Дипломная работа на тему "Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа"

ГлавнаяМатематика → Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Поморский государственный университет имени М. В.Ломоносова»

Кафедра методики преподавания математики

Работа допущена к защите

Заведующая кафедрой

_________

«__»_____________2008 г.

Выпускная квалификационная работа

Методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства в курсе алгебры и начал анализа

Архангельск

2008

Содержание

Введение

Глава 1 Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики.

1.1 Этапы развития тригонометрии как науки

1.2 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках

1.3 Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам написать любые работы по нужной вам теме. Профессиональное написание дипломных проектов на заказ в Ижевске и в других городах России.

1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения

Глава 2 Формирование умений и навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2.1 Основы формирования умений, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств

2.2 Методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения

2.3 Методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические неравенства

2.4 Эксперимент, его проведение и обработка результатов

Заключение

Литература

Введение

В настоящее время основной задачей перестройки школьного образования является переориентация на приоритет развивающей функции обучения. Это означает, что на первый план выходит задача интеллектуального развития личности, т. е. развитие учебно-познавательной деятельности. Пожалуй, ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности.

Уже несколько десятилетий тригонометрия, как отдельная дисциплина школьного курса математики не существует, она плавно растеклась не только в геометрию и алгебру основной школы, но и в алгебру и начала анализа.

Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки на заре человечества, считали тригонометрия важнейшей из наук. Поэтому и мы не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.

Тригонометрические уравнения и неравенства занимают одно из центральных мест в курсе математики средней школы, как по содержанию учебного материала, так и по способам учебно-познавательной деятельности, которые могут и должны быть сформированы при их изучении и применены к решению большого числа задач теоретического и прикладного характера.

В школьном математическом образовании с изучением тригонометрических уравнений и неравенств связаны несколько направлений:

1.  Решение уравнений и неравенств;

2.  Решение систем уравнений и неравенств;

3.  Доказательство неравенств.

Анализ учебной, научно-методической литературы показывает, что

большое внимание уделяется первому и второму направлениям.

Требованием нашего времени является необходимость усиления прикладных направлений в обучении математике. Как показал анализ содержания школьного математического образования, возможности решения тригонометрических уравнений, а особенно тригонометрических неравенств в этом плане достаточно широки.

Так же следует заметить, что решение тригонометрических уравнений и неравенств создаёт предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных со всем учебным материалом по тригонометрии (например, свойства тригонометрических функций, приёмы преобразования тригонометрических выражений и т. д.) и даёт возможность установить действенные связи с изученным материалом по алгебре (уравнения, равносильность уравнений, неравенства, тождественные преобразования алгебраических выражений и т. д.).[1]

Иначе говоря, рассмотрение приёмов решения тригонометрических уравнений и неравенств предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Актуальность исследования: анализ материала, посвященного решению тригонометрических уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала анализа» для 10 – 11 классов разных авторов, учет целей изучения тригонометрических уравнений и неравенств, а так же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой, свидетельствует о том, что перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида, развивая тем самым общие тригонометрические представления.

Цель исследования: Разработать методику, направленную на формирование у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Объект исследования: процесс обучения математике.

Предмет исследования: методика формирования у учащихся умений решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Гипотеза исследования: Если выделить основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и разработать методику их формирования, то это будет способствовать качественному научению решать тригонометрические уравнения и неравенства.

Под осознанным и качественным изучением тригонометрии мы понимаем процесс обучения, осуществляемый с учетом идей личностно ориентированного обучения, при реализации которого не допускается формальной передачи знаний и схоластической отработки умений, т. е. изучение тригонометрии должно опираться как на логическую, так и на образную составляющие мышление, при этом учащимся должны быть предоставлены возможности для дифференциации и индивидуализации.

В процессе исследования и проверке достоверности гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. Провести анализ психолого-педагогической, учебной и методической литературы по проблеме исследования.

2. Выявить роль тригонометрических уравнений и неравенств в обучении математики.

3. Выделить основы формирования умений необходимых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

4. Классифицировать методы решения тригонометрических уравнений и неравенств.

5. Разработать методику формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения и неравенства.

6. Провести экспериментальное исследование разработанной методики.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования:

1. Анализ психолого-педагогической и методической литературы.

2. Анализ учебно-методических пособий, учебников, дидактических материалов.

3. Наблюдения, беседы с учителями.

4. Педагогический эксперимент.

Структура работы. Работа состоит из двух глав, введения и заключения. Во введении подчеркнута актуальность изучения проблемы. Первая глава посвящена рассмотрению значимости тригонометрического материала в школьном курсе математики, классификации тригонометрических уравнений и неравенств, а так же методов их решений. Во второй главе описаны основные умения, необходимые при решении тригонометрических уравнений и неравенств и методика формирования умений решать тригонометрические уравнения и неравенства. Список литературы включает 32 источника.

Глава 1 Тригонометрические уравнения и неравенства в ШКМ

1.1 Этапы развития тригонометрии как науки

Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи её относятся к глубокой древности, к античному миру и к математическому творчеству индусов (К. Птолемей, II в., Аль Баттани, IX в., и др.). Европейские математики достигли высокой степени совершенства в вычислении таблиц натуральных синусов и тангенсов (Региомонтанус, XV в., Ретикус и Питискус, XVI в., и др.).

Само название «тригонометрия» греческого происхождения, обозначающее «измерение треугольников»: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (тригонон) – треугольник, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (метрейн) – измерение.

Научная разработка тригонометрии осуществлена Л. Эйлером в его труде «Jntroductio in analysis infinitorum» (1748). Он создал тригонометрию как науку о функциях, дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из немногих основных формул. Обозначение сторон малыми буквами и противолежащих углов — соответствующими большими буквами позволило ему упростить все формулы, внести в них ясность и стройность. Эйлеру принадлежит мысль рассматривать тригонометрические функции как отношения соответствующих линий к радиусу круга, т. е. как числа, причём радиус круга как «полный синус» он принял за единицу. Эйлер получил ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций для всех четвертей, получил обобщённую формулу приведения и освободил тригонометрию от многих ошибок, которые допускались почти во всех европейских учебниках математики.

Сочинение Л. Эйлера в дальнейшем послужило фундаментом для учебников тригонометрии. Одно из первых руководств, «Сокращённая математика» С. Румовского (1760), отдел «Начальные основания плоской тригонометрии», начинает изложение следующим образом: «Тригонометрия плоская есть знание через Арифметические выкладки сыскивать треугольники, которые геометрия черченьем находит». Всё изложение сводится к решению треугольников (самые простые случаи), вычисления проводятся весьма сложным путём, учение о функциях отсутствует.

Таким образом, тригонометрия возникла на геометрической основе, имела геометрический язык и применялась к решению геометрических задач. Развитие алгебраической символики позволило записывать тригонометрические соотношения в виде формул; применение отрицательных чисел позволило рассматривать направленные углы и дуги и распространить понятие тригонометрических линий (определенных отрезков в круге) для любых углов. В этот период создалась база для изучения тригонометрических функций как функций числового аргумента, основа аналитической теории тригонометрических (круговых) функций. Аналитический аппарат, позволяющий вычислять значения тригонометрических функций с любой степенью точности, был разработан Ньютоном.[25]

Современный вид тригонометрия получила в трудах великого ученого, члена Российской академии наук Л. Эйлера (1707 – 1783). Эйлер стал рассматривать значения тригонометрических функций как числа – величины тригонометрических линий в круге, радиус которого принят за единицу («тригонометрический круг» или «единичная окружность»). Эйлер дал окончательное решение о знаках тригонометрических функций в разных четвертях, вывел все тригонометрические формулы из нескольких основных, установил несколько неизвестных до него формул, ввел единообразные обозначения. Именно в его трудах впервые встречаются записи Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Он также открыл связь между тригонометрическими и показательной функциями от комплексного аргумента. На основании работ Л. Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.

Аналитическое (не зависящее от геометрии) построение теории тригонометрических функций, начатое Эйлером, получило завершение в трудах великого русского ученого Н. И. Лобачевского.

Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движения механизмов, колебание переменного электрического тока. Как показал Ж. Фурье (1768 – 1830), всякое периодическое движение с любой степенью точности можно представить в виде суммы простейших синусоидальных (гармонических) колебаний. Если в начале развития тригонометрии соотношение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лишь выражало зависимость между площадями квадратов, построенных на сторонах переменного прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1, то в последующем это отношение стало отражать также сложение двух колебательных движений с происходящей при этом интерференцией.

Таким образом, на первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач. Ее содержанием считалось вычисление элементов простейших геометрических фигур, то есть треугольников. Но в современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций. Этот период развития тригонометрии был подготовлен всем ходом развития механики колебательных движений, физики звуковых, световых и электромагнитных волн.

В этот период даны обобщения многим терминам тригонометрии и, в частности, выведены соотношения для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где n – натуральное число, и др. Функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. рассматриваются теперь как суммы степенных рядов:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Почти также изложен и учебник В. Никитина и П. Суворова.
Вполне научное изложение тригонометрии даёт акад. М. Е. Головин в своём учебнике «Плоская и сферическая тригонометрия с алгебраическими доказательствами», 1789. В этой книге можно найти все важнейшие формулы тригонометрии почти в том виде, в каком принято излагать их в XIX в. (за исключением обратных тригонометрических функций). Автор не нашёл нужным загромождать изложение введением секанса и косеканса, так как эти функции в редких случаях применяются на практике.
В 1804 г. выходит учебник Н. Фусса. Книга предназначена для гимназий. «Плоская тригонометрия,— говорит автор,— есть наука, имеющая предметом из трёх данных и числами изображённых частей прямолинейного треугольника определять три прочие его части». Учебник состоит из 4 равных частей. Общие понятия, решение треугольников, приложение тригонометрии к практической геометрии и геодезии и, наконец, теорема сложения. Учебник Н. Фусса отмежёвывается от сферической тригонометрии.

Шаг вперёд делает академик М. В. Остроградский в 1851 г. В своём конспекте по тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях он выступает как сторонник определения тригонометрических функций, на первом этапе их изучения, как отношений сторон в прямоугольном треугольнике с последующим обобщением их определения и распространением его на углы любой величины. [24]

1.2 Содержание и анализ материала по тригонометрии в различных школьных учебниках

Анализ материала, посвящённого решению тригонометрических уравнений и неравенств, в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов под ред. А. Н.Колмогорова и в учебнике «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов авторов Ш. А. Алимова и др. свидетельствует, что различные виды тригонометрических уравнений и неравенств представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения и неравенства каждого вида.

Рассмотрим содержание материала по тригонометрии изложенного в различных учебниках по математике за курс 10 – 11 класс средней школы, с целью его сравнения, анализа и формироваания наиболее приемлемой методики внедрения данной темы в школьном курсе математики.

Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа. 10-11

Учебник разбит на 6 глав. Каждая глава открывается списком вопросов и задач. Затем коротко формулируются результаты, которые необходимо достичь после изучения главы. Материал, касающийся темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» представлен в главе III «Тригонометрические функции» после изучения глав «Функции и графики» и «Производная и её применение».

Четвёртая глава «Показательная и логарифмическая функции» и пятая глава «Интеграл и его применение» не содержат обращений к области тригонометрии вообще, а в шестой главе «Уравнения и неравенства» встречаются и тригонометрические уравнения, и тригонометрические неравенства.

Обращаясь в главе III к теме «Тригонометрические функции» М. И. Башмаков считает нужным повторить такие темы как: измерение углов; соотношения в треугольнике; вращательное движение; техника вычислений. Далее вводятся: определения и простейшие свойства тригонометрических функций; формулы приведения; значения тригонометрических функций.

Причём, здесь же вводится основное тригонометрическое тождество.

Здесь же М. И Башмаков рассматривает вопрос решения простейших тригонометрических уравнений по тригонометрической окружности.

Следующие разделы данной темы «Исследование тригонометрических функций» и «Тождественные преобразования». Лишь после этого в разделе «Решение уравнений и неравенств» вводятся различные виды уравнений и некоторые виды неравенств. И соответственно здесь же говорится о способах и методах их решения.

Схема изучения темы «Решение тригонометрические уравнений и неравенств» определяется следующим образом: функция → уравнения → преобразования.[3]

Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11

Учебник разбит на 8 глав. В конце изучения каждой главы чётко обозначены основные результаты изучения. Курс изучения математики в 10 классе начинается с изучения главы «Тригонометрические функции». Здесь автор вводит понятия тригонометрической окружности на координатной плоскости, понятия синус и косинус, основные тригонометрические соотношения с ними связанные, решения простейших уравнений по тригонометрической окружности. Как таковые формулы приведения вводятся после изучения тригонометрических функций углового аргумента. Далее рассматриваются свойства и графики тригонометрических функций. Во второй главе «Тригонометрические уравнения» подробно рассматривается решение каждого простейшего тригонометрического уравнения, на основе ранее введенных понятий арксинуса, арккосинуса, арктангенса. В этой же главе рассмотрены такие методы решения: разложение на множители и введение новой переменной; метод решения однородных тригонометрических уравнений. Другие методы решения рассматриваются после изучения третьей главы «Преобразование тригонометрических выражений».

Здесь схема изучения выглядит следующим образом: функция → уравнения → преобразования.

С точки зрения применения учебник Мордковича удобен для самостоятельного изучения учащимися, т. к. он содержит сильную теоретическую базу. Изложение теоретического материала ведётся очень подробно. В условиях острой нехватки часов для проведения занятий в классе возрастает значение самостоятельной работы учеников с книгой. Опираясь на учебник, учитель прекрасно разберётся в том, что надо рассказать учащимся на уроке, что заставить их запомнить, а что предложить им просто прочесть дома.

К недостаткам можно отнести не очень большое количество упражнений по этой теме в самом учебнике.[19]

Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа

Учебник содержит 4 главы. Схема изучения материала по теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» радикально отличается от предыдущих, т. к. сначала рассматриваются тригонометрические функции числового аргумента и основные формулы тригонометрии. В этой же первой главе, но несколько позже, рассматриваются основные свойства тригонометрических функций, их графики и их исследование. После этого вводятся понятия арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и «параллельно» с этим решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств. Автор не называет методов решения тригонометрических уравнений, а описывает алгоритм их решения. Тоже касается и решения тригонометрических неравенств.

Таким образом, схема изучения выглядит так: преобразования функции уравнения.

Стоит отметить, что учебник содержит достаточно много дидактических материалов, как простых так и более сложных. Это естественно обеспечивает учителю возможность варьировать задания для учащихся.

С точки зрения изложения теоретического материала нельзя сказать, что учебник идеально подходит для самостоятельного изучения.[14]

Анализ содержания набора задач в теме «Тригонометрические уравнения» приводит к следующим выводам:

1) преобладающими являются простейшие тригонометрические уравнения, решение которых основано на определениях соответствующих функций в понятиях арксинуса, арккосинуса, арктангенса числа;

2) фактически отсутствуют тригонометрические уравнения, способ решения которых основан на свойстве ограниченности синуса и косинуса;

3) если говорить о связях приемов решения тригонометрических уравнений с приемами тождественных преобразований тригонометрических и алгебраических выражений, то следует отметить, что эти приемы в учебном пособии представлены бедно и однообразно. Рассматриваются приемы тождественных преобразований:

а) тригонометрические выражения:

- прием использования основного тригонометрического тождества;

- прием использования формул двойного и половинного аргументы;

- прием преобразования суммы тригонометрических выражений в произведение;

б) алгебраических выражений:

- прием разложения на множители;

- прием преобразования тригонометрического выражения, представляющего собой однородный многочлен относительно синуса и косинуса.

Использование указанных приемов приводит к тригонометрическим уравнениям, которые условно можно разделить на следующие виды:

а) сводящиеся к квадратным относительно тригонометрической функции;

б) сводящиеся к дробно-рациональным относительно тригонометрической функции;

в) сводящиеся к однородным;

г) сводящиеся к виду Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- тригонометрическая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. [16, c/55]

1.3 Роль и место тригонометрических уравнений и неравенств в ШКМ

Тригонометрия традиционно является одной из важнейших составных частей школьного курса математики. И этот курс предполагает задачи, решить которые, как правило, можно, пройдя целенаправленную специальную подготовку.

Анализ школьных учебников по математике в полной степени определяет место тригонометрических уравнений и неравенств в линии изучения уравнений и линии изучения неравенств.

Изучению темы «Решение тригонометрических уравнений» часто предшествует изучение таких тем как «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций». В разделе «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» мы знакомим учащихся с понятиями арксинус, арккосинус, арктангенс.

Опыт преподавания математики показывает, что осознание важности изучаемого материала приходит к ученикам не в процессе его изучения, а в процессе его применения при решении других заданий, т. е. тогда когда он становится средством для решения других задач.

Так, например, решение уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., сводится к простейшему уравнению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причём частному виду простейшего, после элементарного преобразования выражения, стоящего в левой части уравнения по формулам сложения косинуса. Аналогичная ситуация может возникнуть и при решении тригонометрических неравенств. Неравенства вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в принципе становится решаемым только после преобразования выражения стоящего в правой части неравенства. Получим, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а затем с помощью таблицы значений основных тригонометрических функций имеем простое неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., решение которого не должно вызвать затруднений у учащихся.

Мы видим, что именно здесь школьники могут наблюдать пользу от изучения формул тригонометрии. С их помощью нерешаемое на первый взгляд уравнение или неравенство принимает достаточно простой и, главное знакомый вид. Примерно то же самое происходит и при решении тригонометрических неравенств.

При таком подходе изучения тригонометрии, когда уравнения и неравенства изучаются после формул преобразования тригонометрических выражений, место тригонометрических уравнений и неравенств определяется через систематизацию знаний по темам «Преобразование тригонометрических выражений» и «Основные свойства и графики тригонометрических функций».

Если же тригонометрические уравнения и неравенства изучаются до темы «Преобразование тригонометрических выражений», то здесь место их изучения определяется совершенно противоположным образом. Здесь на изучение тригонометрических уравнений отводится больше времени: как только появляется новая формула, она сразу же используется для решения уравнений или неравенств. То есть в данном случае не формула преобразования является средством для решения тригонометрического уравнения или неравенства, а уравнение выступает как средство закрепления тригонометрических формул.

Таким образом, при любом подходе к изучению тригонометрии, роль изучения уравнений и неравенств неизмеримо велика, не зависимо от места их изучения. Ну и как следствие из этого велико и неизмеримо место изучения методов решения и тригонометрических уравнений и тригонометрических неравенств. Т. к. авторы учебников не уделяют должного внимания обозначению методов решения тригонометрических уравнений и неравенств, попробуем классифицировать уравнения и неравенства, и соответственно методы их решения.

1.4 Виды тригонометрических уравнений и методы их решения

Материал, относящийся к тригонометрии, изучается не единым блоком, учащиеся не представляют себе весь спектр применения тригонометрического материала, дробление на отдельные темы приводит к тому, что тригонометрия изучается в течение нескольких лет.

Необходимость классификации уравнений и неравенств вызывается невозможностью найти общий метод их решения. Очевидно, что классифицировать тригонометрические уравнения и неравенства имеет смысл с опорой на методы их решения. Мы будем рассматривать типы уравнений и неравенств в той последовательности, которая представляется нам наиболее приемлемой для обучения школьников, то есть в последовательности, построенной в соответствии с принципом «от простого к сложному».

1.4.1 Уравнения, сводящиеся к простейшим

Практически все тригонометрические уравнения считаются «сводящимися к простейшим», но можно выделить ряд уравнений которые сводятся к простейшим достаточно просто. Рассмотрим сначала виды простейших уравнений.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся уравнения вида: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

На эти уравнения следует обратить особое внимание, так как без умения их решать невозможно решить никакое другое тригонометрическое уравнение. Лучше всего, если учащиеся будут иметь схемы решения каждого из простейших уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Уравнение вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(рис 1, а)

Особые случаи:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Любая из этих формул может быть заменена формулой общего вида, однако они проще и их выгоднее применять при решении уравнений.

Полезно помнить, что приРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Уравнение вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(рис 1, д)

Особые случаи:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Нужно помнить, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Уравнение вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(рис 1, и)

Нужно помнить, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Уравнение вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(рис 1, к)

Нужно помнить, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Уравнения, сводящиеся к простейшим, имеют вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Данные уравнения также являются простейшими и решаются сначала относительно f(x), а затем полученные уравнения решаются относительно х.

Примеры:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.4.2 Уравнения, являющиеся равенством двух одноимённых тригонометрических функций:

а) уравнения вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.равносильно совокупности уравнений:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

б) уравнения вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.равносильно системе уравнений:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в) уравнения вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.равносильно системе уравнений:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Примеры:

1.  Решите уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Решите уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.4.3 Тригонометрические уравнения, содержащие одну и ту же функцию одного и того же аргумента и решаемые методом подстановки

Уравнения данного вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тригонометрическая функция часто называются сводящимися к квадратным и решаются методом подстановки вместо тригонометрической функции данного аргумента некоторого параметра t с учётом допустимых значений t в зависимости от области значения функции.

Пример: Решите уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.тогда уравнение примет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Оба корня уравнения удовлетворяют условию допустимого значения t, следовательно, переходим к обратной замене.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[29]

1.4.4 Однородные уравнения

Предварительно можно показать учащимся вид однородной функции от двух переменных U и V первой степени, например, 3U + 2V; второй степени: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; третьей степени: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и т. д., сформировав понятия выражения, однородного относительно переменных U и V.

Для лучшего усвоения и закрепления идеи необходимо решить с учащимися следующее уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получается однородное уравнение второй степени:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Имеем 2 случая: U = V или V = 0,5 U

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Как правило, на практике очень часто встречается Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Примеры:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cosx. При этом получится равносильное уравнение. Чтобы в этом удостовериться, покажем, что уравнение cosx = 0 не содержит корней данного уравнения.

Действительно, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но это невозможно, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, имеем равносильное уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это однородное уравнение второй степени. Получим равносильное уравнение после деления обеих частей уравнения на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[5, c.9]

1.4.5 Уравнения, решающиеся разложением на множители

При решении уравнений такого типа необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Примеры:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Используя данное правило получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Сгруппируем соответствующие слагаемые, получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.4.6 Уравнения вида

Один из способов решения такого уравнения состоит в том, что левую часть уравнения можно преобразовать по формуле:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Примеры:

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. к. это решение системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Подставляя в формулу, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. к. это решение системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Подставляя в формулу, получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

К сожалению, внимание учащихся нечасто обращается на преобразование выражения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В некоторых пособиях эта формула приведена в таком виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Такая запись приведёт к ошибке, если, например, a и b отрицательны.[10]

Выделенные виды тригонометрических уравнений представлены в пособиях по математике для средней школы. Значит, перед учителем стоит задача – формировать у учащихся умения решать уравнения каждого вида.

1.5 Тригонометрические неравенства и методы их решения

1.5.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Большинство авторов современных учебников по математике предлагают начать рассмотрение данной темы с решения простейших тригонометрических неравенств. Принцип решения простейших тригонометрических неравенств основан на знаниях и умениях определять на тригонометрической окружности значения не только основных тригонометрических углов, но и других значений.

Между тем, решение неравенств вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно осуществлять следующим образом: сначала находим какой-нибудь промежуток (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), на котором выполняется данное неравенство, а затем записываем окончательный ответ, добавив к концам найденного промежутка число кратное периоду синуса или косинуса: (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). При этом значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. находится легко, т. к. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поиск же значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. опирается на интуицию учащихся, их умение заметить равенство дуг или отрезков, воспользовавшись симметрией отдельных частей графика синуса или косинуса. А это довольно большому числу учащихся иногда оказывается не под силу. В целях преодоления отмеченных трудностей в учебниках в последние годы применялся разный подход к решению простейших тригонометрических неравенств, но улучшения в результатах обучения это не давало.

Мы на протяжении ряда лет для нахождения решения тригонометрических неравенств довольно успешно применяем формулы корней соответствующих уравнений.

Изучение данной темы осуществляем таким образом:

1.  Строим графики Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и у = а, считая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Затем записываем уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и его решение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Придавая n 0; 1; 2, находим три корня составленного уравнения: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются абсциссами трёх последовательных точек пересечения графиков Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и у = а. очевидно, что всегда на интервале (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а на интервале (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Добавив к концам этих промежутков число, кратное периоду синуса, в первом случае получим решение неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в виде: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; а во втором случае – решение неравенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в виде: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.  Далее проводим аналогичные рассуждения для косинуса

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Только в отличие от синуса из формулы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., являющейся решением уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при n = 0 получаем два корня Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а третий корень при n = 1 в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. И опять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются тремя последовательными абсциссами точек пересечения графиков Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В интервале (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) выполняется неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в интервале (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Теперь нетрудно записать решения неравенств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В первом случае получим: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

а во втором: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Подведём итог. Чтобы решить неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., надо составить соответствующее уравнение и решить его. Из полученной формулы найти корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и записать ответ неравенства в виде: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При решении неравенств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из формулы корней соответствующего уравнения находим корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и записываем ответ неравенства в виде: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Данный приём позволяет научить решать тригонометрические неравенства всех учащихся, т. к. этот приём полностью опирается на умения, которыми учащиеся владеют прочно. Это умения решать простейшие и находить значение переменной по формуле. Кроме того, становится совершенно необязательным тщательное прорешивание под руководством учителя большого количества упражнений для того, чтобы продемонстрировать всевозможные приёмы рассуждений в зависимости от знака неравенства, значения модуля числа a и его знака. Да и сам процесс решения неравенства становится кратким и, что очень важно, единообразным.

Ещё одним из преимуществ данного способа является то, что он позволяет легко решать неравенства даже в том случае, когда правая часть не является табличным значением синуса или косинуса.

Продемонстрируем это на конкретном примере. Пусть требуется решить неравенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Составим соответствующее уравнение и решим его: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдём значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При n = 1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

При n = 2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригина
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 759

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>