Дипломная работа на тему "Формирование понятия функции в курсе математики средней школы"

ГлавнаяМатематика → Формирование понятия функции в курсе математики средней школы




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Формирование понятия функции в курсе математики средней школы":


Министерство образования республики Беларусь

Учреждение образование «Гомельский Государственный университет им. Ф. Скорины »

Математический факультет

Кафедра математического анализа

Допущена к защите

Зав. кафедрой _______ Малинковский Ю. В.

«___» ___________ 2002г.

Формирование понятия функции в курсе математики средней школы

Дипломная работа

Исполнитель

студентка группы М-61 _________ Рыкунова Юлия Витальевна

Научны й руководитель _________Гаврилюк Александр Владимирович

к. п. н., доцент

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам приобрести любые работы по необходимой вам теме. Качественное выполнение дипломных работ под заказ в Туле и в других городах РФ.

Рецензент _________ Лытко Александр Александрович

к. п. н., доцент

Гомель 2002

Содержание:

Введение

§1 Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики.

§2 Функция и задание ее аналитическим выражением.

§3 Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции.

§4 Важнейшие классы функций: четные, конечные периодические.

§5 Тестовые работы по теме «Числовые функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции»

Заключение.

Введение

Функция – одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определяющих идей развития школьного курса математики.

Данная дипломная работа посвящена анализу изучения понятия функции в школьном курсе математики. Основная ее цель – выявить ключевые моменты в определении этого понятия, на которые необходимо обратить особое внимание школьников при изучении данной темы, для того, чтобы не допустить формального усвоения данного понятия. В существующей школьной литературе (исключение составляет учебник «Алгебра» 8-11 класс К. О. Ананченко, Н. Т. Воробьева, Г. Н. Петровского) преобладает традиционная методика в изложении понятия функции, которая приводит к тому, что в результате выпускник школы, давая стандартное определение функции, не может ответить на элементарные вопросы, относящиеся к этой теме. В частности, на вопрос: «Какая функция называется Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.?», правильный и полный ответ можно услышать очень редко.

Работа состоит из 5 параграфов, введения и заключения.

В § 1 дается анализ двух основных трактовок понятия функции, имеющихся в рекомендованной школьной литературе: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин».

В § 2 рассматриваются вопросы, связанные со способами задания функции. Ключевым моментом этого параграфа является анализ аналитического способа задания функций, т. е. с помощью формулы. Важным в этом параграфа является исследование соотношения понятий «функция» и «формула».

В третьем параграфе дается ответ на важный вопрос: «Что значит задать функцию?» Здесь речь в большей степени идет о множестве определения и множестве значений функций и важности понимания того, что говорить о функции, информация об области, определения которой отсутствует, не корректно. Следует отметить, что непонимание этого факта часто присутствует в ответах даже подготовленных школьников.

В § 4 рассматриваются важные классы функций: четные, нечетные, периодические. Здесь определения данных классов подкреплены типичными примерами, в которых школьники, как правило, делают ошибки. Основное внимание уделено на то, что при определении таких функций кроме закона соответствия важно следить и за их областью определения.

В § 5 подготовлен комплект тестовых заданий по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные, нечетные функции. Периодические функции». При разработке данного комплекта тестовых заданий учитывались следующие моменты:

1) содержание заданий, вопросов охватывает наиболее принципиальные стороны и идеи темы;

2) в заданиях сделан акцент и на проверку навыков, и на выявление глубины освоения идейного содержания темы, проявлению математической эрудиции;

3) по усмотрению учителя тестовое задание может предлагаться ученикам не полностью, а частями.

4) задания обеспечивают возможность проведения итоговых занятий на заключительном этапе изучения понятия функции в школьном курсе математики.

Комплект тестовых заданий составлен в четырех вариантах и включает двенадцать вопросов. На каждый из них дается четыре ответа для выбора правильного из них. Вопросы в заданиях предлагаются в текстовой и графической формах. Задания рассчитаны на 45 минут работы школьника.

В процессе работы над дипломной работой была проанализирована основная литература по данной теме, список которой приводится в конце. Отметим, что среди этой литературы, на мой взгляд, учебник «Алгебра» 8-11 класс К. О. Ананченко, Н. Т. Воробьева, Г. Н. Петровского в наибольшей степени соответствует современным требованиям в подходе к освещению затронутых в нашей работе вопросов.

В заключении отметим, что в данной работе сделана попытка, опираясь на основные школьные учебники, собрать материал по данной теме, систематизировать его для того, чтобы выделить важные моменты при формировании понятия функции и препятствовать формальному усвоению понятий, сопутствующих определению функции. Большую роль в достижении этой цели играют разработанные тестовые задания, разбор типичных примеров, в которых учащиеся зачастую дают неправильные ответы.

Данная работа охватывает весь материал, связанный с понятием функции в школьном курсе и может быть использована при работе на уроках в обычных, профильных классах и на факультативных занятиях по математике.

§1. Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики

Функция – одно из фундаментальных понятий математики, а функциональная идея является одной из определенных идей развития школьного курса математики.

В существующих программах по математике как для школ (классов) с углубленным изучение математики, так и для базовых школ тема «Функции» занимает большой объем, к тому же очень много вопросов, касающихся функций, содержит программа по математике для поступающих в ВУЗы, поэтому особенно важен вопрос о трактовке этого фундаментального понятия математики.

Существуют различные трактовки общего понятия функции. В математике известны два основных направления: так называемое классическое, ориентированное в основном на приложение математики в физике и технике и опирающееся на понятие «переменная величина», и современное (или теоретико - множественное), связанное с отказом от расплывчатого понятия переменной величины, которое позволяет значительно расширить понятие функции, так как рассматривает функции не только от «величин».

Примером классического направления трактовки функции может служить определение функции: «зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называют функциональной зависимостью, илифункцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной говорят, что она является функцией от такого аргумента. “ (Алгебра, учебник для седьмого класса общеобразовательных учреждений. Под редакцией С. А. Теляковского, М., 1997, стр. 44). Авторы учебника «Алгебра» для 9 класса общеобразовательных школ с углубленным изучением математики К. О. Ананченко, Н. Т. Воробьева, Г. Н. Петровского, Мн, 1995г., дают общее понятие функции в двух трактовках. С одной стороны они истолковывают функцию как «соответствие (правило) по которому для любого х (независимой переменной) из множества Х сопоставляется вполне определенное (единственное) у (зависимая переменная) из Y (стр.4)

С другой стороны, они определяют функцию как соответствие между множествами: если Х и Y – два произвольных множества, то говорят, что на Х определена функция f, принимающая значения из Y, если каждому элементу х Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Х поставлен в соответствие единственный элемент y Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Y “ /стр. 5/.

Это уже второе современное (теоретико – множественное) направление.

§2. Функция и задание её аналитическим выражением

Задать функцию – это значит указать область ее определения и соответствие (правило), при помощи которого по данному значению аргумента находятся соответствующие ему значения функции.

Из всех основных способов задания функции, таких, как аналитический, табличный, графический, алгоритмический или программный, особый интерес и значимость имеет задание функции при помощи некоторой формулы, некоторого аналитического выражения, позволяющего для любого значения аргумента из области определения Х, находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Представление о формуле как о некоторой формуле, связывающей y и х, к сожалению, довольно часто встречается у школьников. Функция и формула - это разные «вещи» Одно дело-функция как отображение одного множества (в данном случае числового множества) на другое, другое дело – формула, представляющая собой лишь один из способов задания функции.

Чем же опасно отождествление функции с формулой, которая описывает функцию?

Во-первых, не всякая формула задает функцию.

Приведем несколько примеров:

у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; и т. д.

Что можно сказать об области определения, например, функции

y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.?

Функция у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет область определения [2; +Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), а функция у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - область определения ]-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; 1]. Указанные промежутки не пересекаются, значит, формула у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.не определяет никакой функции.

Во всех указанных примерах за формулой не стоит никакой функции, так как область определения выражений f(x) есть пустое множество.

Во-вторых, не всякую функцию можно задать с помощью формулы.

Примером такой функции является функция Дирихле, определенная на числовой прямой:

D(y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эта функция есть отображение множества рациональных чисел в единицу и множества иррациональных чисел в нуль.

В-третьих, несколько формул могут задавать одну-единственную функцию.

Пример:

у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Эта функция определена на всей числовой прямой, т. е. D(y) = (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и задана с помощью трех аналитических выражений, а именно на промежутке (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;0) используется закон числового соответствия, описываемый формулой у = 2, на отрезке [0;2] – формулой 1+xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а на промежутке (2;+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – формулой у = х-1.

Таким образом, формула – это не сама функция, а всего лишь один из способов ее задания.

§3. Область определения функции и область значений функции как принципиально важные понятия в определении функции

Принципиально важным вопросом при формировании понятия функции является вопрос об области определения функции и области значений функции. Из определения функции вытекает, что функция у = f(x) должна задаваться вместе с ее областью определения Х. При этом подчеркнем, что область определения функции может задаваться либо условиями решаемой задачи, либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими соглашениями.

Напоминаем, что областью определения функции (обозначается D(f) или D(y)) называется множество Х, на котором определяется функция f.

Например, функция, выражающая зависимость между пройденным путем и временем движения при свободном падении тела, брошенного без начальной скорости, определяется как

f (x) =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., D(f) = [0;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.]

Для х>0 данная функция не определена, так как время движения не может быть отрицательным. В то же время формула f (x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет смысл при всех хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.R.

Заметим, что если функция задана формулой у = f(x) и область определения не указана, то считают, что область определения функции совпадает с областью определения выражения f(x), т. е. множеством тех значений х, при которых выражение имеет смысл.

Важным в формировании понятия функции является понимание следующего принципиального момента. За счет за счет варьирования области определения функции можно при желании задать сколь угодно много разных функций, используя одну и ту же формулу.

Пример:

у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

определенная на отрезке [-6;-1], у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., определенная на промежутке (0;+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), это разные функции.

Косинус, определенный, например, на отрезке [0;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.], косинус, определенный на отрезке [Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и косинус, определенный на всей числовой прямой, - это три различные функции. Областью значений функции, или областью изменения функции (обозначается Е(f) или Е(у)) называется множество всех у изY, для каждого из которых существует хотя бы одно значение аргумента х, такое, что f(x) = y.

Область изменения функции у = f(x) вычисляется по уже заданной области определения.

Рассмотрим примеры:

1. Пусть дана функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Найдем область определения этой функции: D(y) состоит из всех тех действительных чисел, для которых logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.sin x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 и sin x>0. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то для 0 < sin x < 1 logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.sin x < 0, поэтому чтобы найти область определения данной функции достаточно решить уравнение

logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.sin x = 0

logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.sin x = logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1

sin x = 1, откуда

x = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. + 2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.n, nРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Z.

Таким образом, D(y) = {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.n, nРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Z}.

Легко видеть, что область изменения функции E(y) = {0}, поскольку

logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.sin (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. + 2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.n) = logРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1 = 0.

2. Найти область изменения функции

у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение:

Составим уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = а, и исследуем множество его решений.

При а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0 возведём обе части данного уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение 1- хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= аРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= 1 - аРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Это уравнение имеет решение лишь при 1 - аРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0, откуда аРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[-1;1], но с учетом, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0 исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда аРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.[0;1], поэтому E(y) = [0;1].

3. Найти область определения функции

y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение:

Функция yРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определена для значений xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0;

Функция yРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определена для значений 4+xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0;

Т. е. x>-4. Следовательно, общей частью двух областей является промежуток xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-4;0]. Он и есть область определения данной функции.

Заметим, что если данная функция есть сумма (разность, произведение) других функций, то её область определения есть пересечение множеств, являющихся областями определения и исходных функций.

§4. Важнейшие классы функций: четные, нечетные, периодические

Говорят, что множество симметрично относительно нуля (симметрично относительно начала координат), если множество таково, что (-х)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. вместе с каждым своим элементом х, оно содержит и ему противоположный элемент (-х).

Примеры симметричных относительно нуля множеств:

отрезок [-5;5];

интервал [-3;3];

числовая прямая (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.);

Примеры несимметричных множеств:

отрезок [-5;4];

интервал (-2;3);

луч [-10;+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.);

Несимметричным относительно нуля множеством является и промежуток [-2;2), так как –2 принадлежит этому множеству, а противоположное число 2 ему не принадлежит.

Определение:

Функция у = f(x) называется четной, если:

1)  область определения D(f) есть множество, симметричное относительно нуля;

2)  для любого хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.D(f) выполняется равенство

f(-x) = f(x)

Таким образом, вопрос о четности или нечетности той или иной функции надо рассматривать, учитывая всякий раз не только вид аналитического выражения, но и тот промежуток, на котором определена данная функция. Ответ на вопрос: “Является ли, например, функция у = 1-хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.четной функцией?” зависит от выбора области определения. Если указанная функция определена на промежутке, симметричном относительно нуля.

Например, на всей числовой прямой, или на отрезке [-1;1], то в этих случаях функция у = 1-хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.является четной функцией. Если же предположим, что область определения есть отрезок [-1;2], то функция у = 1-хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.не является нечетной.

Заметим, что наряду с четными и нечетными функциями есть функции, не являющиеся ни теми, ни другими, например, такими являются функции

у=1+sin x; у = 2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, при исследовании функции у = f(x) на четность или нечетность, необходимо поступать следующим образом:

а) выяснить симметричность области определения функции у = f(x) относительно нуля;

б) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то функция не является ни четной, ни нечетной;

в) если область определения функции не симметрична относительно нуля, то необходимо проверить истинность равенств:

f(-x) = f(x) (1)

или f(-x) = f(x) (2) для всех хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.D(f)

Если выполняется равенство (1), то функция у = f(x) четная; если выполняется равенство (2), то функция у = f(x) нечетная. Если не выполняется ни одно из равенств (1) или (2), то функция не является ни четной, ни нечетной.

Можно предложить следующую блок-схему исследования функций на четность и нечетность:

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример исследовать на четность и нечетность функции:

1) у = 8Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; 2) у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ; 3) у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; 4) у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Областью определения функции у = 8Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.является числовая прямая (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; +Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем f(x) = 8Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

f(-x) = 8Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= 8Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, f(-x) = f(x) , т. е. функция является чётной.

2) Областью определения функции y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является промежуток (0; +Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) – не симметричное относительно нуля множество, поэтому функция y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не является ни чётной, ни нечётной.

3) Область определения функции у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. находится из условияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или (x – 1)(x + 1)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., таким образом, областью определения данной функции является отрезок [-1; 1] – симметричное относительно нуля множество. Далее, имеем

f(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; f(-x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. функция у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является чётной.

4) Функция у = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не определена при тех значениях x, при которых знаменатель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 0, т. е. в таких точках –3 и3 значит, область определения функции D(f) = (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; -3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (-3; 3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3; +Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) - симметричное относительно нуля множество. Далее f(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; f(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как f(-x)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.f(x) и f(-x)Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-f(x), то функция не является ни чётной, ни нечётной.

Рассмотрим основные свойства чётных и нечётных функций.

Свойство 1. Если y = f(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (x) – нечётные функции, то их алгебраическая сумма и разность есть функция нечётная.

Доказательство.

Пусть Функции y = (x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму и разность данных функций

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) соответственно:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = f(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x); Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = f(x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x).

Так как по определению f(-x) = -f(x) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(-x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = - f(x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = - (f(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x)) = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(-x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = - f(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = - (f(x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x)) = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x).

Полученные равенства означают, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – нечётные функции.

Свойство 2. Если y = f(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – нечётные функции, то их произведение и частное есть функция чётная.

Доказательство

Пусть функции y = f(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим произведение и частное данных функций ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) и ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) соответственно:

ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x); ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0).

Учитывая, что функции f(x) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – нечётные, будем иметь:

ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(-x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = (-f(x)) (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x)) = f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x).

Полученные равенства доказывают, что ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) и ФРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) функции чётные.

Свойство 3. Если y = f(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – чётные функции, то их сумма, разность, произведение и частное есть функция чётная.

Пусть функции y = f(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля. Обозначим сумму данных функций GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x),

разность функций GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), произведение функций GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), частное данных функций GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) соответственно:

GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = f(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x); GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = f(x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x); GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0).

Докажем, что GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – чётные функции.

Доказательство

Учитывая, что f(x) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – чётные функции будем иметь:

GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(-x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(-x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(x) - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(-x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = GРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x).

Свойство 4. Если y = f(x) – чётная функция, а y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – нечётная функция, то их произведение является нечётной функцией.

Пусть функции y = f(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) имеют область определения X, симметричную относительно нуля, причём по определению

F (-x) = f(x), Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x).

Обозначим произведение данных функций Q(x) = f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x). Докажем, что Q(x) функция нечётная.

Доказательство

Учитывая, что f(x) – функция чётная, а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – функция нечётная, будем иметь:

Q(-x) = f(-x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = f(x) (-Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x)) = - f(x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = - Q(x).

Полученное равенство означает, что функция Q(x) нечётная.

Свойство 5. Всякую функцию, определённую на множестве X, симметричную относительно нуля, можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве X и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Доказательство

Пусть функция y = f(x) имеет область определения X, симметричную относительно нуля.

Покажем, что существуют функции y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), каждая из которых определена на том же множестве X, и они такие, что

y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = f(x), где y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – чётная функция, а y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – нечётная функции.

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда ясно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) определены на множестве X, так как f(x) определена на симметричном относительно нуля множестве X и

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(-x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x);

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. =

=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. f(x),

что и требовалось доказать.

Пример. Функцию y = 2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно представить в виде суммы двух функций y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x), где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причём функция y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – чётная, а функция y = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x) – нечётная.

Многие важные процессы в природе и технике являются периодическими, т. е. повторяющимися по истечении некоторого промежутка времени. Такие периодически повторяющиеся процессы описываются периодическими функциями. Поэтому особенно важно правильное понимание определения периодической функции.

Определение. Функция y = f(x) называется периодической, если существует число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0 такое, что выполняются следующие два условия:

1)  для любого x из области определения функции y = f(x) числа (x + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) и (x – T) также входят в область определения и 2) для любого x из области определения выполняется равенство f(x + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = f(x).

Число Т называют периодом функции y = f(x).

Замечание. Для периодической функции имеет место равенство

f(x – T) = f(x). Действительно, функция y = f(x) в точке (x – T) определена и

f(x) = f[(x – T) + T] = f(x – T).

Покажем, что если число Т есть период функции y = f(x), то любое из чисел nT, где nРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном фа
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 497

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>