Дипломная работа на тему "Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка"

ГлавнаяМатематика → Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка":


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

Дипломная работа

Исполнитель:

студентка группы М-51 БРАВАЯ Е. Н.

Научный руководитель:

доц ент, к. ф-м. н. ФИЛИПЦОВ В. Ф.

Рецензент:

профессор, д. ф-м. н. СТАРОВОЙТОВ Э. И.

Гомель 2003


Реферат

Дипломная работа 38 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, парабола, гипербола, окружность, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло, фокус.

Данная работа содержит результаты исследований автора, относящиеся к качественному исследованию в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Работа состоит из двух глав.

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых оригинальных дипломных проектов предлагает вам скачать любые проекты по желаемой вами теме. Правильное написание дипломных проектов по индивидуальному заказу в Санкт-Петербурге и в других городах РФ.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.

Содержание

Реферат

Введение

1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

2. Качественное исследование построенных классов систем

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.52) - (1.53)

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В


Введение

Известно, что в элементарных функциях и даже в квадратурах интегрируются очень немногие классы дифференциальных уравнений. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3, с. 191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4, с.175-179].

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (0.1)

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P (x, y) и Q (x, y) - аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (0.2)

Имеется много работ, в которых динамические системы изучались в предположении, что их частными интегралами являются алгебраические кривые. Толчком к большинству из них послужила работа Н. П. Еругина [6, с.659 - 670], в которой он дал способ построения систем дифференциальных уравнений, имеющих в качестве своего частного интеграла кривую заданного вида.

Знание одного частного алгебраического интеграла системы (0.1) во многих случаях помогает построить полную качественную картину поведения интегральных кривых в целом. Отметим ряд работ этого характера для систем (0.1), в которых P (x, y) и Q (x, y) - полиномы второй степени.

Н. Н. Баутиным [1, с.181 - 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с.160 - 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с.732 - 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с.1752 - 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с.469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

В данной работе рассматривается система

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (0.3)

и проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что частным интегралом является кривая четвертого порядка, которая распадается на две кривые второго порядка, одна из которых парабола, вторая окружность или гипербола.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичных двумерных стационарных систем с заданными интегралами, при этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование в целом выделенных в первой главе классов систем при фиксированных значениях некоторых параметров.


1. Построение квадратичных двумерных стационарных систем 1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде параболы

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.1)

Пусть система (1.1) имеет частный интеграл вида:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.2)

где Fk (x, y) - однородные полиномы от x и y степени k.

В качестве частного интеграла (1.2) возьмем параболу вида:

F (x, y) º y+a1 x2 +a2 x+a3 = 0 (1.3)

Будем предполагать, что a3 ¹ 0, то есть парабола не проходит через начало координат.

Согласно [10, с.1752-1760] для интеграла (1.3) системы (1.1) имеет место соотношение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.4)

где L (x, y) = px+my+n, p, m, n - постоянные.

Тогда следуя формуле (1.4) получим равенство:

(2a1x+a2) (ax+by+a1x2+2b1xy+c1y2) + (cx+dy+a2x2+2b2xy+c2y2) = = (y+a1x2+a2x+a3) (px+my+n).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях xm yn слева и справа, получим равенства:

(2a1-p) a1= 0 (1.51)

(4b1-m) a1= 0 (1.52)

2a1c1= 0 (1.53)

(2a-n) a1+ (a1-p) a2+a2= 0 (1.61)

2a1b+ (2b1-m) a2+2b2+p= 0 (1.62)

a2c1+c2-m= 0 (1.63)

(a-n) a2-pa3n+c= 0 (1.71)

a2b-a3m+d-n= 0 (1.72)

a3n= 0 (1.73)

Пусть a1¹ 0, тогда из равенств (1.51), (1.52), (1.53), (1.63) и (1.73) получаем, что

P=2a1, m=4b1, c1=0, c2=4b1, n=0 (1.8)

Из соотношений (1.61), (1.62) и (1.71) найдем выражения коэффициентов кривой (1.3) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

a1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.9)

a2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.10)

a3Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.11)

Равенство (1.72) с учетом полученных выражений (1.9) - (1.11), даст условие, связывающее коэффициенты a, b, c, d, a1, a2, b1, b2:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.12)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.3), коэффициенты которого выражаются формулами (1.9) - (1.11), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.12) и c1= 0, c2= 4b1, a1¹0, 2b1a-a1b¹0.

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде окружности либо гиперболы

Пусть теперь система (1.1) наряду с интегралом (1.3) имеет интеграл в виде:

y2+sx2+bx+gy+d=0 (1.13)

Будем рассматривать теперь систему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.14)

Согласно формуле (1.4), где L

(x, y) = m1x+n1y+p1,

m1, n1, p1 - постоянные для системы (1.1), имеем:

(2a1-m1) s2= 0 (1.151)

(4b1-n1) s+2a1= 0 (1.152)

m1= 4b2 (1.153)

n1=8b1 (1.154)

(2a-p1) s+ (a1-m1) b+a2g=0 (1.161)

2bs+ (2b1-n1) b+ (2b2-m1) g+2c= 0 (1.162)

(4b1-n1) g+2d-p1= 0 (1.163)

(a-p1) b+cg+m1d= 0 (1.171)

bb+ (d-p1) g-n1d= 0 (1.172)

p1d= 0 (1.173)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть d¹0.

Пусть s¹0, тогда из равенств (1.151), (1.153), (1.154) и (1.173) получаем, что

m1=4b2, n1=8b1, a1=2b2, p1=0 (1.18)

А из соотношений (1.161), (1.163) и (1.171) найдем выражения коэффициентов кривой (1.13) через коэффициенты системы (1.1) в следующем виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.19)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.20)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.21)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.22)

Подставляя коэффициенты s, b, g и d в равенства (1.162) и (1.172), получим два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a2, b1, b2:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.23)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.24)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.14) имеет частный интеграл (1.13), коэффициенты которого выражаются формулами (1.19) - (1.22), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.23), (1.24) и b1¹0, b2¹0, a1=2b2.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.3), (1.13)

В разделах 1.1-1.2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых второго порядка при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.25)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Причем b1¹0, b2¹0, a1¹0, b1a-b2b¹0.

Выражая c из первого уравнения системы (1.25), получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.26)

Подставим (1.26) во второе и третье уравнения системы (1.25). Получим два соотношения, связывающие параметры a, b, d, a2, b1, b2:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.27)

Из первого уравнения системы (1.27) получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Подставляя Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.во второе уравнение системы (1.27), найдем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из соотношений (1.25) при условиях (1.27) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.28)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.29)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.30)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.31)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.28) - (1.31), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.32)

a2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.33)

a3Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.34)

sРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.35)

bРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.36)

gРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.37)

dРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.38)

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.32) - (1.38), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.28) - (1.31).

Пусть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.39)

Из первого уравнения системы (1.39) найдем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Подставляя Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. во второе уравнение системы (1.39), получим равенство:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.40)

Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то рассмотрим два случая:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.40) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.41)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.42)

Равенства (1.9) - (1.11), (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.41) - (1.42), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.43)

a2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.44)

a3Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.45)

sРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.46)

b=0 (1.47)

gРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.48)

dРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.49)

Теорема 1.4 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.43) - (1.49), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.41) - (1.42).

б) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.50)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.51)

Из (1.50) найдем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из соотношений (1.25) при условиях (1.39) и (1.50) - (1.51) получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются следующими формулами:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - любое число, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.52)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.53)

Равенства (1.9) - (1.11) и (1.19) - (1.22) при условии, что имеют место формулы (1.52) - (1.53), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.3) и (1.13):

a1=0 (1.54)

a2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.55)

aРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.56)

sРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.57)

bРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.58)

gРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.59)

dРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.60)

Теорема 1.5 Система (1.1) имеет частные интегралы вида (1.3) и (1.13) с коэффициентами, определенными формулами (1.54) - (1.60), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.52) - (1.53).


2. Качественное исследование построенных классов систем 2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.28) - (1.31)

Будем проводить наше исследование в предположении, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.28) - (1.31), тогда система (1.1) запишется в виде:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.1)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.2)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы нулю и исключив переменную y, получим следующее уравнение для определения абсцисс состояний равновесия:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ординаты точек покоя имеют вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, имеем точки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Исследуем точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Составим характеристическое уравнение в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Характеристическими числами для точкиРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (2.1) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные, различных знаков не зависимо от параметра d. Следовательно, точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - седло.

Исследуем точку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Составим характеристическое уравнение в точке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Согласно

равенствам (2.5) характеристическое уравнение примет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Характеристическими числами для точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (2.1) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. -

неустойчивый узел, если d>0, то точка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. -

устойчивый узел.

Исследуем точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Применяя равенства (2.5), составим характеристическое уравнение в точке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Характеристическими числами для точки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

системы (2.1) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - устойчивый узел, если d>0, то точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - неустойчивый узел.

Исследуем точку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Составим характеристическое уравнение в точке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Применяя равенства (2.5), получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Характеристическими числами для точки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

системы (2.1) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. -

седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости в конце оси oy. Преобразование

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [7]

переводит систему (2.1) в систему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.6)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для исследования состояний равновесий на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Составим характеристическое уравнение в точкеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получим, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и одного знака. Следовательно, точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - устойчивый узел.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости вне концов оси oy преобразованием [7] Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.7)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, состояний равновесия вне концов оси oy нету.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

--------------------------------------------------
d |

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

| ∞ |
---------------------------------------------------------
x=0 |
---------------------------------------------------------
(-∞; 0) | седло | неуст. узел | уст. узел | седло | уст. узел |
---------------------------------------------------------
(0; +∞) | седло | уст. узел | неуст. узел | седло | уст. узел |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Положение кривых (2.2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.1 (а, б).

Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.4 (а, б) приложения А: Поведение траекторий системы (2.1).

Исследуя вид кривых (2), (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьев А. П. [5] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (1.3) и (1.13), являющиеся интегралами системы (2.1), характер состояния, заключаем, что для системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

а (d<0)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

б (d>0)

Рис. 1

2.2 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.41) - (1.42)

Будем проводить наше исследование в предположении, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются формулами (1.41) - (1.42). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.8)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.9)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.10)

Частный интеграл (1.13) в этом случае преобразовывается в две прямые (2.10)

1. Найдем состояния равновесия системы (2.8). Для этого приравняем правые части системы нулю

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим два случая:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Из первого уравнения найдем y:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и подставляя y во второе уравнение получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Решая это уравнение, находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Итак, получаем точки

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и прямую x=0, которая является траекторией системы (2.8).

2. Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Исследуем точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Составим характеристическое уравнение в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.11)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Характеристическими числами для точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (2.8) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и различных знаков не зависимо от параметра d, значит точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - седло.

Исследуем точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Характеристическими числами для точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (2.8) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - неустойчивый узел, а если d>0, то точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - устойчивый узел.

3. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Составим характеристическое уравнение согласно (2.11)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Характеристическими числами для точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (2.8) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, то точкаРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - устойчивый узел, если d>0, то точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - неустойчивый узел.

4. Исследуем поведение траекторий в окрестности точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Согласно (2.11) составим характеристическое уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Характеристическими числами для точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы (2.8) будут

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и разных знаков не зависимо от параметра d, следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - седло.

Исследуем бесконечно - удаленную часть плоскости системы (2.8) вне концов оси oy. Преобразование [7] Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. переводит систему (2.8) в систему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.12)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Изучим бесконечно - удаленные точки на оси U, то есть при z=0. Получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Следовательно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, получаем две точки N1 (0,-1) и N2 (0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

Составим характеристическое уравнение в точке N1 (0,-1).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.13)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-действительные и различные по знаку, следовательно точка N1 (0,-1) - седло.

Исследуем точку N2 (0,1).

Согласно (2.13) составим характеристическое уравнение:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-действительные и одного знака, значит точка N2 (0,1) - устойчивый узел.

Исследуем концы оси y с помощью преобразования [7] Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это преобразование переводит систему (2.8) в систему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.14)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для исследования состояний равновесия на концах оси y, нам необходимо исследовать только точку N3 (0,0). Составим характеристическое уравнение в точке N3 (0,0):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - действительные и одного знака, значит точка N3 (0,0) - неустойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 2.

Таблица 2.

--------------------------------------------------
d |

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

| ∞ |
---------------------------------------------------------

N1

|

N2

|

N3

|
---------------------------------------------------------
(-∞; 0) | седло | неуст. узел | уст. узел | седло | седло | уст. узел | неуст. узел |
---------------------------------------------------------
(0; +∞) | седло | уст. узел | неуст. узел | седло | седло | уст. узел | неуст. узел |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Положение кривых (2.9), (2.10) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 дается соответственно рис.2 (а, б).

Поведение траекторий системы в целом при d<0 и d>0 дается рис.5 (а, б) приложения Б: Поведение траекторий системы (2.8).

Вопрос о существовании предельных циклов не возникает, так как Воробьев А. П. [5] доказал, для квадратичной системы предельный цикл не может окружать узел.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

а (d<0) б (d>0)

Рис. 2


2.3 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.52) - (1.53)

Будем проводить наше исследование в предположении, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 569

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>