Дипломная работа на тему "Кольцо целых чисел Гаусса"

ГлавнаяМатематика → Кольцо целых чисел Гаусса




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Кольцо целых чисел Гаусса":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики
преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.

Выполнил:

студент V курса

математического факультета

Гнусов В. В.

__________ _________________

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Семенов А. Н..

__________ _________________

Рецензент:

кандидат физ.-мат. наук, доцент

кафедры алгебры и геометрии

Ковязина Е. М.

__________ _________________

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных проектов предлагает вам скачать любые работы по необходимой вам теме. Профессиональное написание дипломных работ на заказ в Казани и в других городах России.

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой ________________ Вечтомов Е. М.

« » ________________

Декан факультета ___________________ Варанкина В. И.

« » ________________

Киров 2005

Содержание.

Введение. 2

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 3

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. 4

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. 5

1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. 6

1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ. 9

ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА. 12

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 17

Заключение. 23

Введение.

Кольцо целых комплексных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. было открыто Карлом Гауссом и названо в его честь гауссовым.

К. Гаусс пришел к мысли о возможности и необходимости расширения понятия целого числа в связи с поиском алгоритмов решения сравнений второй степени. Он перенес понятие целого числа на числа вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — произвольные целые числа, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — является корнем уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. На данном множестве К. Гаусс впервые построил теорию делимости, аналогичную теории делимости целых чисел. Он обосновал справедливость основных свойств делимости; показал, что в кольце комплексных чисел существует только четыре обратимых элемента: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; доказал справедливость теоремы о делении с остатком, теоремы о единственности разложения на простые множители; показал какие простые натуральные числа останутся простыми и в кольце Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; выяснил природу простых целых комплексных чисел.

Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования», явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.

В выпускной работе были поставлены следующие цели:

1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.

2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.

3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.

ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.

Рассмотрим множество комплексных чисел. По аналогии с множеством действительных чисел в нем можно выделить некоторое подмножество целых чисел. Множество чисел вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где назовем целыми комплексными числами или гауссовыми числами. Нетрудно проверить, что для этого множества выполняются аксиомы кольца. Таким образом, это множество комплексных чисел является кольцом и называется кольцом целых чисел Гаусса. Обозначим его как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как оно является расширением кольца Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. элементом: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Поскольку кольцо гауссовых чисел является подмножеством комплексных чисел, то для него справедливы некоторые определения и свойства комплексных чисел. Так, например, каждому гауссовому числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. соответствует вектор с началом в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и с концом в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, модуль гауссова числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что в рассматриваемом множестве, подмодульное выражение всегда есть число неотрицательное целое. Поэтому в некоторых случаях удобнее пользоваться нормой, то есть квадратом модуля. Таким образом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Можно выделить следующие свойства нормы. Для любых гауссовых чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливо:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

Здесь и далее Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — множество натуральных чисел, то есть целых положительных чисел.

Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.

Кольцо гауссовых чисел — это коммутативное кольцо без делителей 0, так как оно является подкольцом поля комплексных чисел. Отсюда следует мультипликативная сократимость кольца Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.

Посмотрим, какие гауссовы числа будут обратимыми. Нейтральным по умножению является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если гауссово число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обратимо, то, по определению, существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Переходя к нормам, согласно свойству 3, получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но эти нормы натуральны, следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит, по свойству 4, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обратно, все элементы данного множества обратимы, поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, обратимыми будут числа с нормой равной единице, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Как видно не все гауссовы числа будут обратимы. Поэтому интересно рассмотреть вопрос делимости. Как обычно, мы говорим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если существует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Для любых гауссовых чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а также обратимых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. справедливы свойства.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (8)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (9)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (10)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (11)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (12)

Легко проверяются (8), (9), (11), (12). Справедливость (7) следует из (2), а (10) следует из (6). В силу свойства (9), элементы множества Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ведут себя по отношению к делимости точно так же как и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и называются союзными с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому естественно рассматривать делимость гауссовых чисел с точностью до союзности. Геометрически на комплексной плоскости союзные числа будут отличаться друг от друга поворотом на угол кратный Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.

Пусть надо поделить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но невозможно произвести деление нацело. Мы должны получить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должно быть «мало». Тогда покажем, чтó брать в качестве неполного частного при делении с остатком во множестве гауссовых чисел.

Лемма 1. О делении с остатком.

В кольце Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. возможно деление с остатком, при котором остаток меньше делителя по норме. Точнее, для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. найдется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В качестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно взять ближайшее к комплексному числу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. гауссово число.

Доказательство.

Разделим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. во множестве комплексных чисел. Это возможно, так как множество комплексных чисел является полем. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Округлим действительные числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до целых, получим соответственно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Умножая сейчас обе части неравенства на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получим, в силу мультипликативности нормы комплексных чисел, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, в качестве неполного частного можно взять гауссово число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое как нетрудно видеть, является ближайшим к Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.

Мы пользуемся обычным для колец определением наибольшего общего делителя. НОД’ом двух гауссовых чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется такой их общий делитель, который делится на любой другой их общий делитель.

Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. данные гауссовы числа, причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Разделим с остатком Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если остаток будет отличен от 0, то разделим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на этот остаток, и будем продолжать последовательное деление остатков до тех пор, пока оно будет возможно. Получим цепочку равенств:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

……………………….

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.

Теорема 2. О существовании НОД.

В алгоритме Евклида, примененному к числам Гаусса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. последний ненулевой остаток есть НОД(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.).

Доказательство.

Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.

1.Рассмотрим равенства снизу вверх.

Из последнего равенства видно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как сумма чисел делящихся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то следующая строчка даст Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. И так далее. Таким образом, видно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. это общий делитель чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что это наибольший общий делитель, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на любой другой их общий делитель.

2. Рассмотрим равенства сверху вниз.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — произвольный общий делитель чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как разность чисел делящихся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., действительно из первого равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Из второго равенства получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, представляя в каждом равенстве остаток как разность чисел делящихся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., мы из предпоследнего равенства получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Лемма 3. О представлении НОД.

Если НОД(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то существуют такие целые гауссовы числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Рассмотрим снизу вверх цепочку равенств, полученную в алгоритме Евклида. Последовательно подставляя вместо остатков их выражения через предыдущие остатки, мы выразим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

Гауссово число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых сомножителей. Следующее утверждение очевидно.

Утверждение 4.

При умножении простого гауссова числа на обратимое снова получается простое гауссово число.

Утверждение 5.

Если у гауссова числа взять необратимый делитель с наименьшей нормой, то он будет простым гауссовым.

Доказательство.

Пусть такой делитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является составным числом. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. необратимые гауссовы числа. Перейдем к нормам, и согласно (3) получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как эти нормы натуральны, то имеем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а в силу (12), Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является необратимым делителем данного числа Гаусса, что противоречит выбору Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

Утверждение 6.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не делится на простое гауссово число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то НОД(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=1.

Доказательство.

Действительно, простое число делится только на числа союзные с 1 или с . А так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не делится на , то на союзные с тоже не делится. Значит, их общими делителями будут только обратимые числа.

Ч. Т.Д.

Лемма 7. Лемма Евклида.

Если произведение гауссовых чисел делится на простое гауссово число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то хотя бы один из множителей делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда произведение содержит только два множителя. То есть покажем, что если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на , то либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на , либо делится на .

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не делится на , тогда НОД(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., )=1. Следовательно, существуют такие гауссовы числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Умножим обе части равенства на , получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., отсюда следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как сумма чисел делящихся на .

Ч. Т.Д.

1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.

Любое ненулевое гауссово число можно представить в виде произведения простых гауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзности и порядка сомножителей.

Замечание 1.

Обратимое число имеет в своем разложении нуль простых множителей, то есть представляется самим собой.

Замечание 2.

Более точно единственность формулируется следующим образом. Если имеются два разложения на простые гауссовы множители, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и можно так перенумеровать числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.будет союзно с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. от 1 до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. включительно.

Доказательство.

Доказательство проведем индукцией по норме.

База. Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.

Пусть сейчас Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — ненулевое необратимое гауссово число, и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. утверждение доказано.

Покажем возможность разложения на простые множители. Для этого обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. необратимый делитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеющий наименьшую норму. Этот делитель должен быть простым числом по утверждению 5. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, мы имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и по индуктивному предположению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представимо в виде произведения простых чисел. Значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. раскладывается в произведение этих простых и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем единственность разложения на простые множители. Для этого возьмем два произвольных таких разложения:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По лемме Евклида в произведении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. один из множителей должен делиться на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Можно считать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., иначе перенумеруем. Так как они простые, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. обратимо. Сокращая обе части нашего равенства на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим разложение на простые множители числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., по норме меньшего, чем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По индуктивному предположению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и можно перенумеровать числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. так, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет союзно с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и при этой нумерации Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. союзно с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при всех Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. от 1 до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. включительно. Значит, разложение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на простые множители единственно.

Ч. Т.Д.

Пример однопорожденного кольца над Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. без ОТА.

Рассмотрим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Элементами этого кольца являются числа вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольные целые числа. Покажем, что в нем не выполняется основная теорема арифметики. Определим в этом кольце норму числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следующим образом: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это действительно является нормой, так как нетрудно проверить, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Заметим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что в рассматриваемом кольце числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются простыми. Действительно, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — одно из них и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда имеем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Так как в этом кольце нет чисел с нормой 2, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обратимыми элементами будут числа с единичной нормой и только они. Значит, в произвольном разложении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на множители найдется обратимый множитель, следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. просто.

ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА.

Чтобы понять какие гауссовы числа являются простыми, рассмотрим ряд утверждений.

Теорема 8.

Каждое простое гауссово является делителем ровно одного простого натурального.

Доказательство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — простое гауссово, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. По основной теореме арифметики натуральных чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. раскладывается в произведение простых натуральных. А по лемме Евклида хотя бы один из них делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем сейчас, что простое Гауссово не может делить два различных простых натуральных. Действительно, пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. различные простые натуральные, делящиеся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поскольку НОД(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)=1, то по теореме о представлении НОД в целых числах существуют Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — целые числа такие, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что противоречит простоте Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

Таким образом, раскладывая каждое простое натуральное на простые гауссовы, мы переберем все простые гауссовы, причем без повторений.

Следующая теорема показывает, что каждого простого натурального «получается» не более двух простых гауссовых.

Теорема 9.

Если простое натуральное разложено в произведение трех простых гауссовых, то хотя бы один из множителей обратим.

Доказательство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — простое натуральное такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Перейдя к нормам, получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из этого равенства в натуральных числах следует, что хотя бы одна из норм равна 1. Следовательно, хотя бы одно из чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — обратимо.

Ч. Т.Д.

Лемма 10.

Если гауссово число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на простое натуральное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

Лемма 11.

Для простого натурального числа вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует натуральное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Доказательство.

Теорема Вильсона гласит, что целое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является простым тогда и только тогда, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Раскроем и преобразуем факториал:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, мы получили, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ч. Т.Д.

Сейчас мы готовы описать все простые гауссовы числа.

Теорема 12.

Все простые гауссовы можно разбить на три группы:

1). Простые натуральные вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются простыми гауссовыми;

2). Двойка союзна с квадратом простого гауссова числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

3). Простые натуральные вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. раскладываются в произведение двух простых сопряженных гауссовых.

Доказательство.

1). Предположим, что простое натуральное Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не является простым гауссовым. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Перейдем к нормам: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Учитывая указанные неравенства, получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — сумма квадратов двух целых чисел. Но сумма квадратов целых чисел не может давать остаток 3 при делении на 4.

2). Заметим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — простое гауссово, так как иначе двойка разложилась бы на три необратимых множителя, что противоречит теореме 9.

3). Пусть простое натуральное вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда по лемме 11 существует целое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — простое гауссово. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то по лемме Евклида на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится хотя бы один из множителей. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда существует гауссово число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такое, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Приравнивая коэффициенты мнимых частей получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что противоречит нашему предположению о простоте Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. — составное гауссово, представимое в виде произведения двух простых сопряженных гауссовых.

Ч. Т.Д.

Утверждение.

Гауссово число, сопряженное к простому, само является простым.

Доказательство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. простое число гаусса. Если предположить, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составное, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда рассмотрим сопряженное:Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть представили Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в виде произведения двух необратимых сомножителей, чего не может быть.

Ч. Т.Д.

Утверждение.

Гауссово число, норма которого есть простое натуральное число, является простым гауссовым числом.

Доказательство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составное число, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Рассмотрим нормы.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

То есть получили, что норма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. составное число, а по условию есть простое число. Следовательно, наше предположение не верно, и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть простое число.

Ч. Т.Д.

Утверждение.

Если простое натуральное число не является простым гауссовым, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.

Доказательство.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. простое на

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Кольцо целых чисел Гаусса". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 790

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

Смотреть работу >>