Дипломная работа на тему "Элективный курс по теме: "Сюжетные задачи""

ГлавнаяМатематика → Элективный курс по теме: "Сюжетные задачи"




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Элективный курс по теме: "Сюжетные задачи"":


Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Применение тригонометрической подстановки

для решения алгебраических задач

Выполнила:

студентка V курса

математического факультета

С. И. Торопова < /i>

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии О. С. Руденко< /i>

Рецензент:

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам скачать любые работы по требуемой вам теме. Грамотное написание дипломных работ на заказ в Ижевске и в других городах России.

Кандидат физико-математических наук,

доцент кафедры алгебры и геометрии

Е. М. Ковязина

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___»___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров

2005

Содержание

Введение........................................................................................................... 3

Глава 1. Метод замены переменной при решении задач.............................. 7

§1. Общие положения.................................................................................. 7

§2. Тригонометрическая подстановка........................................................ 9

Глава 2. Применение метода тригонометрической подстановки при решении задач 11

§1. Решение уравнений............................................................................. 11

1.1 Иррациональные уравнения........................................................... 11

1.2 Рациональные уравнения................................................................ 23

1.3 Показательные уравнения............................................................... 26

§2. Решение систем.................................................................................... 27

§3. Доказательство неравенств................................................................. 32

§4. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений

функции...................................................................................................... 35

§5. Решение задач с параметрами............................................................ 43

Глава 3. Опытное преподавание темы «Применение тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач» на факультативных занятиях по математике 48

Заключение.................................................................................................... 63

Литература.................................................................................................... 65

Приложение................................................................................................... 70

Введение

Решение задач является важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой учащимися усваивается математическая теория и развиваются логическое мышление и творческие способности. Развитие творческих способностей учащихся старших классов при обучении математике осуществляется более эффективно при вовлечении их в творческую деятельность, которая включает в себя:

1.  Осознание, что данная конкретная задача есть представитель класса однородных задач.

2.  Отыскание различных вариантов решения, их сопоставление, выявление сильных и слабых сторон каждого способа решения с целью выбора из них наиболее рационального, простого, «изящного». Сравнение и анализ различных решений одной задачи делает знания более прочными и осознанными. Установлено, что решение одной и той же задачи несколькими способами приносит больше пользы, чем решение подряд такого же числа стереотипных заданий.

3.  Самостоятельное комбинирование известных способов деятельности.

4.  Изобретение, по крайней мере, для данной задачи принципиально нового приема решения.

Для развития творческих способностей учащихся наиболее ценными являются сложные и нестандартные задачи. Решение сложных задач по математике во многом зависит от опыта их решения, от степени овладения методами их решения и техникой преобразований. Нестандартные задачи – это задачи, для решения которых у учащихся нет готового алгоритма и нужен самостоятельный поиск ключевой идеи. При решении нестандартных задач формируется математическая культура, воспитывается гибкость ума и осуществляется постижение единства математики. Вот почему, по мнению Д. Пойа, «нестандартные задачи могут способствовать интеллектуальному развитию ученика, чего нельзя сказать о стандартных» [36].

Важнейшим источником нестандартных задач являются олимпиадные и конкурсные задания. Как правило, нестандартные задачи требуют нестандартного подхода к их решению. Важно, чтобы у учащихся был создан запас методов решения нестандартных задач, так как не всегда школьники могут самостоятельно додуматься до нестандартного метода решения.

С точки зрения стандартных школьных методов решения алгебраических задач метод тригонометрической подстановки является нестандартным приемом. С другой стороны, тригонометрическая подстановка позволяет решать сложные многоходовые задачи. Она применяется при решении таких алгебраических задач, которые своими средствами не решаются или решаются очень сложно.

Учащиеся классов с углубленным изучением математики знакомятся с методом тригонометрической подстановки [21], [57] но есть смысл в более подробном и глубоком его изучении. Необходимость в таком изучении в классах с углубленным изучением математики обусловлена следующими положениями.

1.  Углубленное изучение предполагает наполнение курса разнообразными, интересными и нестандартными задачами, которые играют существенную роль в развитии творческих способностей учащихся. Применение тригонометрической подстановки для решения задач позволяет дать эффективный способ решения нестандартных олимпиадных задач [8], [9], [16], [25], [29].

2.  Учащиеся классов с углубленным изучением математики в условиях серьезного конкурса на вступительных экзаменах в вузы с профилирующим изучением математики окажутся перед необходимостью решить трудные и очень трудные задачи. Неоценимую помощь в таком решении им может оказать метод тригонометрической подстановки [4], [10], [30], [31], [37]-[40], [44], [51], [52].

3.  Задачи, предлагаемые к решению с помощью тригонометрической подстановки, базируются на достаточно высоком уровне владения техникой как алгебраических, так и тригонометрических преобразований. Это позволяет оценить метод решения и применить его в сходной ситуации.

4.  Применение тригонометрической подстановки приучает учащихся к полноте аргументации введения подстановки для решения задач.

5.  Применение тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач направлено на установление взаимосвязи различных разделов математики, а именно: алгебры и тригонометрии. Важно воспитать у учащихся смелости и находчивости в поиске способов решения задач не только в ближайшем окружении условия, но и в более широкой, иногда неожиданной области.

Наиболее уместно организовать работу, посвященную применению тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач, на факультативных занятиях по математике. При этом целесообразно предложить учащимся для решения разнообразные задачи: рациональные и иррациональные уравнения, неравенства, их системы, задания на отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, задачи с параметрами. Желательно создать такую работу, которая бы содержала в себе подборку из разнообразных алгебраических заданий, решаемых с помощью тригонометрической подстановки, не ограничиваясь рассмотрением отдельного класса задач.

Цель работы: разработать методику применения тригонометрической подстановки для решения алгебраических задач старшими школьниками на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.

Объект исследования: процесс применения тригонометрической подстановки как метода решения разнообразных алгебраических задач.

Предмет исследования: организация деятельности учащихся по овладению тригонометрической подстановки на факультативных занятиях в классах с углубленным изучением математики.

При исследовании исходим из гипотезы, что применение методики, разработанной на основе сравнительного анализа решения большого числа задач, позволит развить творческие способности учащихся и подготовит их к вступительным экзаменам в серьезные вузы.

Для достижения поставленной цели и проверки гипотезы необходимо решить следующие задачи:

1.  Выявить теоретические основы возможности введения тригонометрической подстановки.

2.  Провести сравнительный анализ решения задач с помощью тригонометрической подстановки и без нее.

3.  На основе проведенного сравнительного анализа разработать методику изучения тригонометрической подстановки при решении алгебраических задач на факультативных занятиях по математике в старших классах с углубленным изучением математики.

4.  Провести опытное испытание эффективности разработанной методики.

Глава 1 Метод замены переменной при решении задач

§1. Общие положения

Переход к новым обозначениям, замена неизвестных – существенный прием и метод, который применяется при решении самых различных задач как элементарной, так и высшей математики. Очень важно, чтобы этот прием и метод был прочно усвоен и освоен в школе, так как идея замены переменной является сквозной и в том или ином виде фигурирует практически во всех разделах школьной математики.

Существуют два подхода к определению метода замены переменной. Если уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удалось преобразовать к виду Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то нужно ввести новую переменную Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., решить уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а затем рассмотреть совокупность уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – корни уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Чтобы при замене не потерять корней, достаточно убедиться, что каждому значению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из рассматриваемой области соответствует хотя бы одно значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющее равенству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В отличие от описанного выше метод равносильной замены требует нахождения множества значений переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В данном случае накладывается требование: каждому значению Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из рассматриваемой области соответствует ровно одно значение переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющее равенству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Такой подход ведет к сохранению области определения исходного уравнения и не требует перехода к совокупности.

Подобные замены порой существенно упрощают решение. Замена переменных и переход к новым обозначениям облегчают выкладки и делают громоздкое алгебраическое выражение компактным и обозримым. Вот почему следует приучать школьников при решении задач не торопиться начинать преобразования: пусть они сначала посмотрят, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую переменную. При этом не стоит забывать, что, во-первых, далеко не всегда замена бывает столь уж необходима. Во-вторых, если приходится прибегать к замене неизвестной, то стоит сразу подобрать ее так, чтобы она вбирала в себя по возможности большее количество неприятных деталей, затрудняющих решение.

Умение удачно ввести новую переменную – важнейший элемент математической культуры школьника. При этом искусство производить замену переменных заключается в том, чтобы увидеть, какая замена будет более рациональна и быстрее приведет к успеху.

Новая переменная иногда очевидна, иногда несколько завуалирована, но «ощущается». В более сложных случаях, для того чтобы найти удачную замену неизвестной, требуется дополнительная творческая работа, которая впоследствии окупается простотой и изящностью решения.

Учить методу замены, выбору удачных новых переменных следует специально еще и потому, что не всегда учащиеся могут додуматься до него самостоятельно. В таких случаях удобную подстановку желательно знать заранее. Особенно трудно учащимся представить себе, что вместо переменной можно подставить тригонометрическую функцию, поскольку при этом, как кажется, алгебраическое выражение усложняется. Однако известные свойства тригонометрических функций упрощают некоторые уравнения, неравенства и их системы, в то время как прямое алгебраическое решение оказывается более сложным технически. Таким образом, тригонометрическую подстановку можно назвать нестандартным методом решения стандартных по постановке задач – уравнений, неравенств и их систем.

§2. Тригонометрическая подстановка

Тригонометрическая подстановка является одним из способов реализации метода замены переменной и используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.

Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяются неравенством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то удобны замены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. В первом случае достаточно рассмотреть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как на этом промежутке непрерывная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Непрерывная функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. убывает на промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому также каждое свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., достаточно взять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Причем какую из двух подстановок выбрать, зависит от конкретной ситуации.

В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как область значения функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.

Реже используются замены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а выбор значений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. снова зависит от конкретной ситуации.

Когда выражение зависит от двух переменных Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., целесообразно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Такая замена законна. Действительно, для любых Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. существует такое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. определяется расстояние Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. до начала координат и угол Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. наклона вектора Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. к положительному направлению оси абсцисс.

И последнее замечание. Реализовать такую подстановку не так уж трудно, главное и, наверное, самое сложное – суметь ее увидеть. Поэтому целесообразно помочь учащимся научиться распознавать «приметы» тригонометрических подстановок. Содержание следующей главы направлено на выработку соответствующих умений.

Глава 2

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДСТАНОВКИ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

§1. Решение уравнений

1.1  Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие. Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. Эквивалентность не нарушается при возведении обеих частей в нечетную степень. В противном случае требуется проверка найденных решений или оценка знака обеих частей уравнения. Но существуют и другие приемы, которые могут оказаться более эффективными при решении иррациональных уравнений. Например, метод тригонометрической подстановки.

Пример 1. Решите уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [12].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому можно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебраическое решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Значит, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому можно раскрыть модуль

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [14].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что равносильно условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому можно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Раскроем внутренний модуль

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяют два значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебраическое решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение перепишется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Проверкой устанавливаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – корень, тогда делением многочлена Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на двучлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.получаем разложение правой части уравнения на множители

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

От переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. перейдем к переменной Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. удовлетворяют два значения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тоже корень.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [31].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтому можно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Исходное уравнение перепишется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Перейдем от уравнения к равносильной системе

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Числа Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются корнями квадратного уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебраическое решение

Возведем обе части уравнения в квадрат

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Введем замену Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда уравнение запишется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Оказывается, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [4].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как переменная Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может принимать любые действительные значения, положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поделим обе части уравнения на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Учитывая подстановку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим совокупность из двух уравнений

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не может быть значением синуса, так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых значений аргумента.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Откуда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и правая часть исходного уравнения положительна, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Из чего следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это уравнение корней не имеет, так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебраическое решение

Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., предложенную И. Ф. Шарыгиным [57].

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Преобразуем правую часть уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С учетом преобразований уравнение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Введем замену Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Второй корень является лишним, поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если заранее не известна идея решения уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.

Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.

Пример 5. Решить уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [51].

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как переменная Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. может принимать любые действительные значения, можно положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В силу того, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., можно раскрыть модуль

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебраическое решение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Проверкой убеждаемся, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – корень.

Ответ: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.2 Рациональные уравнения

Тригонометрическая подстановка применяется при решении рациональных уравнений, когда уравнение не имеет рациональных корней или найденные рациональные решения не исчерпывают всего множества решений уравнения.

При решении иррациональных уравнений возможность введения тригонометрической подстановки была видна по структуре уравнения. В нескольких следующих задачах применение метода тригонометрической подстановки не так очевидно. Вот почему прежде чем ввести подстановку, нужно доказать законность такого введения.

Пример 1. Сколько корней имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. [37].

Решение этой задачи любым методом начинается одинаково. Докажем, что все корни данного уравнения принадлежат промежутку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Действительно, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Но тогда в исходном уравнении слева стоит произведение больше восьми, а справа единица, что невозможно.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда каждому корню Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. исходного уравнения будет соответствовать ровно один корень Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Наоборот, каждому корню Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. уравнения соответствует ровно один корень исходного уравнения. Таким образом, задача может быть переформулирована так: сколько корней на промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеет уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то можно взять Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Заметим, что если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - корень данного уравнения, то и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. тоже корень. Вот почему достаточно рассмотреть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то есть отыскать только положительные решения. С учетом выше изложенного исходное уравнение перепишется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то можно обе части равенства умножить на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ответ: шесть корней.

Алгебраическое решение Так как выражение от правой части равенства четное и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., выясним вопрос о наличии корней на промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Проверкой устанавливаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – корень. Рассмотрим функции от правой и левой частей уравнения, то есть функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. непрерывна на числовой прямой, то найдутся такие значения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поэтому на промежутке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. уравнение имеет три корня, а на всей числовой прямой – шесть корней.

Ответ: 6 корней.

В данном случае можно решать любым способом, но если количество корней на небольшом промежутке достаточно велико, вычисления могут оказаться громоздкими, и сам метод неэффективным. В этом случае на помощь приходит метод тригонометрической подстановки. Надо заметить, что решить вопрос о количестве корней можно с помощью производной, но в данном случае такое решение мало эффективно, так как затруднительно найти нули производной.

Пример 2. Решить уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если для выше приведенных задач не удается найти нетрадиционный путь решения, то все равно остается вероятность справиться с задачей с помощью стандартных школьных рассуждений, правда, затратив при этом гораздо больше времени. Эта задача лишает такого выбора, так как ее решение другим способом не представляется возможным.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Получили, что при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.

Положим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Уравнение примет вид

Рисуно
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 544

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>