Дипломная работа на тему "Алгебра октав"

ГлавнаяМатематика → Алгебра октав




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Алгебра октав":


Оглавление

Введение

§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

§2. Дополнительные сведения об октавах

2.1 Действия над октавами

2.2 Сопряженные октавы и их свойства

2.3.Некоторые тождества для октав

§3. Теорема Гурвица

3.1 Нормированные линейные алгебры

3.2 Теорема Гурвица

§4. Обобще нная теорема Фробениуса

Список литературы

Введение

Заказать дипломную - rosdiplomnaya.com

Новый банк готовых защищённых студентами дипломных проектов предлагает вам приобрести любые проекты по необходимой вам теме. Качественное написание дипломных работ на заказ в Краснодаре и в других городах России.

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание - "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы - выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т. е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если, обозначить октаву покомпонентно как

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., если:

I. Алгебра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть подтело алгебры Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

III. е2 = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;

IV. Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u, v)|uРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.K Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.K}, где К - множество кватернионов. По определению, (u1;v1) = (u2;v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u1 = u2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v1 = v2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u1;v1) + (u2;v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2);

(u1;v1) * (u2;v2) = (u1u2 - v2v1 ; v2 u1 + v1 ū2).

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебраРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u1;v1) + (u2;v2)) + (u3;v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) + (u3; v3) = ((u1 + u2) + u3; (v1 + v2) + v3) = (u1 +( u2 + u3); v1 + (v2 + v3)) = ((u1; v1) + (u2+ u3; v2+ v3) = (u1; v1) + ((u2; v2) + (u3; v3)),

т. е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u1; v1) + (u2; v2) = (u1 + u2 ; v1 + v2) = (u2 + u1; v2 + v1) = (u2; v2) + (u1; v1),

т. е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u+ x = u^ v+ y= v ;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x = 0, y = 0 ,т. е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u+ x = 0^ v+ y= 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x = - u ^ y = - v, т. е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u1; v1) + (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) = (u1 + u2 ; v1 + v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) = ((u1 + u2) u3 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3(v1 + v2); v3(u1+u2)+ (v1 + v2)ū3) = (u1 u3 + u2 u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 3v1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3v2; v3u1+ v3u2+ v1 ū3 + v2ū3).

С другой стороны:

(u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) + (u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) = (u1u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2 u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1 u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 3v1 + u2 u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u1; v1) + (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) = (u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) + (u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3),

т. е. умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2) + (u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1).

Действительно, с одной стороны:

(u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v (u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)v3;

(v1+ v2)u3+ v3(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.))= (u3 u1 + u3u2 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v3 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3ū1+ v3ū2);

с другой стороны:

(u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1) +(u3; v3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2) = (u3 u1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v3; v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v3; v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 1v1 + u3 u2 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 2v3; v1 u3 + v3ū1 + v2 u3 + v3ū2).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. дистрибутивно слева относительно сложения.

6) Покажем, что умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) = (u1 u2 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 2v1; v2 u1 + v1 ū2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) = ((u1 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1)u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3(v2 u1 + v1ū2);

v3(u1 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2 u3 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1u3 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3v2 u1 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3v1ū2; v3u1u2 - v3Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1 - v2 u1 ū3 - v1ū2 ū3).

С другой стороны:

(u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3)) = (u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2u3 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3v2) – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v1;

v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.3v2 –Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v1 - u3Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1; v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3) ≠ (u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u3; v3))

т. е. умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u1;v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2;v2) = (u1u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1 ; v2 u1 + v1 ū2);

(u2;v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1;v1) =(u2u1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2 ; v1 u2 + v2 ū1).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u1;v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2;v2) ≠ (u2;v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1;v1)

т. е. умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2) = (u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2) = (u1 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1; v2 u1 + v1 ū2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2) = ((u1 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1)u2 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2(v2 u1 + v1ū2);

v2(u1 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1u2 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2 u1 -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1ū2; v2u1u2 - v2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1 - v2 u1 ū2 - v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = (u1 u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1 (u2 + ū2) – |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2) - v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- |v2|2v1) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) = (u1; v1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2; v2 u2 + v2 ū2) = (u1(u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2) –(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)v1;

v1 (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) + (v2 u2 + v2 ū2) u1) = (u1u2 u2 - u1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2 –Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v1 – u2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1;

v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2 + v2 u2 u1+ v2 ū2 u1) = (u1 u2 u2 - (u2 + ū2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1 – u1|v2|2; (u2 + ū2) v2u1 + v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - v1|v2|2).

Здесь следует учитывать, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2 = v2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 = |v2|2 и u2 + ū2 - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1)) = ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1)) = (u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2u1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2; v1 u2 + v2 ū1) = (u2(u1 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1) – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v2;

(v1 u2 - v2 ū1) u2 + v2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = (u2u1 u2 - u2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2 –Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v2 - u1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2; v1u2u2 + v2 ū1 u2 + v2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- v2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v1) = (u2u1 u2 - u1 |v2|2 - (u2 + ū2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2; v1u2u2 + v2 ū1(u2 + ū2) - |v2|2 v1).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u2; v2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; v2)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1) = (u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2; v2 u2 + v2 ū2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u1; v1) = ((u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2) u1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1(v2 u2 + v2 ū2);

v1(u2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2) + (v2 u2 + v2 ū2) ū1) = (u2 u2 u1- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2 u1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2 u2 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2 ū2; v1u2 u2 - v1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2v2 + v2 u2 ū1 + v2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = u2 u2 u1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.1v2(u2 + ū2) - |v2|2u1; v1u2 u2 - v1 |v2|2+ v2 ū1 (u2+ ū2).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решим уравнение:

(u; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:

(u; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (х; у) = (u; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(хu - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.y; уи + vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = (и; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,откуда:

(u-1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u) x = u-1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v+ u-1uРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=1+ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.уи.

Подставим полученное значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. во второе уравнение системы:

v(1+ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.уи) + уи = vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v+ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.уи+ уи = vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.уи+уи=0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+1)уи=0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение. системы имеет вид vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т. е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решим уравнение:

(х; у) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:

(х; у) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (и; v) = (и: v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (хи - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.y; vх - уū) = (и; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., откуда:

x(uРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u-1) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+ u*u-1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x = 1+ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yū,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yū) + уū= vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yū + уū= vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yū+ уū= 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+ 1)уū =0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначим (1; 0) = 1U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (х: у) = (1; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (их - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v; уи+ vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = (1; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u-1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2, откуда:

(u-1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u) x = u-1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v + u-1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.v Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yu.

Подставим полученное значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. во второе уравнение системы:

vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.+ уи= 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yu + уи= 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(|u|2 + |v|2) yu = - vu Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (|u|2 + |v|2) y = - v,

откуда

у = - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда из второго уравнения системы

vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u =0Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. =0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Итак, пара

(x; y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. решим уравнение:

(х; у) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:

(х; у) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u; v) = (1; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (xu - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.y; vx + yū) = (1; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 откуда:

x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (uРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u-1) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 + Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2 (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yū + ū).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

vРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yū + + ū) + yū = 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(|u|2 + |v|2) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Умножим это равенство справа на u-1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., тогда

x = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. *Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Итак, пара

(x; y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; -Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначим его (u, v)-1.

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из 1)-11) следует, что алгебра Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т. е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U1 = {(u; 0)| u Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K}. Ясно, что U1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. K x K.

Покажем, что множество U1 замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. U1;

(u1, 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2, 0) = (u1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u2 – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.0; 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u1 + 0 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ū2) = (u1 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u2: 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. U1.

Далее:

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. U1;

(u; 0)-1 =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. U1,

откуда следует, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть под тело алгебры Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Покажем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. изоморфно телу кватернионов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для этого рассмотрим отображение f : U1 → K такое, что (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(u; 0) є U1) f ((u; 0)) = u, т. е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u1; 0) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u2 = f ((u1; 0)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. f ((u2; 0));

f ((u; 0)-1) = f ((Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; 0)) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. u1 = u2 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (и1; 0) = (и2; 0) и f (U1) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на тело кватернионов (К, +, .), т. е. тело Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 546

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>