, t заменяются либо нулём, либо единицей. Таких вершин 16.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 8

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Тогда рёбрами (трёхмерного) куба являются стороны.

Рис. 9

х = 0, у = 0, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (ребро АА1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., у = 0, z = 1 (ребро АB1)

х = 1, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., z = 1 (ребро B1А1) и т. д.

Определение. Рёбрами четырёхмерного куба называется множество точек, для которых все координаты, кроме одной, постоянны (равны 0, либо 1), а четвёртая принимает все возможные значения от 0 до 1.

Прежде всего будем различать четыре группы рёбер: для первой пусть переменной координатой является х (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), а y, z, t принимают постоянные значения 0 и 1 во всех комбинациях. Так как существует 8 различных троек из нуля и единицы. Поэтому рёбер первой группы – 8. Рёбер второй группы, для которых переменной является не х, а у, тоже 8. Таким образом, ясно, что всего у четырёхмерного куба 32 ребра. Кроме рёбер у куба есть грани, которые, в свою очередь разделяются на двумерные и трёхмерные грани четырёхмерного куба. У четырёхмерного куба 24 двумерных грани и 8 – трёхмерных (они изображены параллелепипедами (рис. 10)).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

4 - мерный куб Рис. 10

§ 6. Геометрия k-п лоскостей в аффинном и евклидовом пространствах

Определение k-плоскости

Пусть в n-мерном аффинном пространстве Un зафиксирована произвольная точка А, и в соответствующем линейном пространстве Ln зафиксировано произвольное k-мерное подпространство Lk.

Определение. Множество всех точек М аффинного пространства, для которых АМ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Lk, называют k-мерной плоскостью, проходящей через точку А в направлении подпространством Lk.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 11, где k = 2

Говорят также, что Lk есть направляющее подпространство этой плоскости. Очевидно, что каждая плоскость определяет однозначно своё направляющее пространство.

Точку М называют текущей точкой плоскости. На рисунке показаны три положения М1, М2, М3 текущей точки М.

Частные случаи k-плоскостей

Если k = 0, то плоскость состоит из одной точки А. Поэтому каждую точку аффинного пространства можно рассматривать как нуль-мерную плоскость.

Одномерная плоскость называется прямой линией.

Плоскость размерности n – 1 называется гиперплоскостью.

При k = n плоскость совпадает со всем пространством Un.

В определении плоскости выделена точка А. Докажем, что в действительности все точки плоскости равноправны.

Обозначим плоскость через Пk и зафиксируем произвольную точку В Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Надо доказать, что точка М принадлежит плоскости Пk тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (т. е. что любая точка М может играть роль А).

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По определению плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда и по определению подпространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обратно, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 12

Теорема. Всякая k-мерная плоскость в аффинном пространстве сама является k-мерным аффинным пространством.

Доказательство. Пусть дано аффинное пространство U, которому соответствует линейное пространство L, пусть Пk – плоскость, проходящая через точку А в направлении подпространства Lk. Возьмём в плоскости Пk две произвольные точки M, N . По определению аффинного пространства им соответствует вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По определению плоскости векторы АМ и АN принадлежат подпространству Lk.

Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, каждой упорядоченной паре точек М, N плоскости Пk, поставим в соответствие вектор MN из k-мерного пространства Lk. При этом соблюдаются для Пk аксиомы, вытекающие из определения k-мерной плоскости и для всего аффинного пространства U. Теорема доказана.

Замечание. Если плоскость проходит через начало аффинной системы координат в направлении подпространства Lk, то совокупность радиус-векторов её точек образует подпространство, по определению совпадающее с подпространством Lk.

Пусть в аффинном пространстве U даны точки А0, А1,…, Аk (в числе k + 1). Эти точки находятся в общем положении, если они не принадлежат ни одной (k –1)-мерной плоскости.

Проверим, что точки А0, А1,…, Аk находятся в общем положении тогда и только тогда, когда векторы А0А1,…, А0Аk линейно независимы (рис. 13), причём безразлично, какую из точек брать в качестве А0 (то есть за начало векторов, идущих из неё в другие точки).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 13

Из сказанного в этом пункте и из определения плоскости следует, что через систему точек А0, А1,…, Аk, находящихся в общем положении, проходит k-мерная плоскость и притом только одна.

Предположим, что в пространстве Un зафиксирована какая-нибудь аффинная система координат с началом О и базисом е1, е2, …, еn. Рассмотрим плоскость Пk, проходящую через точку А в направлении подпространства Lk.

Будем считать, что точка А имеет координаты р1, р2, …, рn и что Lk задаётся как независимая система векторов q1, q2, …, qk. Тогда радиус-вектор ОМ текущей точки плоскости можно записать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6. 1)

где параметры τ1, τ2, …, τk независимо друг от друга пробегают всевозможные числовые значения, а вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 14)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рис. 14

Разложим вектор q1, q2, …, qk по базису е1, е2, …, еn:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Координаты текущей точки М обозначим, как обычно, через (x1, x2, …, xn) и запишем векторное равенство в координатах. В результате получим n числовых равенств.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6. 2)

Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости Пk.

Пример. Пространство, изучаемое в стереометрии, является трёхмерным аффинным пространством. В нём одномерные и двумерные плоскости совпадают соответственно с прямыми линиями и плоскостями, понимаемыми в элементарно-геометрическом смысле. В отличие от пространства, изучаемого в элементарной геометрии, в аффинном пространстве не определены метрические понятия: расстояния между точками и длины линий, площади и объёмы фигур, углы и перпендикулярность. При исследовании фигур в аффинном пространстве изучаются лишь те геометрические свойства, которые не зависят от метрических понятий.

2. Уравнения k-плоскости по k+1 точкам

Если заданы k+1 точек А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn) и векторы А0Аа = ха х0 независимы, то эти точки определяют единственную k – плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы А0Аа и векторное уравнение k-плоскости можно записать в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6. 3)

Будем называть k-плоскость, определяемую точками А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn), k-плоскостью А0, А1, …, Аk.

Случай k = n-1

В дальнейшем будем часто иметь дело с k-поверхностями и k-плоскостями при k = n – 1. Говоря, «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства», но иметь в виду (n – 1)-поверхность и (n – 1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называется соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью.

Поверхность можно задать одним координатным уравнением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6. 4)

если координаты xi, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n – 1 параметров t1, t2, …, tn-1, то получим

F(x) = 0. (6. 5)

3. Взаимное расположение плоскостей

3. 1 Пересекающиеся плоскости

Во всём этом пункте размерности п лоскостей и подпространств обозначены индексами снизу. Пусть две плоскости Пk и Пl пересекаются, то их пересечением является некоторая плоскость Пm.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. k = l = 2, m = 1 Рис. 15

Замечание 1. Не исключена возможность, что Пm состоит из одной точки (m = 0). Это видно на примере двух пересекающихся прямых или прямой и плоскости (рис. 16).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 16

В общем случае по одной точке могут пересекаться две плоскости, сумма разностей которых не превышает размерности пространства, например, двумерные плоскости в четырёхмерном пространстве.

Замечание 2. Не исключено и другое, когда одна из двух п лоскостей целиком принадлежит другой. Например, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 17)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.k = m = 1, l = 2

Рис. 17

2) Если плоскости Пk и Пl пересекаются по плоскости Пm, то существует единственная плоскость Пr, размерности r = k + l – m, содержащая Пk и Пl, причём ни в какой плоскости меньшей размерности Пk и Пl не могут одновременно поместиться. Направляющее подпространство Lr плоскости Пr является суммой направляющих подпространств Lk и Ll. Эта сумма является прямой суммой тогда и только тогда, когда Пk и Пl пересекаются по одной точке (m = 0, см. рис. 18).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 18

В частном случае, когда n = k + l – m, роль плоскости Пr выполняет всё пространство Un (при r = n = 3 см. рис. 15).

3) Если пересекающиеся плоскости Пk и Пl содержатся в какой-нибудь плоскости Пr, то размерность их пересечения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В частности, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых двух непересекающихся п лоскостей из Un.

4) Если плоскости Пk и Пl проходят через точку А в направлении подпространств Lk и Ll соответственно и если Lk содержится в Ll, то плоскость Пk содержится в плоскости Пl. Если при этом k = l, то Пk совпадает с Пl (также и Lk совпадает с Ll).

Параллельные плоскости

Пусть теперь плоскость Пk определяется точкой А и подпространством Lk, а плоскость Пl – точкой В и подпространством Ll. Будем считать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение: Плоскость Пk параллельна плоскости Пl, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В этом случае плоскость Пl параллельна плоскости Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Многомерная геометрия". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 599

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>