Дипломная работа на тему "Алгоритмы с многочленами"

ГлавнаяМатематика → Алгоритмы с многочленами




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Алгоритмы с многочленами":


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НАБЕРЕЖНОЧЕЛНИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МЕТОДИКИ ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ

АЛГОРИТМЫ С МГНОГОЧЛЕНАМИ

/дипломная работа/

Набережные Челны

2006 год

Содержание

Дипломная работа опубликована на сайте rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам приобрести любые проекты по необходимой вам теме. Правильное выполнение дипломных работ по индивидуальному заказу в Казани и в других городах РФ.

Введение

1. Многочлены

2. Деление многочленов

2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости

2.2. Деление многочленов с остатком

2.3. Наибольший общий делитель многочленов

2.4. Алгоритм Евклида

3. Кратные корни

4. Производная от многочлена

5. Кратные множители

5.1. Выделение кратных множителей

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Тема моей дипломной работы: «Алгоритмы с многочленами».

Целью данной работы является изучение многочленов, алгоритмов с ними, рассмотрение возможностей составления различных программ. Для достижения поставленной цели необходимо рассмотреть следующие вопросы:

– делимость многочленов;

– деление многочленов с остатком;

– наибольший общий делитель, алгоритм Евклида;

– кратные корни;

– кратные множители, выделение кратных множителей;

– производные от многочленов.

Для выполнения дипломной работы я поставила следующие задачи:

1.  изучить литературу о многочленах;

2.  применить теорию высшей алгебры в решении задач элементарной математики;

3.  составить программы для нахождения частного и остатка при делении многочленов, наибольшего общего делителя двух многочленов, производной многочлена; разложения многочленов на кратные множители.

1. Многочлены

Общий вид уравнения n-ной степени (где n некоторое положительное число) есть

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1.1)

Коэффициенты Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. этого уравнения мы будем считать произвольными комплексными числами, причем старший коэффициент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должен быть отличным от нуля.

Если написано уравнение (1.1), то всегда предполагается, что требуется его решить, найти такие числовые значения для неизвестного x, которые удовлетворяют этому уравнению, то есть после подстановки вместо неизвестного и выполнения всех указанных операций обращают левую часть уравнения (1.1) в нуль.

Целесообразно заменить задачу решения уравнения (1.1) более общей задачей изучения левой части этого уравнения

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (1.2)

называемой многочленом n-ной степени от неизвестного х. Многочленом называется лишь выражение вида (1.2), то есть лишь сумма целых неотрицательных степеней неизвестного x, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами. В частности, мы не будем считать многочленами такие выражения, которые содержат неизвестное x с отрицательными или дробными показателями. Для сокращенной записи многочленов употребляются символы f(x), g(x) и так далее.

2. Деление многочленов

Теория многочленов в определенном отношении похожа на теорию целых чисел, хотя внешне эти две теории не имеют ничего общего. Внутренняя же близость, схожесть этих теорий объясняется тем, что для многочленов, так же как и для целых чисел, можно определить деление и, что еще более важно, деление с остатком.

  2.1. Делимость многочленов. Свойства делимости

Многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если существует такой многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что выполняется равенство

(2.1)

Например, из равенства следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.делится на многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и на многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в равенстве (2.1) определяется однозначно. Если бы существовал многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., удовлетворяющий равенству (2.1), то мы получили бы, что

(2.2)

откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Но многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по условию ненулевой, и в силу утверждения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.или Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. нулевом является многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.совпадает с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в равенстве (2.1) называется частным от деления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – делителем.

Укажем некоторые основные свойства делимости многочленов.

. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет делиться на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В самом деле, по условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делятся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то их сумма и разность также делятся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из равенствРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. вытекает Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

.Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то произведение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на любой многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также будет делиться на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из 2. и 3. вытекает следующее свойство:

. Если каждый из многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет делиться и многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - произвольные многочлены.

. Всякий многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на любой многочлен нулевой степени.

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а с - произвольное число, не равное нулю, то есть произвольный многочлен нулевой степени, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится и на сРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где с – произвольное число отличное от нуля.

Из равенства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. следует равенство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

. Многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и только они будут делителями многочлена Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеющими такую же степень, что и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Действительно, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. То есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., причем степени Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совпадают, то степень частного от деления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. должна быть равной нулю, то есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда вытекает следующее свойство:

. Тогда и только тогда многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. одновременно делятся друг на друга, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из 1. и 8. вытекает свойство:

. Всякий делитель одного из двух многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., будет делителем и для другого многочлена.

Свойства делимости многочленов могут быть применены для изучения делимости в множестве целых чисел. Выясним, например, для каких целых чисел n числоРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.является простым.

Натуральное число, отличное от 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя; целое отрицательное число k называется простым, если число –k простое.

Для ответа на поставленный вопрос заметим, что справедливо равенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2.3)

и поэтому число Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Следовательно, оно может быть простым только в случае, когда один из этих делителей равен 1 или –1, т. е. выполняется хотя бы одно из равенств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Остается проверить следующие значения n: 3, 1, 0, -3, -1 и –2. При этих значениях n рассматриваемое число равно соответственно 19, -5, 3, 4, так что искомое множество чисел есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Может возникнуть вопрос: откуда взялось равенство (2.3)? Как мы догадались, что многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. таким образом раскладывается на множители? Для нахождения разложений такого типа необязательно прибегать к искусственным группировкам, это можно сделать с помощью теории, которая будет изложена ниже.

Из этого примера видно, что уже для решения задач, связанных с делимостью целых чисел, полезно уметь выяснять, делится ли данный многочлен на некоторый другой многочлен (раскладывается ли на множители).Ответ на такой и многие другие вопросы можно найти с помощью деления многочлена с остатком.

  2.2. Деление многочленов с остатком

Для многочленов, как и для целых чисел, существует алгоритм деления с остатком.

Теорема о делении с остатком. Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно найти такие многочлены q(x) и r(x , что

f(x)=g(x)q(x)+r(x),

причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x)=0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию, определяются однозначно.

Если разности f(x)-r(x) и обе делятся на g(x), то их разность также делится на g(x). Если бы многочлен s(x) был ненулевым, то он имел бы степень меньшую, чем g(x), и не мог бы тогда делится на g(x). Следовательно, s(x)=0, так что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В практической деятельности для нахождения частного и остатка применяют способ вычисления, называемый «деление углом». Покажем его на примере.

Пример. Найти частный и остаток от деления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Частным от деления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., остатком – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Частным от деления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., остатком – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это правило в общем виде можно сформулировать так:

1) разделить старший член многочлена f(x) на старший член g(x) и записать результат «под длинной стороной угла»;

2)умножить g(x) на результат действия 1) и записать произведение под многочленом f(x);

3) вычесть из f(x) записанный под ним многочлен;

4) проверить имеет ли результат действия 3) степень меньшую, чем степень g(x); если да (или результат нулевой), то он является остатком, а под длинной стороной угла записано частное, если нет, то применить к этому результату действие 1), рассматривая его как многочлен f(x).

Я составила программу для нахождения частного и остатка.

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

type

TForm1 = class(TForm)

SGd1: TStringGrid;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

Edit4: TEdit;

Edit5: TEdit;

Edit6: TEdit;

Button1: TButton;

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Label3: TLabel;

Label4: TLabel;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

Label7: TLabel;

Label8: TLabel;

Label9: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

i, n,m, step, j,f:integer;

d, l,s:string;

a, a2,b, b2,k:array[0..100] of integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

n:=StrToInt(Edit1.Text);

m:=StrToInt(Edit2.Text);

for i:=n+1 downto 1 do begin

a[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[n-(i-1),0]);

end;

for i:=m+1 downto 1 do begin

b[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[m-(i-1),1]);

end;

s:='f1(x)=';

for i:=n+1 downto 1 do begin

if a[i]<>0 then begin if(a[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(a[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(a[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

end;

end;

Edit3.Text:=s;

s:='f2(x)=';

for i:=m+1 downto 1 do begin

if b[i]<>0 then begin if(b[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(b[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(b[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

end;

end;

Edit4.Text:=s;

for j:=N+1 downto 1 do begin

a2[j]:=a[j];

b2[j]:=0;

end;

step:=n-m;

f:=n+2;

for i:=step+1 downto 1do begin

f:=f-1;

k[i]:=a2[f];

for j:=m+1 downto 1do begin

b2[j]:=k[i]*b[j];

end;

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]*b[m+1];

end;

for j:=f downto 1 do begin

a2[j]:=a2[j]-b2[j+1-i];

b2[j]:=0;

end;

end;

s:='h(x)=';

for i:=f downto 1 do begin

if k[i]<>0 then begin if(k[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(k[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(k[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

end;

end;

Edit5.Text:=s;

s:='r(x)=';

for i:=n downto 0 do begin

if a2[i]<>0 then begin if(a2[i-1]<0)or(i=1) then begin

str(a2[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d;

end

else begin

str(a2[i],l);

str(i-1,d);

s:=s+l+'x^'+d+'+';

end;

end;

end;

Edit6.Text:=s;

end;

end.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

  2.3. Наибольший общий делитель многочленов

Пусть даны произвольные многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Многочлен будет называться общим делителем для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если он служит делителем для каждого из этих многочленов. Свойство 5. показывает, что к числу общих делителей многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. принадлежат все многочлены нулевой степени. Если других общих делителей эти два многочлена не имеют, то они называются взаимно простыми.

В общем же случае многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. могут обладать делителями, зависящими от Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и введем понятие о наибольшем общем делителе этих многочленов.

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется такой многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., который является их общим делителем и, вместе с тем, сам делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Обозначается наибольший общий делитель многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. символом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Это определение оставляет открытым вопрос, существует ли наибольший общий делитель для любых многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Ответ на этот вопрос положительный. Существует метод для практического разыскания наибольшего общего делителя данных многочленов, называемый алгоритмом последовательного деления или алгоритмом Евклида.

  2.4. Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида метод для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также двух многочленов от одного переменного. Он первоначально был изложен в «Началах» Евклида в геометрической форме как способ нахождения общей меры двух отрезков. Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя, как в кольце целых чисел, так и в кольце многочленов от одного переменного является частным случаем некого общего алгоритма в евклидовых кольцах.

Алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. состоит в последовательном делении с остатком Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., затем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на первый остаток , затем на второй остаток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и так далее. Так как степени остатков все время понижаются, то в этой цепочке последовательных делений мы дойдем до такого места, на котором деление совершится нацело и процесс остановится. Последний отличный от нуля остаток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., на который нацело делится предыдущий остаток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., и является наибольшим общим делителем многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для доказательства запишем изложенное в виде следующей цепочки равенств:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

(2.4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Последнее равенство показывает, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. служит делителем для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда следует, что оба слагаемых правой части предпоследнего равенства делятся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а поэтому Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будет делителем и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Далее, таким же путем, поднимаясь вверх, мы получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является делителем и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., …, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Отсюда ввиду второго равенства, будет следовать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. служит делителем для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а поэтому, на основании первого равенства, - и для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Возьмем теперь произвольный общий делитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как левая часть и первое слагаемое правой части первого из равенств делятся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также будет делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Переходя ко второму и следующему равенствам, таким же способом получим, что на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делятся многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., … Наконец, если уже будет доказано, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делятся на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то из предпоследнего равенства получим, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. делится на Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на самом деле будет наибольшим общим делителем для Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Мы доказали, что любые два многочлена обладают наибольшим общим делителем, и получили способ его вычисления. Этот способ показывает, что если многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеют оба рациональные или действительные коэффициенты, то и коэффициенты их наибольшего общего делителя также будут рациональными или, соответственно, действительными, хотя у этих многочленов могут существовать и такие делители, не все коэффициенты которых рациональны (действительны).

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть наибольший общий делитель многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то, как показывают свойства 8. и 9., в качестве наибольшего общего делителя этих многочленов можно было бы выбрать также многочлен Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - произвольное число, отличное от нуля. Иными словами, их наибольший общий делитель двух многочленов определен лишь с точностью до множителя нулевой степени. Ввиду этого можно условиться, что старший коэффициент наибольшего общего делителя двух многочленов будет всегда считаться равным единице. Используя это условие можно сказать, что два многочлена тогда и только тогда взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен единице. В самом деле, в качестве наибольшего общего делителя двух взаимно простых многочленов можно взять любое число, отличное от нуля, но, умножая его на обратный элемент, получим единицу.

Применяя алгоритм Евклида к многочленам с целыми коэффициентами, можем, чтобы избежать дробных коэффициентов, умножить делимое или сократить делитель на любое не равное нулю число, причем не только начиная какое-либо из последовательных делений, но и в процессе самого этого деления. Это будет приводить к искажению частного, но интересующие нас остатки будут приобретать лишь некоторый множитель нулевой степени, что при разыскании наибольшего общего делителя допускается.

Пример. Найти наибольший общий делитель многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Совершим требуемые деления с остатком:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Построение последовательности Евклида закончено. Ее последний член Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть наибольший общий делитель исходных многочленов.

2. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Совершим требуемые деления с остатком:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ‌‌‌‌‌‌‌‌‌ ||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Построение последовательности Евклида закончено. Ее последний член Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть наибольший общий делитель исходных многочленов.

Я составила программу для нахождения наибольшего общего делителя двух многочленов:

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, Grids;

type

TForm1 = class(TForm)

Label1: TLabel;

Label2: TLabel;

Edit1: TEdit;

Edit2: TEdit;

SGd1: TStringGrid;

Label3: TLabel;

Button1: TButton;

Label4: TLabel;

Edit4: TEdit;

Label5: TLabel;

Label6: TLabel;

procedure Button1Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

end;

var

Form1: TForm1;

st1,st2:integer;

kof1,kof2,k1,k2:array[0..10] of integer;

implementation

{$R *.dfm}

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

var i, j,k_1,st3,l:integer;

sokr:boolean;

k2_2,k1_1:array[0..10] of integer;

begin

st1:=StrToInt(Edit1.Text);

st2:=StrToInt(Edit2.Text);

for i:=0 to st1 do begin

kof1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,0]);

k1[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,0]);

end;

for i:=0 to st2 do begin

kof2[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,1]);

k2[i]:=StrToInt(SGd1.Cells[i,1]);

end;

while kof2[0]<>0 do begin

repeat

Edit4.Text:='';

k_1:=k1[0];

if k1[0]<>kof2[0] then begin

if (k1[0] mod kof2[0])=0 then begin

for j:=0 to st2 do

k2[j]:=(k1[0] div kof2[0])*kof2[j];

end

else begin

if k2[0]<>1 then

for j:=0 to st1 do

k1[j]:=kof2[0]*k1[j];

if k_1<>1 then begin

for j:=0 to st2 do

k2[j]:=k_1*kof2[j];

end;

end;

end;

for i:=1 to st1 do begin

k1[i-1]:=k1[i]-k2[i];

end;

st1:=st1-1;

until st1<st2;

if k1[0]<>0 then begin //Сокращение

sokr:=true;

for i:=1 to st1 do

if k1[i]<>0 then begin

if (k1[i] mod k1[0])<>0 then sokr:=false;

end;

k_1:=k1[0];

if sokr=true then

for i:=0 to st1 do

k1[i]:=k1[i] div k_1;

end;

for i:=0 to st2 do //Замена многочленов

k2_2[i]:=kof2[i];

for i:=0 to st1 do

k1_1[i]:=k1[i];

for i:=0 to 10 do begin

kof1[i]:=0;

k1[i]:=0;

kof2[i]:=0;

k2[i]:=0;

end;

for i:=0 to st2 do begin

k1[i]:=k2_2[i];

if k1[i]<>0 then

Edit4.Text:=Edit4.Text+IntToStr(k1[i])+'x^'+IntToStr(st2-i);

if (k2_2[i+1]>0)and(i<st2) then Edit4.Text:=Edit4.Text+'+';

end;

for i:=0 to st1 do begin

k2[i]:=k1_1[i];

kof2[i]:=k1_1[i];

end;

st3:=st1;

st1:=st2;

st2:=st3;

end;

end;

end.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Используем алгоритм Евклида для доказательства следующей теоремы:

Теорема. Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть наибольший общий делитель многочленов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то можно найти такие многочлены Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файл
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 633

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>