Дипломная работа на тему "Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах"

ГлавнаяМатематика → Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Инверсия плоскости

в комплексно сопряженных координатах

Выполнила: студентка V курса

математического факультета

Дмитриенко Надежда Александровна

Научный р уководитель:

старший преподаватель кафедры

алгебры и геометрии

Александр Николаевич Суворов

Рецензент:

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам приобрести любые проекты по необходимой вам теме. Качественное выполнение дипломных проектов под заказ в Новосибирске и в других городах РФ.

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___»__________2005 г. Зав. кафедрой В. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава 1. Основные положения теории инверсии........................................... 4

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости......................................... 4

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности........ 5

1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах......... 11

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии.................................... 11

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии............ 12

1.6. Свойства обобщенной инверсии........................................................ 19

Глава 2. Применение инверсии при решении задач

и доказательстве теорем................................................................. 30

2.1. Применение инверсии при решении задач на построение............... 30

2.2. Применение инверсии при доказательстве........................................ 41

Заключение.................................................................................................... 43

Библиографический список........................................................................... 44

Введение

В наш век современных технологий так и хочется привлечь компьютер для решения задач, в частности, геометрических. Было бы замечательно, если бы от пользователя требовалось только занести в программу нужные данные, а последняя сама бы все рассчитала и выдала, к примеру, радиус и центр искомой окружности. Но вся проблема в том, что программа может работать только с координатами. И есть смысл перевода наиболее эффективных с точки зрения решения задач преобразований, в число которых входит и инверсия, на язык координат. Наиболее просто это получается на комплексной плоскости. Изучению преобразования инверсии комплексной плоскости и посвящена эта дипломная работа.

Цель работы состоит в следующем: обобщить и систематизировать основные факты об инверсии комплексной плоскости и показать применение этого преобразования при решении задач и доказательстве теорем.

Поставленная цель предполагала решение следующих задач:

-   вывод комплексной формулы инверсии;

-   доказательство основных свойств инверсии на комплексной плоскости;

-   решение нескольких задач при помощи инверсии комплексной плоскости;

-   доказательство ряда теорем при помощи инверсии комплексной плоскости.

Оказалось, что не так много специальных работ по теме. Инверсия комплексной плоскости оказалась крайне слабо освещена в литературе по сравнению с инверсией евклидовой плоскости. Поступали следующим образом: брали известный факт из евклидовой плоскости, а потом доказывали его методом комплексно сопряженных координат. Чаще всего такие доказательства были понятнее и короче, чем исходные.

Глава 1

Основные положения теории инверсии

1.1. Общие сведения о комплексной плоскости. Зададим на плоскости прямоугольную декартову систему координат 0xy. Тогда каждому комплексному числу z, представленному в алгебраической форме Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., можно однозначно поставить в соответствие точку М плоскости с координатами Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Комплексное число z называют комплексной координатой соответствующей точки М и пишут: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следовательно, множество точек евклидовой плоскости находится во взаимно однозначном соответствии с множеством комплексных чисел. Эту плоскость называют плоскостью комплексных чисел.

Все необходимые сведения об этой плоскости очень хорошо даны в книге Я. П. Понарина [3]. Здесь приведем лишь некоторые формулы, взятые из того же источника, использованные в работе.

Расстояние между двумя точками с координатами а и b равно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Уравнение прямой в канонической форме: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Уравнение окружности с центром в точке s и радиусом r: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Также часто используют запись Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где центр Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., радиус Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Скалярное произведение векторов: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Коллинеарность трех точек с координатами а, b и с: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Критерий коллинеарности векторов: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Расстояние от точки с координатой z0 до прямой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Критерий параллельности двух прямых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заданных в канонической форме: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Критерий перпендикулярности двух прямых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., заданных в канонической форме: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Двойное отношение четырех точек плоскости с координатами а, b, с и d: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; аргумент w равен ориентированному углу между окружностями abc и abd.

Критерий принадлежности четырех точек одной окружности или прямой: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Критерий ортогональности окружностей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Параллельный перенос на вектор с координатой r: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Гомотетия с центром s и коэффициентом s: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Осевая симметрия с осью симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Центральная симметрия с центром Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.2. Определение инверсии – симметрии относительно окружности.[1]

Определение 1. Углом между двумя окружностями называется угол между касательными к окружностям в точке их пересечения.

Если окружности не имеют общих точек, то угол между ними не определен.

Определение 2. Углом между окружностью S и прямой l называется угол между прямой l и касательной к окружности S в точке пересечения этой окружности с l.

Опять же, если прямая и окружность не имеют общих точек, то угол между ними не определен.

Из определения 2 следует, что окружности, центры которых лежат на данной прямой l, и только эти окружности, перпендикулярны к прямой l.

Теорема 1. Все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В, симметричную точке А относительно прямой l.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.□ Рассмотрим произвольную окружность с центром на прямой l, проходящую через точку А. Введем систему координат таким образом, что прямая l является действительной осью, а начало координат располагается в центре нашей окружности, и радиус ее равен 1.

Действительная ось имеет уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и формула осевой симметрии относительно l будет Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Окружность имеет уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если точка А имеет координату а, то симметричная ей точка В будет иметь координату Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Докажем, что она тоже лежит на окружности.

Действительно, поскольку А ей принадлежит, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и означает принадлежность точки В(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) этой окружности. ■

Если А не лежит на действительной оси, то больше общих точек у пучка окружностей, проходящих через А и перпендикулярных l, нет. Если бы была еще общая точка С, то рассматриваемые окружности проходили бы через точки А, В и С, то есть все совпадали бы.

Если А лежит на действительной оси, то у окружностей также больше нет общих точек, поскольку центр их лежит на этой оси, и если есть еще одна общая точка В (не лежащая не действительной оси, иначе окружности банально совпадут), то есть еще одна общая точка – симметричная ей, и у окружностей есть три общие точки, то есть они все совпадут, что невозможно.

Значит, если окружности перпендикулярны прямой l и проходят через точку А, и точка В симметрична точке А относительно прямой l (точки А и В могут совпадать), то это единственные общие точки этих окружностей.

Поэтому можно дать такое определение симметрии относительно прямой.

Определение3. Точки А и В называются симметричными относительно прямой l, если все окружности, перпендикулярные прямой l и проходящие через точку А, проходят и через точку В.

Введем теперь понятие симметрии относительно окружности. Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 2. Все окружности, перпендикулярные данной окружности Σ и проходящие через данную точку А, не лежащую на Σ, проходят одновременно и через некоторую точку В, отличную от точки А.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.□ Рассмотрим некоторую окружность w, удовлетворяющую нашим условиям.

Введем систему координат таким образом, что начало координат располагается в центре окружности Σ и радиус ее равен 1, а точка А лежит на действительной оси.

Тогда Σ задается уравнением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., w задается уравнением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где s – координата центра, r – радиус. Перпендикулярность окружностей дает равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Раз А лежит на w, то верно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а с учетом предыдущего равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Точка А, по условию, не лежит на окружности Σ, и А лежит на действительной оси, поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Последнее число, очевидно, тоже является действительным. Тогда докажем, что точка с координатой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежит на w, то есть верно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но это равносильно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что верно. Значит, точка с координатой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. лежит на w. Так как она отлична от точки А, а окружность w бралась произвольно, то мы нашли другую общую точку всех наших окружностей, что и требовалось. ■

Заметим, что точка А не может совпадать с центром окружности Σ, поскольку тогда касательная к w будет иметь с последней две общие точки, что невозможно.

Естественно, что других общих точек у окружностей, перпендикулярных окружности Σ и проходящих через точку А, не лежащую на Σ, нет, поскольку тогда пучок этих окружностей проходил бы через три точки, то есть все окружности бы совпадали.

Заметим также, что точки с координатами 0, а и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коллинеарны. Две последние точки лежат по одну сторону от центра Σ. Причем если А лежит внутри окружности Σ, то В – вне ее, и наоборот. Также произведение расстояний от этих точек до центра окружности постоянно и равно действительному числу – квадрату радиуса данной окружности.

Если А лежит на Σ, то других общих точек у пучка таких окружностей нет. Действительно, если бы была еще одна точка, не лежащая на Σ, то по теореме была бы к тому же общей и не совпадающая с ней точка, не лежащая на окружности, то есть не совпадающая с А. Тогда у окружностей три общих точки и они все совпадут, что невозможно. Если же еще одна общая точка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. окружностей лежит на Σ, то можно поступить так. Точка А лежит на Σ, поэтому или . Но мы всегда можем перенаправить действительную ось в противоположную сторону, поэтому будем считать, что . Тогда из верного равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как В лежит на w, то верно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но В лежит и на Σ, тогда последнее равенство запишется как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получаем систему Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как , то и левая часть первого условия не должна равняться нулю. Значит, из первого условия можно смело находить центр w. Но тогда все окружности пучка совпадут, так как радиус окружностей находится как расстояние Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что невозможно.

Также заметим, что и в этом случае квадрат расстояния от точки А до центра окружности равен квадрату радиуса данной окружности.

Теперь становится естественным следующее определение:

Определение 4. Точка А называется симметричной точке В относительно окружности Σ, если каждая окружность, проходящая через А и перпендикулярная Σ, проходит через точку В.

Для каждой точки А существует только одна ей симметричная. Причем, очевидно, что если А лежит на Σ, то у нее нет отличных от нее симметричных точек, она симметрична сама себе. Также очевидно, что если А совпадает с центром окружности симметрии, то у нее нет симметричной ей точки.

Еще ясно, что произведение расстояний от центра данной окружности до симметричных точек равно квадрату радиуса этой окружности.

Если точка А симметрична точке В относительно окружности Σ, то и точка В симметрична точке А относительно окружности Σ. Это позволяет говорить о точках, симметричных относительно окружности. Совокупность всех точек, симметричных точкам некоторой фигуры F относительно окружности Σ, образует фигуру F’, симметричную фигуре F относительно окружности Σ.

Симметрия относительно прямой является предельным случаем симметрии относительно окружности, так как прямую можно рассматривать как окружность бесконечного радиуса.

Симметрия относительно окружности называется также инверсией; в этом случае окружность, относительно которой производится симметрия, называется окружностью инверсии, центр этой окружности – центром инверсии, а квадрат ее радиуса – степенью инверсии.

Инверсию можно еще определить и так:

Определение 5. Инверсией плоскости с центром в точке S и степенью инверсии k называется преобразование, которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’, что точка М’ лежит на луче SM и произведение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем равносильность определений 4 и 5.

4Þ5. Вспомним, что при доказательстве теоремы 2 и далее в рассуждениях мы пришли к факту, что симметричные относительно окружности точки лежат на одной прямой с центром окружности Σ и по одну сторону от него, причем произведение их расстояний до центра этой окружности равно постоянному действительному числу – квадрату радиуса окружности. Это было показано для каждой точки, отличной от центра окружности.

5Þ4. Проведем окружность с центром в точке S и радиусом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Нам дано, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Но любая окружность, перпендикулярная проведенной и проходящая через точку М, не лежащую на проведенной окружности, проходит и через точку М’, мы это показали ранее. Значит, действительно, точки М и М’ симметричны в смысле определения 4.

Чтобы это было действительно преобразование, допускают, что точка S отображается в бесконечно удаленную точку, и наоборот (в данном случае нам удобнее мыслить бесконечно удаленную область как одну точку).

Определение 5 менее геометрично, чем предыдущее, но обладает преимуществом большей простоты. Исходя из этого определения, инверсию иногда еще называют преобразованием обратных радиусов. С этим определением связано также название «инверсия» (от латинского слова inversio – обращение).

Очевидно, слова «точка М’ лежит на луче SM и произведение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.» можно с успехом заменить словами «точки S, M и М’ коллинеарны и скалярное произведение векторов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.». Здесь k всегда положительно. Но иногда полезно рассмотреть преобразование, которое переводит точку M в М’ так, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и точки S, M и М’ коллинеарны, но M и М’ лежат по разные стороны от точки S. Тогда, очевидно, k будет отрицательным. Такое преобразование называют инверсией с центром в точке S и отрицательной степенью. Здесь также допускают, что центр инверсии переходит в бесконечно удаленную область, и наоборот.

Вообще, говоря об инверсии, имеют в виду обычно инверсию с положительной степенью. Если знак степени инверсии может быть любым, то такое преобразование называют обобщенной инверсией. Его определение будет таким.

Определение 6. Обобщенной инверсией плоскости с центром в точке S и степенью инверсии k называется преобразование, которое всякую точку М плоскости, отличную от S, отображает в такую точку М’, что точки S, M и М’ коллинеарны и скалярное произведение векторов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При этом считают, что S переходит в бесконечно удаленную область, и наоборот.

Это преобразование инволютивное, поскольку точки М и М’ входят в формулу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. равноправно, а для центра инверсии и бесконечно удаленной области все очевидно.

1.3. Формула инверсии в комплексно сопряженных координатах. Найдем формулу обобщенной инверсии при задании точек комплексными числами. Пусть точкам S, M и М’ соответствуют комплексные числа s, z и z’.

По формуле скалярного произведения векторов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Коллинеарность точек S, M и М’ дает равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда и получаем искомую формулу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, обобщенная инверсия имеет формулу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или, что то же самое, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При k>0 получаем инверсию с положительной степенью, при k<0 – с отрицательной.

Но всякое ли преобразование плоскости, заданное формулой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., является обобщенной инверсией? Если принять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то достаточно потребовать, чтобы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для обобщенной и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для обычной инверсии (с положительной степенью).

Значит, всякое преобразование плоскости, задаваемой формулой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., есть обобщенная инверсия.

1.4. Неподвижные точки и окружность инверсии. Исследуем уравнение инверсии на неподвижные точки: для них должно выполняться равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Мы не рассматриваем центр инверсии и бесконечно удаленную область, так как мы доопределили, что они не остаются неподвижными, а переходят друг в друга. Тогда будет выполняться равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Очевидно, что если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то все искомые точки образуют окружность с центром в точке с координатой s и радиусом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Эта окружность при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется окружностью инверсии. Если обозначить радиус окружности инверсии через R, то выполняется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. И формулу инверсии для k>0 можно переписать более наглядно: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если степень инверсии отрицательна, то преобразование не имеет неподвижных точек (поскольку невозможно изобразить на плоскости, даже комплексной, точки, координаты которых удовлетворяют равенству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). Но иногда эту мнимую окружность также называют окружностью инверсии, ее центр расположен в центре инверсии, а радиус будет равен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, очевидно, инверсию отрицательной степени легко представить в виде коммутативной композиции инверсии с положительной степенью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и центральной симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. с общим центром в s.

1.5. Образы прямых и окружностей при обобщенной инверсии.Без ограничения общности рассуждений можно принять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и формула инверсии примет вид Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., более удобный для практики. Ведь нам пока не важны коэффициенты в получающейся формуле, важно, какую фигуру она описывает.

Пусть задана прямая l с уравнением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При подстановке в это уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получаем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Умножим на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., это будет равносильным преобразованием, поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; получим, опуская в полученном результате штрихи: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если q = 0, то получаем уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то умножим обе части уравнения на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это уравнение прямой, совпадающей с заданной прямой l. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то получаем уравнение окружности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Она содержит центр инверсии, ее центр расположен в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а радиус равен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что центр лежит на прямой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., проходящей через центр инверсии перпендикулярно l.

Итак, прямая, содержащая центр инверсии, отображается при этой инверсии в себя; прямая, не содержащая центр инверсии, отображается в окружность, проходящую через него. Поскольку инверсия инволютивна, то окружность, содержащая центр инверсии, отображается в прямую, не содержащую его.

Возьмем теперь окружность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., не проходящую через центр инверсии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда выполняется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Ее образ имеет уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (штрихи опущены). При раскрытии скобок получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Умножим на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., это будет равносильным преобразованием, поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то этим уравнением задается окружность с центром Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и радиусом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Она не проходит через центр инверсии. Интересно, что центр инверсии 0, центр данной окружности s и центр ее образа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. коллинеарны, поскольку число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. действительное. Но центр окружности при инверсии не переходит в центр окружности образа. Если центр данной окружности s перейдет в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то тогда должно выполняться Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., умножим на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим равносильное равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что невозможно. Значит, предположение было неверно, и центр данной окружности не переходит в центр окружности образа.

Итак, окружность, не проходящая через центр инверсии, переходит в окружность, также не проходящую через центр инверсии.

В частности, если центр инверсии совпадает с центром окружности, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и окружность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при инверсии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. переходит в окружность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., центр которой также совпадает с центром инверсии. Итак, окружность, центр которой совпадает с центром инверсии, при этой инверсии переходит в концентрическую окружность. В частности, окружность с уравнением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. инвариантна.

Интересно, что центр инверсии является одновременно и центром гомотетии, переводящей одну окружность в другую. Для нашего случая гомотетия будет иметь уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Убедиться в этом можно простой подстановкой: эта гомотетия переводит окружность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в фигуру Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поделив обе части на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим окружность с центром Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и радиусом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Теперь становится ясно, что каждую окружность можно при помощи подходяще выбранной инверсии перевести в другую данную окружность или прямую. Докажем это.

Пусть даны две окружности действительного радиуса. Рассмотрим сначала случай, когда их радиусы не равны.

Мы уже показали, что центры окружностей и центр инверсии должны лежать на одной прямой. Понятно, что центр инверсии не лежит на данных окружностях.

Точки, лежащие на прямой центров, переходят в точки, лежащие на той же прямой. Поэтому могут быть два порядка точек: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Введем систему координат таким образом, что центры окружностей лежат на действительной оси, причем центр одной совпадает с началом координат, а радиус ее равен 1.

Покажем, что существует инверсия для первого случая.

Пусть точки пересечения второй окружности с действительной осью имеют координаты а1 и а2. Тогда при инверсии а1 переходит в -1, а а2 – в 1. Тогда можно записать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть получаем систему: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что равносильно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Вычтем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда, в силу неравности радиусов, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Может статься, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из второго условия получаем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тот же самый результат. Итак, получаем единственную инверсию с центром в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и степенью Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Точка с координатой а2 лежит на действительной оси правее точки с координатой а1, поэтому для определения знака степени нужно знать знак произведения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Степень инверсии будет положительна в двух случаях: либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., либо Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть когда одна окружность лежит целиком внутри другой. В остальных случаях степень инверсии будет отрицательна.

Рассмотрим второй случай. Тогда при инверсии а1 переходит в 1, а а2 – в -1. Можно записать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть получаем систему: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что равносильно Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Вычтем: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда, в силу неравности радиусов, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично, может оказаться, что это не является решением. Решением это будет в точности тогда, если совпадут значения k из обоих уравнений.

Из первого уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Из второго уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тот же самый результат.

Знак степени определяется знаком произведения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отрицательна она будет только в случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или в случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это происходит в точности когда одна окружность лежит внутри другой. Положительной степень будет в противном случае.

Итак, когда радиусы окружностей не равны, одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая – с отрицательной.

Если же радиусы окружностей равны, то все выкладки будут иметь место, но гораздо упростятся. Для первого случая получим из равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Причем у нас не может быть случая, когда одна окружность лежит внутри другой, значит, степень положительна.

Для второго же случая получаем верное равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и получим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть окружности концентричны, но в силу равенства радиусов они совпадают. Это невозможно по предположению, значит, такой инверсии не может быть.

Можно сделать вывод, что если радиусы окружностей равны, то одну в другую можно перевести ровно одной инверсией с положительной степенью. В принципе, этого следовало ожидать: у двух окружностей равного радиуса только один центр гомотетии.

Покажем теперь, что существует инверсия, переводящая прямую l в окружность действительного радиуса, и обратно. Ясно, что эта окружность проходит через центр инверсии, а прямая нет. Мы уже показали, что центр инверсии лежит на прямой m, проходящей через центр нашей окружности перпендикулярно l. Значит, он может быть только в одной из точек пересечения окружности с прямой m.

Введем систему координат так, что начало координат располагается в центре окружности, а прямая m совпадает с действительной осью.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Данная прямая l параллельна мнимой оси, поэтому будет иметь уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Прямая пересекает действительную ось в точке с координатой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Окружность, если обозначить ее радиус r, будет иметь уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Инверсии, если они есть, будут иметь формулы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где k1 и k2 нам пока не известны. Первая переведет окружность в прямую с уравнением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Чтобы это была l, достаточно потребовать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вторая инверсия переведет окружность в прямую с уравнением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Чтобы это была l, достаточно потребовать Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Могут получиться следующие случаи:

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть второй инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой -r;

3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

4) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть первой инверсии не существует – это происходит при касании прямой и окружности в точке с координатой r, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

5) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Û Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно сделать вывод, что если прямая не имеет общих точек с окружностью, то одну в другую можно перевести ровно двумя инверсиями, причем одна из них с положительной степенью, а другая с отрицательной. Если прямая касается окружности, то одну в другую можно перевести только одной инверсией с положительной степенью. Если прямая и окружность пересекаются, то одну в другую можно перевести двумя инверсиями с положительными степенями.

Две же различные прямые никогда не могут быть переведены друг в друга инверсией.

1.6. Свойства обобщенной инверсии.[2]

1º. При обобщенной инверсии с центро

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Инверсия плоскости в комплексно сопряженных координатах". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 506

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>