Дипломная работа на тему "Метризуемость топологических пространств"

ГлавнаяМатематика → Метризуемость топологических пространств




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Метризуемость топологических пространств":


Министерство образования и науки Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Дипломная работа

Метризуемость топологических пространств

Выполнила

студентка 5 курса

математического факультета

Побединская Татьяна Викторовна

_______________________________

(подпись)

Научный руководитель

к. ф. -м. н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна

_______________________________

(подпись)

Рецензент

_______________________________

(подпись)

Допущена к защите в ГАК

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Уникальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Правильное выполнение дипломных работ на заказ в Волгограде и в других городах России.

Зав. кафедрой______________________________к. п.н., доцент Крутихина М. В.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.

Декан факультета_________________________к. ф. -м. н., доцент Варанкина В. И.

(подпись)

«_____» _______________2004 г.

КИРОВ

2004

Содержание

Введение. 3

Глава I. Основные понятия и теоремы.. 4

Глава II. Свойства метризуемых пространств. 10

Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств. 21

Библиографический список. 24

Введение

Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».

В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.

Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:

1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

2. Метризуемое пространство нормально.

3. В метризуемом пространствеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется первая аксиома счетности.

4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

5. Для метризуемого пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следующие условия эквивалентны:

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сепарабельно,

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет счетную базу,

3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. финально компактно.

6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.

7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.

В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.

Глава I. Основные понятия и теоремы

Определение. Метрическим пространством называется пара Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., состоящая из некоторого множества (пространства) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. элементов (точек) и расстояния, то есть однозначной неотрицательной действительной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., определенной для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и удовлетворяющей трем условиям:

1)  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (аксиома тождества);

2)  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (аксиома симметрии);

3)  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (аксиома треугольника).

Определение. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.– некоторое множество. Топологией в называется любая система Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. его подмножеств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющая двум требованиям:

1.  Само множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и пустое множество принадлежат Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2.  Объединение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. любого (конечного или бесконечного) и пересечение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. любого конечного числа множеств из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. принадлежат Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.с заданной в нем топологией Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть пара Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называется топологическим пространством.

Множества, принадлежащие системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., называются открытыми.

Множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., дополнительные к открытым, называются замкнутыми множествами топологического пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Совокупность открытых множеств топологического пространства называется базой топологического пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если всякое открытое множество в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может быть представлено как объединение некоторого числа множеств из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Теорема 1. Всякая база Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в топологическом пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.обладает следующими двумя свойствами:

1)  любая точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.содержится хотя бы в одном Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2)  если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержится в пересечении двух множеств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то существует такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Открытым шаром или окрестностью точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. радиуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в метрическом пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется совокупность точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющих условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – центр шара, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – радиус шара.

Утверждение 1. Для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., принадлежащего Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., существует окрестность радиуса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., включенная в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-окрестность точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Выберем в качестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. :Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Достаточно доказать для произвольного Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. импликацию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Действительно, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.

Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).

-   Свойство первое очевидно, так как для любогоРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

-   Проверим второе свойство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда, воспользовавшись утверждением 1, найдем такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Теорема доказана.

Определение. Топологическое пространство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. метризуемо, если существует такая метрика Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что порожденная этой метрикой топология совпадает с исходной топологией пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аксиомы отделимости

Аксиома. Для любых двух различных точек топологического пространства окрестность хотя бы одной из них не содержит другую.

Аксиома. Каждая из двух произвольных точек пространства имеет окрестность, не содержащую вторую точку.

Предложение. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- пространством тогда и только тогда, когда для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. замкнуто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-пространством, то существует окрестность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не содержащая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Применим метод двойного включения:

-   Очевидно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по построению множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

-   Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отсюда для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отличного от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует окрестность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- открыто, как объединение открытых множеств.

Тогда множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- замкнуто, как дополнение открытого множества.

Достаточность. Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.замкнутые множества. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-открыто как дополнение замкнутого и не содержит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Аналогично доказывается существование окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не содержащей точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Что и требовалось доказать.

Аксиома ( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки пространства имеют непересекающиеся окрестности.

Аксиома Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Любая точка и не содержащее ее замкнутое множество имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Пространства, удовлетворяющие аксиомам Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) называются Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-пространствами (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-пространства называют также хаусдорфовыми пространствами).

Определение. Пространство называется нормальным или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-пространством, если оно удовлетворяет аксиоме Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и всякие его два непустые непересекающиеся замкнутые множества имеют непересекающиеся окрестности.

Определение. Система окрестностей называется определяющей системой окрестностей точки, если для любой окрестности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. найдется окрестность из этой системы, содержащаяся в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Если точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. топологического пространства имеет счетную определяющую систему окрестностей, то говорят, что в этой точке выполняется первая аксиома счетности. Если это верно для каждой точки пространства, то пространство называется пространством с первой аксиомой счетности.

Определение. Две метрики Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на множестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называются эквивалентными, если они порождают на нем одну и ту же топологию.

Пример. На плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для точек Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определим расстояние тремя различными способами:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

3. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

-   Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.

1. 1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то вторая аксиома очевидна: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3) рассмотрим точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и докажем следующее неравенство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Возведем это неравенство в квадрат:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и выражение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть величина неотрицательная, то неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является верным.

2. 1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то вторая аксиома очевидна: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3) рассмотрим точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и докажем следующее неравенство: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Тогда и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3. 1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то вторая аксиома очевидна:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3) рассмотрим точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Неравенство: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - очевидно.

-   Введенные метрики Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. эквивалентны, то есть задают одну и ту же топологию.

Пусть метрика Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. порождает топологию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- топологию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- топологию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Достаточно показать два равенства.

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим множество, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. открытое в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. открыто в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Возьмем некоторую точку и изобразим шар с центром в этой точке, который целиком лежит в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Шар в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- квадрат, шар в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- круг. А квадрат всегда можно заключить в круг. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. открыто и в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично доказывается, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А тогда и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Глава II. Свойства метризуемых пространств

Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Возьмем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получили противоречие. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следствие. Метризуемое пространство является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - пространством.

Определение. Расстоянием от точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в метрическом пространстве называется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Утверждение 2. Пусть множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. фиксировано; тогда функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., сопоставляющая каждой точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. расстояние Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., непрерывна на пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство. Воспользуемся определением непрерывности: функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется непрерывной в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Аналогично Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Из полученных неравенств следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для произвольного Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. возьмем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда из неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Непрерывность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. доказана.

Лемма. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.– замкнутое множество в метрическом пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. расстояние от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. положительно.

Доказательство.

Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. замкнуто, отсюда следует, что множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- открыто. Так как точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. принадлежит открытому множеству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то существует такоеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.

Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-пространством. Остается доказать, что любые непустые непересекающиеся замкнутые множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеют непересекающиеся окрестности.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. замкнуто по условию, то для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по лемме Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для произвольных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. открыты как объединения открытых шаров в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и содержат соответственно множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - окрестность множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - окрестность множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда из условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для определенности пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для некоторой точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что невозможно в силу определения расстояния от точки до множества.

Следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-пространством, а, значит, нормальным пространством. Теорема доказана.

Свойство 3. В метризуемом пространствеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выполняется первая аксиома счетности.

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- произвольное открытое множество, содержащее точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как открытые шары образуют базу топологии метрического пространства, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. содержится в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вместе с некоторым открытым шаром, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для некоторых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По утверждению 1 найдется такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом открытые шары Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. образуют определяющую систему окрестностей точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Очевидно, что множество этих окрестностей счетно. Что и требовалось доказать.

Определение. Множеством типа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или просто Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - множеством пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется всякое множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., являющееся объединением счетного числа замкнутых (в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) множеств.

Определение. Множеством типа или просто Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - множеством пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется всякое множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., являющееся пересечением счетного числа открытых (в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) множеств.

Очевидно, что множества типа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и являются взаимно дополнительными друг для друга.

Определение. Нормальное пространство, в котором всякое замкнутое множество является множеством типа , называется совершенно нормальным.

Утверждение 3. Нормальное пространство является совершенно нормальным тогда и только тогда, когда всякое открытое множество, принадлежащее этому пространству, является множеством типа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.

Доказательство. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - непустое замкнутое множество в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для непрерывной функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (непрерывность ее установлена в утверждении 2). Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. открыты в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как прообразы открытых множеств при непрерывном отображении. Докажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обратно. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является множеством типа .

Определение. Множество Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всюду плотно в, если любое непустое открытое в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множество содержит точки из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определение. Топологическое пространство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется сепарабельным, если оно имеет счетное всюду плотное подмножество.

Определение. Семейство γ открытых в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. множеств образуют покрытие пространства, если Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 581

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>