Дипломная работа на тему "Композиции преобразований"

ГлавнаяМатематика → Композиции преобразований




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Композиции преобразований":


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Оглавление

Предисловие......................................................................................

Введение.............................................................................................

1. Композиции движений пространства..........................................

1.1.  Основные композиции движений пространства...........

1.2.  Композиции центральных симметрий пространства....

1.3.  Композиция зеркальной и центральной

симметрий пространства................................................ 11

1.4.  Композиции осевых симметрий пространства.............. 12

1.5.  Применение композиций движений

пространства к решению задач...................................... 16

Композиции подобий и аффинных преобразований

пространства.............................................................................. 18

Литература........................................................................................ 22

Предисловие

Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.

Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].

В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.

Введение

Пусть f и g – два преобразования множества X такие, что f(x)=y, g(y)=z для произвольного xÎX, конечно, yÎX и zÎX. Отображение j определим законом j(x)=g(f(x)). Тогда отображение j является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g. В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: j=gf.

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам скачать любые проекты по нужной вам теме. Качественное написание дипломных работ по индивидуальным требованиям в Перми и в других городах РФ.

Композиции преобразований обладают следующими свойствами:

Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f, g, h данного множества имеет место равенство:

h◦(gf)=(hg)◦f.

°. Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.

В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.

1. Композиции движений пространства

1.1.  Основные композиции движений пространства

Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.

Задача 1.Найти композицию поворота Rlj и переноса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. пространства при условии, что вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и ось поворота l не параллельны.

Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:

Rlj = SbSa , где al, bl, Ð(a, b)= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), aÇbÇl=O и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=SvSu , где u║v, uРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Rlj=SvSuSbSa=SvSa . Если вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не ортогонален оси l, то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b, т. е. равен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Композиция SvSa есть винтовое движение с осью m, являющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где P=aÇm, Q=vÇm, ml. Итак,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Rlj =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Rlj , ml.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.l, прямые a и v пересекаются, поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и искомая композиция является поворотом Rmj . Если при этом j =p, то имеем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Rlj = Sm, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.l, ml.

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

|
---------------------------------------------------------

m

|

|
---------------------------------------------------------

l

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

Q

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

|
---------------------------------------------------------

v

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

P

|

a

|
---------------------------------------------------------
O |

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

u

|
---------------------------------------------------------

b

|

|
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рис. 1

Задача 2.Найти композицию двух поворотов пространства RbbRaa.

Решение. Сначала найдём композицию RbbRaa двух поворотов, оси которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий:

Raa=Sh◦Su , Rbb=Sv◦Sh , ua, ub, uÇhÇa=A, vÇhÇb=B,

Ð(u, h)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Ð(h, v)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 2). Тогда

RbbRaa=SvShShSu=SvSu. Оси u и v скрещиваются, если бы они принадлежали одной плоскости, то прямые a и b, перпендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. При таком расположении осей полученная композиция симметрий SvSu есть винтовое движение, осью которого является общий перпендикуляр l прямых u и v, угол w=2Ð(u, v), а вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где P=uÇl, Q=vÇl.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

b

|

|

h

|

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

a

|

B

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.b

|

v

|

u¢

|

|
---------------------------------------------------------

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.a

|
---------------------------------------------------------

A

|

l

|

u

|

|
---------------------------------------------------------

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 2

Угол w винтового движения можно вычислить через углы a и b данных поворотов и угол g=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной B, ребрами которого являются лучи h, u¢, v, справедливо следующее равенство:

cos Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = - cosРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.cosРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - sinРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. sinРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. cosg (доказательство данной формулы можно найти в [4], с. 26).

Рассмотрим случай, когда оси a и b пересекаются (в точке B). Тогда прямые u и v также будут пересекаться в точке B, и u¢ совпадет с прямой u. Искомая композиция RbbRaa есть поворот Rlw, причем угол этого поворота подсчитывается по указанной выше формуле. При ab и a+b¹2p прямые u и v пересекаются в точке O. И рассматриваемая композиция RbbRaa есть поворот Rla+b, ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b.

При a║b и a+b=2p будет u║v. В этом случае композиция поворотов является переносом.

Задача 3. Найти композицию трех зеркальных симметрий.

Решение. Выделим случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является зеркальной симметрией, SgSbSa=Sw . Это равенство эквивалентно равенству SbSa=SgSw . Если плоскости a и b имеют общую прямую l, то SbSa=Rlj и поэтому SgSw=Rlj. Следовательно, все четыре плоскости имеют общую прямую l. Если же плоскости a и b параллельны, то SbSa=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и SgSw=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, все четыре плоскости параллельны.

Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.

Пусть плоскости a, b, g имеют единственную общую точку O. В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f=SgSbSa есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: g=a, a=b, b=c (рис. 3).

Пусть f(c)=c1, тогда прямые c и c1 симметричны относительно плоскости g, и Sa(a)=a0, тогда f(a0)=a. Поскольку плоскость w поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямых a и c соответственно на плоскости a и g. Итак, w есть плоскость, проходящая через прямые m и n. Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости w в точке O, угол поворота j равен углу между ортогональными проекциями a0 и a (или c и c1) на плоскость w.

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

O

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

|
---------------------------------------------------------

c

|

|

a

|
---------------------------------------------------------

c1

|

|
---------------------------------------------------------

a0

|

m

|
---------------------------------------------------------

w

|

b

|

|

n

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 3

Если плоскости a, b, g попарно перпендикулярны, то искомая композиция является центральной симметрией Zo.

Рассмотрим случай, когда плоскости a, b, g исходных симметрий попарно пересекаются по параллельным прямым, т. е. abc. Тогда в каждой плоскости, перпендикулярной этим прямым, композиция f=SgSbSa индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения этой плоскости с плоскостями a, b, g. А она является переносной симметрией рассматриваемой плоскости с определенными осью l и вектором Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому, учитывая род композиции, композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и плоскостью, проходящей через прямую l параллельно прямым a, b, c.

1.2.  Композиции центральных симметрий пространства

Задача 4. Найти композицию: а) двух центральных симметрий пространства, б) центральной симметрии и переноса, в) трёх центральных симметрий пространства.

Решение. а) Найдём композицию центральных симметрий пространства с центрами A и B. Для этого найдём образ произвольной точки M после применения композиции ZB◦ZA:

(ZB◦ZA)(M)=P (рис. 4).

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

M

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

A

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

P

|
---------------------------------------------------------

B

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

N

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 4

Для треугольника MNP имеет место равенство: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Точки A и B заданы, следовательно, вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - постоянный, и искомая композиция двух центральных симметрий ZB◦ZA есть параллельный перенос на вектор 2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

ZBZA=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

б) Найдем композицию центральной симметрии ZO и переноса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в пространстве. Представим перенос Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как композицию двух центральных симметрий: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=ZBZO, где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ZO=(ZBZO)◦ZO . Это равенство эквивалентно равенству:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ZO=ZB . (2)

Таким образом, композиция центральной симметрии ZO и переноса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть центральная симметрия ZO , центр которой определяется условием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

в) Найдем композицию трех центральных симметрий пространства f=ZCZBZA . Композицию ZCZB представим в виде переноса в соответствии с выводом (1): ZCZB=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда искомая композиция будет иметь следующий вид: f=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ZA. Воспользовавшись выводом (2), заметим, что правая часть равенства есть центральная симметрия ZO , центр О которой определяется условием Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, композиция трех центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:

1)  композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;

2)  композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.

Задача 5.Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD.

Решение. Требуется найти композицию f=ZDZCZBZA (рис. 5).

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

C

|

B

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

D

|

A

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 5

Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:

f=(ZD◦ZC)◦(ZB◦ZA)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Векторы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E.

Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.

Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.

Решение. Требуется найти композицию f=ZEZCZBZA (рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCD точку D такую, что четырехугольник BCED является параллелограммом.

--------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

|
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

|

A

|

|

|

|

|

|

B

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

C

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

D

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
---------------------------------------------------------

E

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 6

Тогда равенству f=ZEZCZBZA эквивалентно равенство f=ZDZDZEZCZBZA. Композиция ZDZEZCZB есть тождественное преобразование, т. к. BCED – параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f=ZDZA , а это перенос пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (согласно выводу (1) ).

1.3.  Композиции зеркальной и центральной симметрий

Задача 7. Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.

Решение. Пусть даны плоскость a и точка О, не принадлежащая ей. Найдем композицию ZOSa. Центральная симметрия ZO как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: ZO=SlSb , где l и b - перпендикулярные прямая и плоскость, причем b=O. Выберем плоскость b таким образом, что ab , тогда l будет являться перпендикуляром и к плоскости a (рис. 7).Тогда ZOSa=SlSbSa . В силу того, что плоскости a и b параллельны, их композиция есть параллельный перенос Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.l . А это по определению есть винтовое движение с осью l, углом 180°, вектором Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

O

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

L

|

A

|

h

|

|
---------------------------------------------------------
b |
---------------------------------------------------------

|

|
---------------------------------------------------------

l

|

|
---------------------------------------------------------

A

|
---------------------------------------------------------
a |
---------------------------------------------------------

l

|

a

|

O

|
---------------------------------------------------------
|

|
---------------------------------------------------------

a

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 7 Рис. 8

Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: ZO◦Sa= Sl◦Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Задача 8. Найти композицию ZOSaSl , если прямая l параллельна плоскости a и точка О лежит в a.

Решение. На основании (3) композиция ZOSa в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что ОÎa, вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию Sa , где aa и OÎa (рис. 8). Тогда ZOSaSl=SaSl, причем al.

Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением RhjРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., угол j которого равен 2Ð(a, l)=p, ось h – общий перпендикуляр прямых a и l, вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где L=lÇh, A=aÇh (см. [3], с. 19).

Если прямые a и l пересекаются, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и композиция SaSl является осевой симметрией Sh , где h – это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l.

1.4.  Композиции осевых симметрий пространства

Задача 9. Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: ScSbSa=Sl. Какое взаимное положение могут иметь прямые a, b, c? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.

Решение. Равенству ScSbSa=Sl эквивалентно равенство

Sc◦Sb=Sl◦Sa . (*)

Если прямые b и c параллельны, то ScSb=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда и правая часть равенства (*) является переносом: SlSa=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А значит прямые a и l также будут параллельными.

Таким образом, получили, что, если прямые b, c параллельны, то все оси a, b, c и l попарно параллельны (рис. 9а).

--------------------------------------------------

h

|

l

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

|

|
---------------------------------------------------------

A

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

|

a

|
---------------------------------------------------------

c

|

b

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

|
---------------------------------------------------------

|

l

|

|

O

|
---------------------------------------------------------

|

|

c

|
---------------------------------------------------------

|

|
---------------------------------------------------------

a

|

|

|
---------------------------------------------------------

b

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 9а Рис. 9б

Если прямые b и c пересекаются в точке O, то композиция ScSb является поворотом Rhj (см. [3], c. 15), где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси h, угол j=2Ð(b, c) (рис. 9б). Тогда и композиция SlSa является этим же поворотом Rhj, значит h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l, точка пересечения A которых принадлежит оси h, и ориентированный угол между a и l равен углу поворота j.

Таким образом, если оси b и c пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b и c, пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b и c. Ось l удовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых a и h принадлежит l, l параллельна плоскости (b, c), ориентированные углы Ð(a,l)=Ð(b,c). Если точка A принадлежит прямой a, то точки A и O совпадают, т. е. ось l также походит через точку A.

Если прямые b и c скрещиваются, то композиция ScSb является винтовым движением Rh2j◦Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c, вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коллинеарен оси h, угол j равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства (*) композиция SlSa является этим же самым винтовым движением: SlSa=Rh2j◦Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть h – общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a и l, и угол Ð(a, l)=j .

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- |

h

|

l

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

a

|
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------

c

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

|
---------------------------------------------------------

b

|
---------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рис. 9в

Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a, b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h. Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b, c и a, l равны, и углы между этими осями также равны.

Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.

Задача 10. Композиция трех осевых симметрий есть перенос: ScSbSa=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Каково взаимное положение их осей?

Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция ScSb является переносом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Sa=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., полученное равенство эквивалентно равенству Sa=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Sa=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция ScSbSa при параллельных b и c не может быть переносом.

Если прямые c пересекаются в точке O, то композиция ScSb является поворотом Rhj, где h – перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c, при этом точка O принадлежит оси поворота h<

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Композиции преобразований". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 759

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>