Дипломная работа на тему "*-Алгебры и их применение"

ГлавнаяМатематика → *-Алгебры и их применение




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "*-Алгебры и их применение":


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В. И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

--------------------------------------------------

студент 5 курса специальности математика

__________ __________ _____________

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ассистент каф. алгебры и функционального анализа

__________ __________ _____________

профессор, доктор физико-математических наук

__________ __________ _____________

РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:

зав. кафедрой, профессор, д. ф.м. н.

__________ __________ _____________

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Уникальный банк готовых защищённых на хорошо и отлично дипломных работ предлагает вам написать любые работы по нужной вам теме. Профессиональное написание дипломных работ по индивидуальным требованиям в Ростове-на-Дону и в других городах России.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава . Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2 …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2 (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть – гильбертово пространство, (Н) – множество непрерывных линейных операторов в. Рассмотрим подмножество в (Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в (Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г. Фробениуса, И. Шура, В. Бернсайда, Ф. Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, *-алгебр была разработана И. М.Гельфандом, М. А. Наймарком, И. Сигалом, Ж. Диксмье, А. А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P2

P2 = < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:

4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;

π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.

И двумерные: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. τ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств , а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор для того чтобы = Р1+Р2 или = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г. Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.
Глава . Основные понятия и определения

§ 1. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- алгебры

1.1.  Определение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- алгебры.

Определение 1.1. Совокупность элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

1)  есть линейное пространство;

2)  в введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:

α (x y) = (α x) y,

x (α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и любых чисел α.

Два элемента x, y алгебры называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть – алгебра над полем комплексных чисел. Инволюцией в называется такое отображение x x* алгебры в, что

(i)  (x*)* = x;

(ii)  (x + y)* = x* + y*;

(iii)  (α x)* = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. x*;

(iv)  (x y)* = y*x* для любых x, y Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. .

Алгебра над, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в необходимо является биекцией на.

1.2. Примеры

1)  На = отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая в коммутативную *- алгебру.

2)  Пусть – локально компактное пространство, = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.: |f (t)| Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ε} компактно, f (t) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. . Снабжая отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру. Если сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

3)  Пусть – гильбертово пространство. А = – алгебра ограниченных линейных операторов в. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда - *- алгебра.

4)  Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве ; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию →А* Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.К(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар SРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в себя. Значит не может быть компактным оператором.

5)  Обозначим через совокупность всех абсолютно сходящихся рядов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Алгебра есть *- алгебра, если положить Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра называется алгеброй с единицей, если содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.А (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры.

Теорема 1.1. Алгебра не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в, то

е΄х = хе΄ = х, для всех хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, хРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),

(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, х, так как по условию не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, х, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра получится при α = 0.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), х, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),

(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), х А и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого х А элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х12 + х22 + i(х2х1 – х1х2),

хх* = х12 + х22 - i(х2х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2 перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при х, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1 = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из х А1 следует, что х* А1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество SРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1 .

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности отсюда следует, что х-1 .

Определение 1.6. Элемент х А - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы образуют группу по умножению – унитарную группу. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть и – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) в такое отображение f множества в, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,y , α . Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность элементов алгебры называется левым идеалом, если:

(i)  ≠ ;

(ii)  Из х, y следует x + y ;

(iii)  Из х, а α А следует α х

Если = , то называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть – двусторонний идеал в алгебре. Два элемента х, y из назовем эквивалентными относительно идеала, если х-y . Тогда вся алгебра разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры по идеалу и обозначается.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из х следует х* .

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит в, то есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре по самосопряженному двустороннему идеалу можно определить инволюцию следующим образом. Если х-y , то х*-y* . Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу переходит в некоторый другой класс вычетов по. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм на А΄, то полный прообраз нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в. Фактор-алгебра *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента х А в содержащий его класс вычетов по есть *-гомоморфизм алгебра на.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть - *-алгебра, – гильбертово пространство. Представлением в называется *-гомоморфизм *-алгебры в *-алгебру ограниченных линейных операторов.

Иначе говоря, представление *-алгебры в есть такое отображение из в, что

π (x+y) = π (x) + π (y), π x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y А и α .

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π1 и π2 инволютивной алгебры в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий π1(х) в π2(х) для любого х, то есть

π1(х) = π2(х) U для всех х Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех х ) плотно в. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н называется инвариантным, относительно представления π, если π ()Н1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (х ) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения π(х) на Н1 определяют подпредставления π1 *-алгебры в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех g Н1. Тогда для любого х (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)g Н1. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в на подпространство Н1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н1.

Теорема 2.2. Н1 – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 – инвариантное подпространство и f Н1, но также π(х)f Н1. Отсюда для любого вектора f

π(х)Р1f Н1

следовательно, Р1π(х)Р1f = π(х)Р1f ,

то есть Р1π(х)Р1 = π(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1π(х)Р1 = Р1π(х).

Следовательно, Р1π(х) = π(х)Р1; операторы Р1 и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для f Н1

Р1π(х)f = π(х)Р1f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н1. Это означает, что Н1 – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из есть предел конечных сумм вида

h = f1 + … + fn, где f1,, fn – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f1 +…+ π(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть – произвольное множество. Пусть (πi)i I - семейство представлений *-алгебры в гильбертовом пространстве i (i ). Пусть

|| πi (х) || ≤ сх

где сх – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через прямую сумму пространств i, то есть Н = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.i. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в, который индуцирует πi (х) в каждом i. Тогда отображение х → π(х) есть представление в, называемое прямой суммой представлений πi и обозначаемое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.πi или π1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.…..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.πn в случае конечного семейства представлений (π1…..πn). Если (πi)i I – семейство представлений *-алгебры, совпадающих с представлением π, и если Card = c, то представления Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.πi обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в верхнюю грань, то содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f00 – какой-либо вектор из. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 – инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления π.

Если Н1 = , то предложение доказано; в противном случае -Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через совокупность всех систем {α}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {α} будет объединение этих систем. Поэтому в существует максимальная система {α}. Но тогда Н=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.α; в противном случае в инвариантном подпространстве -(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.α) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {α}Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н0 , содержащую максимальную систему {α}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При f , f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , х, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

f | α } инвариантно и потому совпадает с, то есть π(х)=0 в. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и – отличное от {0} и инвариантное подпространство в, то никакой вектор f из не будет циклическим для представления π в.

Теорема 2.6. (И. Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π () в сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ0 такое, что E(λ) =0 при λ<λ0 и E(λ) =1 при λ>λ0 . Отсюда

В=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.λ dE(λ) = λ0 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., В2=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н Н΄ такой, что π(х)=π΄(х) для любого х, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т : Н Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда * : Н΄ Н является оператором, сплетающим π΄ иπ, так как

΄(х) = (π΄(х))* = (π(х*))* = π(х)*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=΄(х)= π(х)*Т (2.1.)

Поэтому = (*)1/2 перестановочен с π(). Пусть = - полярное разложение. Тогда для любого х

π(х) = π(х)= π(х)= π΄(х)Т=π΄(х) (2.2.)

Если Ker={0}, то (Н) всюду плотно в и из (2.2.) следует

π(х) = π΄(х) (2.3.)

Если, кроме того, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.= Н΄, то есть если KerT*={0}, то является изоморфизмом и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры в гильбертовых пространствах и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что * и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры. Тогда π = π1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.…..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.πn , где πi неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.…..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.πn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ1, ρ2 – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 – проекторы на Н1 и Н2. Они коммутируют с π(). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ρ1 и ρ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ1 и ρ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из πi . Итак, перегруп-
пировав πi , получаем, что π = ν1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.…..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.νm, где каждое νi есть кратное ρiνi΄ неприводимого представления νi΄, и νi΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам i, отвечающих νi, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из i. Это доказывает, что каждое пространство i определяется однозначно: i – это подпространство, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных νi΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ1ν1΄Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.…..Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ρmνm΄ представления π, (где ν1΄,…, νm΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρi и классы представлений νi΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество, снабженное множеством подмножеств, обладающим следующими свойствами: , Ø , В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 – борелевские пространства. Отображение f: Т1Т2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на есть пара ε = (((t))t T, ), где ((t))t T – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают, а – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) – векторное подпространство Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t);

(ii)  существует последовательность (х1, х2,…) элементов таких, что для любого t элементы хn(t) образуют последовательность (t);

(iii)  для любого х функция t||x(t)|| μ – измерима;

(iv)  пусть х – векторное поле; если для любого y функция t(x(t), y(t)) μ – измерима, то х.

Пусть ε = (((t))t T, ) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если х и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λ ) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство, называемое прямым интегралом (t) и обозначаемое Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = (((t))t T, ) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на. Пусть для любого t определен оператор (t) ((t)). Если для любого х поле t(t)x(t) измеримо, то t(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть – борелевское пространство, μ - положительная мера на, t(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на. Пусть для каждого t задано представление π(t) *-алгебры в (t): говорят, что tπ(t) есть поле представлений.

Определение 2.11. Поле представлений tπ(t) называется измеримым, если для каждого х поле операторов tπ(t измеримо.

Если поле представлений tπ(t) измеримо, то для каждого х можно образовать непрерывный оператор π(х)=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление в.

Доказательство. Для любых х, y имеем

π(х+y) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) (x+y) dμ(t) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) (x )dμ(t) +

+Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), πy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)(t) (t) где (t)-единичный оператор в (t), называется диагональным оператором в =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t)dμ(t).

Пусть ε = (((t))t T, ) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на, μ1 – мера на, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)= . Тогда отображение, которое каждому х ==Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ1(t),

есть изометрический изоморфизм на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть – борелевское пространство, μ – мера на, t(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на, tπ(t) – измеримое поле представлений в (t),

=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ(t) , π1==Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t )dμ(t),

– алгебра диагональных операторов в. Пусть μ1 – мера на, эквивалентная μ,

Н1 =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ1(t) , π1 =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) dμ1(t),

Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и в Д1.

Доказательство. Пусть ρ(t)= . Канонический изоморфизм из в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x(t) dμ(t) в

Ux = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.ρ-1/2х(t) dμ1(t).

Пусть α . Имеем

π1(α)Ux = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t)(α) х(t) dμ(t) = π(α)x,

поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если , то аналогично SUx = USx, для любого х.

Определение 2.14. Пусть, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на и Т1 соответственно; ε = (((t))t T, ), 1 = ((1(t1))t1 T1, ), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т1 – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство ((t))t T, обладающееследующими свойствами:

(i)  для любого t отображение (t) является изоморфизмом (t) на Н1(η(t));

(ii)  для того, чтобы поле векторов tx(t) (t) на было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.

Отображение, переводящее поле х =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ(t) в поле η(t))→(t)х(t) Н1 = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм на Н1, обозначаемый Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть – борелевское пространство; μ – мера на, t(t)μ- измеримое поле гильбертовых пространств на, tπ(t) - μ- измеримое поле представлений в (t),

=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t) dμ(t), π ==Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t) dμ(t),

– алгебра диагональных операторов в. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t11(t1), t1π1(t1), Н1, π1, Д1.

Предположим, что существует:

1.  , 1 – борелевские подмножества и Т1, такие что μ () = μ (1) = 0;

2.  борелевский изоморфизм η: 1, преобразует μ в μ1;

3.  η-изоморфизм t(t) поля t(t) (t ) на поле t1Н1(t1) (t1 Т1\1) такой, что (t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.

Тогда V =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(t)dμ(t) преобразует в Д1 и π в π1.

Доказательство. Обозначим через t, t1 единичные операторы в (t) и Н1(t1). Если f (, μ) и если f1 – функция на Т1\1, получаемая из f|() при помощи η, то преобразует Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.f(t)t dμ(t) в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.f1(t1) t1 1(t1), поэтому преоб-
разует в Д1. С другой стороны, пусть α и х = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.х(t) dμ(t) .

Тогда

π(α= Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π(t)(α) х(t) dμ(t) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-1(t1)) π-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.π1(t1)(α) -1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) х

Поэтому преобразует π в π1.

Приведем примеры прямых интегралов.

1.  Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и дискретная мера μ на, то есть μ(n)=1 для любого n . Тогда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(n) dμ(n) = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

2.  Пусть =[0, 1] и в каждой точке t соответствует поле комплексных чисел, и на задана линейная мера Лебега dt. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. dt = 2 (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.х(t) dtх(t) L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3.1.)

α = (α1,…, αn) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,…, n и обозначается Н1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,…, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Нn = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Его векторы имеют вид:

f = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (fα ), || f ||2 =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.< ∞ (3.2.)

Пусть g = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен тол
<p>Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 501

Другие дипломные работы по специальности "Математика":

Интеграл Лебега-Стилтьеса

Смотреть работу >>

Расширение кольца с помощью полутела

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

Смотреть работу >>

Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

Смотреть работу >>

Кольцо целых чисел Гаусса

Смотреть работу >>