Дипломная работа на тему "Кратные интегралы"

ГлавнаяМатематика → Кратные интегралы




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Кратные интегралы":


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА АГЛЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ

Комплексные числа

(избранные задачи)

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

по специальности 050201.65 математика

(с дополнительной специальностью 050202.65 информатика)

Выполнила: студентка 5 курса

физико-ма тематического

факультета

Научный руководитель:

ВОРОНЕЖ – 2008

Содержание

1.  Введение……………………………………………………...…………..…

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам написать любые работы по нужной вам теме. Качественное выполнение дипломных работ по индивидуальным требованиям в Самаре и в других городах РФ.

2.  Комплексные числа (избранные задачи)

2.1.  Комплексные числа в алгебраической форме….……...……….….

2.2.  Геометрическая интерпретация комплексных чисел…………..…

2.3.  Тригонометрическая форма комплексных чисел

2.4.  Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени……………..………………………………………………………

2.5.  Комплексные числа и параметры………...……………………...….

3.  Заключение…………………………………………………….................

4.  Список литературы………………………….…………………...............

1. Введение

В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т. е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.

Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.

В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.

В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.

Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.

В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.

Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.

При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.

Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.

В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как:

1. Гордиенко Н. А., Беляева Э. С., Фирстов В. Е., Серебрякова И. В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.

2. Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.

2. Комплексные числа (избранные задачи)

2.1. Комплексные числа в алгебраической форме

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений, т. е. уравнений вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где a0 , a1 , …, an действительные числа. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Обозначим этот корень через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, по определению

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Символ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется мнимой единицей. С его помощью и с помощью пары действительных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составляется выражение вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части.

Итак, комплексными числами называются выражения вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – действительные числа, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – некоторый символ, удовлетворяющий условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется действительной частью комплексного числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – его мнимой частью. Для их обозначения используются символы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Комплексные числа вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются действительными числами и, следовательно, множество комплексных чисел содержит в себе множество действительных чисел.

Комплексные числа вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называются чисто мнимыми. Два комплексных числа вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т. е. если выполняются равенства

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебраическая запись комплексных чисел позволяет производить операции над ними по обычным правилам алгебры.

Суммой двух комплексных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется комплексное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Произведением двух комплексных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется комплексное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.  Коммутативный (переместительный) закон сложения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2.  Ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

3.  Коммутативный закон умножения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

4.  Ассоциативный закон умножения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

5.  Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

6. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

7. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

8. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

9. Любому комплексному числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соответствует противоположное комплексное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

10. Всякому комплексному числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. отличному от нуля, соответствует обратное комплексное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Степени мнимой единицы.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если натуральный показатель степени m при делении на 4 дает в остатке r, т. е. если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где n – натуральное число, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Комплексное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется сопряженным комплексному числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Свойства операции сопряжения.

1.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.  Для любого действительного числа a справедливо равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3.  Для любого действительного числа b справедливо равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

4.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

5.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следствие из 5. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

6.  Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

7.  Сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел являются действительными числами.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следствие из 7. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Модулем комплексного числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется действительное число вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

8. Теорема о сопряженном корне.

Если число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является корнем уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

с действительным коэффициентами a0 , a1 , …, an, то число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также является корнем уравнения (1).

Извлечение квадратного корня из комплексного числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где x и y – действительные числа. Возводя обе части этого равенства в квадрат, получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Что равносильно системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Решая эту систему, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, извлечение корня квадратного из комплексного числа осуществляется по формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В скобках перед мнимой единицей берется знак плюс, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и знак минус, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 1. Найдите комплексные корни уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если:

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то это уравнение можно записать в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Учитывая, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., преобразуем это уравнение: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Преобразуем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 2. Найдите x и y, для которых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Получим и решим систему двух уравнений:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 3. Решите уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. относительно действительных переменных x и y.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем уравнение равносильное данному: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 4. При каких действительных значениях x и y комплексные числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут противоположными?

Решение

Комплексные числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут противоположными, если выполняются условия:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 5. При каких действительных значениях x и y комплексные числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут равными?

Решение

Комплексные числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут равными, если выполняются условия:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 6. Решите уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. относительно действительных переменных x и y.

Решение

Левую часть уравнения можно рассматривать, как некоторое неизвестное комплексное число. Приведя его к виду Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем уравнение равносильное данному: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как два комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, приходим к системе:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 7. Решите во множестве комплексных чисел уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда корни находятся по формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Отсюда, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 8. Решите уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Перепишем уравнение в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Полагая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое имеет корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому левую часть этого уравнения можно представить в виде произведения двучлена Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и квадратного трехчлена.

Для нахождения коэффициентов квадратного трехчлена применим схему Горнера:

--------------------------------------------------
1 | 1 | 2 | – 4 |
---------------------------------------------------------
1 | 1 | 2 | 4 | 0 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Итак, получаем уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Квадратный трехчлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, исходное уравнение имеет корни: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 9. Решите уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Корни данного уравнения находятся по формулам

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – числа, удовлетворяющие условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Два комплексных числа равны, следовательно, равны их действительные и мнимые части:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Находим два решения этой системы: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом,

решениями исходного уравнения являются числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 10. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 11. Произведите следующие действия над комплексными числами:

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; г) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

г) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; г) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 12. Запишите комплексное число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 13. Найдите значение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Подставим значение x в функцию:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вычислим второе слагаемое:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вычислим первое слагаемое:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 14. Вычислите Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

С помощью формулы: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Легко получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 15. Выполните указанные действия: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Вычислим значение дроби Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 16. Решите уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

По формуле Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Найдем сумму и произведение этих корней: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Число 4 – это второй коэффициент уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., взятый с противоположным знаком, а число 13 – свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – корни уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 17. Составьте приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющий корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

Второй корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. уравнения является числом, сопряженным с данным корнем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По теореме Виета находим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где число 2 – это второй коэффициент уравнения, взятый с противоположным знаком, а число 5 – свободный член. Таким образом, получаем уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 18. Даны числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Найдите:

а)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Ответ: а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 19. Зная, что корнем уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., найдите все корни данного уравнения.

Решение

Поскольку все коэффициенты данного уравнения – действительные числа, то на основании теоремы о сопряженном корне, делаем вывод, что число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также является корнем данного уравнения.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – неизвестный корень уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Разделим обе части последнего равенства на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 20. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено со своим квадратом.

Решение

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – искомое комплексное число, где x и y – действительные числа. Тогда число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., сопряженное числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., равно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По условию задачи имеем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Преобразовав это уравнение, получим: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Следовательно, последнее уравнение равносильно следующей системе уравнений с действительными переменными x и y:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Возможны два случая:

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда система равносильна системе: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которая

имеет следующие решения: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда система равносильна системе Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которая имеет два решения: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, искомых чисел четыре: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., из них два числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – действительные, а два других Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – комплексно сопряженные.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Задача 21. Известно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Найдите:

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: а) Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 757

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>