Дипломная работа на тему "Интеграл Лебега-Стилтьеса"

ГлавнаяМатематика → Интеграл Лебега-Стилтьеса




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Интеграл Лебега-Стилтьеса":


Содержание

Введение

Глава I. Развитие понятия интеграла

1.1 Проблема моментов

Глава II. Интеграл Стилтьеса

2.1 Определение интеграла Стилтьеса

2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

2.4 Свойства интеграла Стилтьеса

2.5 Интегрирование по частям

2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса

2.8 Примеры

2.10 Теорема о среднем, оценки

2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса

2.12. Примеры и дополнения

Глава III. Применение интеграла Стилтьеса

3.1 Применение в теории вероятностей

3.2 Применение в квантовой механике

Заключение

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по требуемой вам теме. Мастерское выполнение дипломных работ по индивидуальному заказу в Екатеринбурге и в других городах РФ.

Список литературы

Приложение


Введение

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют "не слишком много" точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеются аналоги в теории измерений: это интегралы Лебега и Стилтьеса. Так как интеграл Стилтьеса охватывает более широкий класс функций, мы остановимся на рассмотрении этого интеграла.

Выбор темы обусловлен тем, что изучению интеграла Стилтьеса уделяется меньше внимания, чем интегралам Римана и Лебега, хотя именно идея стилтьесовского интегрирования богаче и плодотворней предыдущих, определение интеграла Стилтьеса шире классического и в некотором отношении удобнее его.

Цель работы - рассмотреть необходимость введения понятия интеграла Стилтьеса, дать точное, компактное, сравнительно полное изложение теории интеграла Стилтьеса.

Задачи, которые нужно выполнить для достижения цели:

изучить множество литературы по этой теме;

отобрать из изученного материла необходимый;

привести примеры использования интеграла.

Работа состоит из трёх глав. Первая посвящена развитию данного понятия, проблеме моментов, которая и привела к необходимости введения нового понятия интеграла.

Во второй главе рассмотрены основные понятия, определение самого интеграла, свойства, способы вычисления, рассмотрено множество примеров.

Третья глава посвящена применению интеграла Стилтьеса в других разделах математики и в других науках.


Глава I. Развитие понятия интеграла 1.1 Проблема моментов

Введение понятия интеграла Стилтьеса и последующая его разработка связаны с проблемой моментов, состоящей в следующем. Пусть задана последовательность чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; требуется найти такую функцию распределения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., чтобы члены заданной последовательности были моментами, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Если a и b конечны, то поставленная задача называется проблемой моментов в конечном интервале; если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то получаем проблему моментов Стилтьеса.

Проблема моментов первоначально ставилась в менее общей форме. А именно по заданной последовательности чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ищется такая функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., чтобы имели место равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Целесообразность привлечения интеграла Стилтьеса для постановки и решения проблемы моментов напрашивается довольно естественно. С таким положением вещей и столкнулся Стилтьес при изучении непрерывных дробей, и именно в результате этих исследований он предложил своё обобщение интеграла.

Ранние исследования Стилтьеса изложены в его статье о механических квадратурах, в которой выясняется, позволяют ли формулы квадратур получать неограниченное приближение интеграла в смысле Римана. Во вводной части статьи Стилтьес решает задачу об определении многочлена

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Условиями

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

при неотрицательной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Мы коснемся двух моментов из содержания его статьи.

Первый относится к задаче о степени приближения, даваемого квадратурной формулой Гаусса:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Здесь Стилтьес пользуется доказанными им формулами П. Л. Чебышева в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2)

Он показывает, что если в квадратурной формуле Гаусса в качестве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. брать числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаемые по формуле (2) из цепной дроби, соответствующей интегралу Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будут корнями знаменателей подходящих дробей, то формула Гаусса даст сколь угодно точное приближение при возрастании Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для этой цепной дроби числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., очевидно, удовлетворяют неравенствам

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

так как в этом случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Вторым моментом является следующий. Отметив, что его результаты полезны при изучении вопроса о квадратуре интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Стилтьес ставит вопрос о квадратурных формулах для интеграла вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (4)

Он ограничивается тем частным случаем, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - произвольная интегрируемая по Риману функция, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. такова, что внутри Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не существует интервала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в котором Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и показывает, что в этом случае аппроксимация возможна со сколь угодно большой степенью точности. Доказательство этого факта опирается на то, что функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

является непрерывной и строго монотонной, а потому существует обратная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и в интеграле (4) возможна замена переменных

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

сводящих интеграл (4) к уже изученному Стилтьесом случаю.

По поводу же общего случая Стилтьес указал, что "условия, налагаемые на функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления". Действительно, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не удовлетворяет условию отсутствия в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интервала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в котором Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то она может оказаться не монотонной, поэтому обращение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в том виде, в каком такую замену тогда производили, становится невозможным, и квадратуру интеграла (4) уже нельзя свести к квадратуре интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Приведенные слова Стилтьеса показывают, что уже в 1884 г. он был в некоторой степени подготовлен к пересмотру понятия интеграла. К мысли о таком пересмотре его приводил прием замены переменных, который играл заметную роль в последующей истории интеграла Стилтьеса.

Стилтьес рассматривал непрерывные дроби вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - в общем случае комплексное число.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - подходящая дробь порядка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для непрерывной дроби (6). Тогда существуют пределы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

причем, если ряд Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. расходится, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

если же ряд Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сходится, то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. различны.

К этому времени математикам, занимавшимся непрерывными дробями, была известна связь между интегралом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

и непрерывной дробью

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (8)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - суть линейные функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. связаны с коэффициентами разложения (7) в ряд по убывающим степеням Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Формулами

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Этой-то связью и руководствовался Стилтьес в своих исследованиях. Ход его мысли был следующим. Для подходящих дробей дроби (6) справедливы следующие свойства: корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. действительны и различны, степень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. меньше степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-й подходящей дроби справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

или, в другой форме,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В частности,

Как уже говорилось Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а потому, если обозначить через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нули Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Аналогично, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - нули функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для случая нечетных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В случае расходимости ряда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. очевидно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть дробь вида (6) задана разложением в ряд по убывающим степеням Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (9)

Тогда оказывается, что ряды

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

сходятся и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (10)

Эти формулы позволяют по цепной дроби (6) найти её разложение в ряд (9). Обратная же задача - по разложению (9) найти дробь (6) - неизбежно приводит к решению более или менее общей проблемы моментов.

В самом деле, Стилтьесу была известна чебышевско-марковская интерпретация Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как массы, сосредоточенной в точке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., являющейся корнем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Естественно было распространить эту интерпретацию и на предельный случай, рассматривая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как массы, расположенные в нулях функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.). После введения формул (10) Стилтьес пишет: "Рассмотрим на бесконечной прямой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. распределение массы (положительной), при котором на расстоянии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. от начала сосредоточена масса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сумма

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

может быть названа моментом порядка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. масс относительно начала. В таком случае из предшествующих формул следует, что момент порядка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. системы масс

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

имеет значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Равным образом система масс Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., будем иметь те же моменты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Мы назовем проблемой моментов следующую задачу:

Найти распределение положительной массы на прямой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если даны моменты порядка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.".

Действительно, формулы (10) приводят к постановке проблемы моментов, если принято истолкование Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как масс, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. как соответствующих расстояний этих масс от начала координат.

Цепные дроби рассматривающегося П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым типа получились из разложения интеграла (7) и все корни знаменателей их подходящих дробей были заключены в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Стилтьес же не связывал рассматриваемые им дроби с заранее данным аналитическим выражением в виде интеграла, и корни Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. оказывались в общем случае распределенными по всей положительной части числовой оси. Поэтому закономерным был выход в проблеме моментов за пределы конечного интервала и рассмотрение её на интервале Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Далее, поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. рассматриваются как моменты массы относительно начала координат, то прежнее определение момента через интеграл Римана Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. становилось недостаточным, существенно ограничивая класс последовательностей чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; даже для таких распределений массы, как концентрация её в отдельных точках, приходилось принимать довольно неожиданные предположения относительно функции плотности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как это было у русских ученых. Между тем, как показал Стилтьес, на последовательность чисел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. достаточно было наложить довольно слабые ограничения, чтобы ряд (9) можно было обратить в цепную дробь (6), а тем самым найти функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Зная же эти функции, мы тем самым знаем решение системы уравнений (10), т. е. решение проблемы моментов. Если при этом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. попарно совпадут, то получится определенное решение: если же они попарно различны, то решений по крайней мере два: системы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Следовательно, общность цепных дробей вида (6) достаточно широка, чтобы сделать вывод о разрешимости проблемы моментов для интервала Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., но для этого требовалось дать иное определение моментов.

Физическое определение момента материальной точки в соединении с обычным для физиков и математиков переходом от момента точки к моменту отрезка приводило к новому определению интеграла, тесно связанному с функциями распределения.

Таким образом, именно для того, чтобы описать в форме некоторого аналитического выражения физическое понятие момента, Стилтьес ввел новое понятие интеграла, причем последнее, как это обычно и случается в математике, оказалось имеющим более общий характер, чем исходное физическое понятие.

Он рассмотрел интеграл Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для случая произвольной непрерывной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и произвольной возрастающей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В этих предположениях он высказал без доказательства теорему существования интеграла, отметив лишь, что оно может быть осуществлено так же, как и для определенного интеграла Римана. Затем в этих же общих приложениях он доказал одну из важнейших формул теории нового интеграла, а именно формулу интегрирования по частям. И теорему существования, и формулу интегрирования по частям мы рассмотрим в последующих главах.


Глава II. Интеграл Стилтьеса 2.1 Определение интеграла Стилтьеса

Пусть в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. заданы две ограниченные функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Разложим точками

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

промежуток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на части и положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Выбрав в каждой из частей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по точкеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., вычислим значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и умножим его на соответствующее промежутку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. приращение функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (2)

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при стремлении Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. к нулю называется интегралом Стилтьеса функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и обозначается символом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (3)

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется интегралом Стилтьеса, если для любого числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует такое число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что лишь только промежуток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. раздроблен на части так, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тотчас же выполняется неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

как бы не выбирать точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегрируема по функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. умножается не на приращение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. независимой переменной, а на приращение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. второй функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. взята сама независимая переменная Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..


2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса

Установим общие условия существования интеграла Стилтьеса, ограничиваясь, впрочем, предположением, что функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. монотонно возрастает.

Отсюда следует, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. теперь все Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично суммам Дарбу, и здесь целесообразно внести суммы

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. означают, соответственно, нижнюю и верхнюю точные границы функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-м промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Эти суммы мы будем называть нижней и верхней суммами Дарбу-Стилтьеса.

Прежде всего, ясно, что (при одном и том же разбиении)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. служат точными границами для стилтьесовских сумм Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Сами суммы Дарбу-Стилтьеса обладают следующими двумя свойствами:

1-е свойство. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса может от этого разве лишь возрасти, а верхняя сумма - разве лишь уменьшиться.

2-е свойство. Каждая нижняя сумма Дарбу-Стилтьеса не превосходит каждой верхней суммы, хотя бы и отвечающей другому разбиению промежутка.

Если ввести нижний и верхний интегралы Дарбу-Стилтьеса:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

то, оказывается, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Наконец, с помощью сумм Дарбу-Стилтьеса легко устанавливается для рассматриваемого случая основной признак существования интеграла Стилтьеса:

Теорема: Для существования интеграла Стилтьеса необходимо и достаточно, чтобы было

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Или

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

если под Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как обычно, разуметь колебание Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-м промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В следующем пункте мы применим этот критерий к установлению важных парных классов функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для которых интеграл Стилтьеса существует.

2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

I. Если функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна, а функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (5)

существует.

Сначала предположим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. монотонно возрастает: тогда примени критерий предыдущего пункта. По произвольно заданному Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ввиду равномерной непрерывности функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. найдется такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что в любом промежутке с длиной, меньшей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., колебание Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет меньше Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть теперь промежуток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. произвольно разбит на части так, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда все

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случае, если функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как по уже доказанному каждая из сумм Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если одновременно усилить требования к функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Если функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегрируема в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в смысле Римана, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет условию Липшица:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (6)

то интеграл (5) существует.

Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но последняя сумма при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случае функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющей условию Липшица (6), представим в виде разности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как, в силу (6), при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В таком случае рассуждение завершается, как и выше.

III. Если функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегрируема в смысле Римана, а функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (7)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. абсолютно интегрируема, в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то интеграл (5) существует.

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. монотонно возрастает. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, в этом случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу 2.

Предположим теперь, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Прежде всего, по произвольно взятому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. выберем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. так, чтобы было

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (8)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - общее колебание функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по произволу на части и составим сумму

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Она разлагается на две суммы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а вторая - остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если только Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; тогда, в силу (8),

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

С другой стороны, так как в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и сумма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. станет меньше Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случае, когда функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. абсолютно интегрируема в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., мы рассмотрим функции

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна в промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; тогда, как известно, имеет место формула типа (7):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. абсолютно интегрируема, то к функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. полностью приложимо изложенное в 3.

2.4 Свойства интеграла Стилтьеса

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

При этом в случаях Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

в предположении, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в число точек деления промежутка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при составлении суммы Стилтьеса для интеграла Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 873

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго порядка

Смотреть работу >>