Дипломная работа на тему "Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех"

ГлавнаяКоммуникации и связь → Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех":


Содержание

1. Вводные замечания

2. Модели сигналов и помех

3. Вероятностные характеристики случайных процессов

4. Энергетические характеристики случайных процессов

5. Узкополосные случайные процессы

6. Временные характеристики случайных процессов

7. Особенности нестационарных случайных процессов

8. Классификация случайных процессов

Библиографический список


1. Вводные замечания

В процессе приема сигналов на вход приемного устройства поступает либо смесь сигнала и помехи, либо помеха. Оптимальное приемное ус тройство обнаружения на первичном этапе обработки должно наилучшим образом вынести решение о принятом сигнале, т.е. определить, присутствует или отсутствует сигнал, какой тип сигнала присутствует (на втором этапе обработки), оценить значение того или иного параметра (амплитуды, длительности, времени прихода, направление прихода и т.д.). Сформулированная задача может решаться при априорно неизвестных моделях сигналов и помех, при неизвестных (мешающих) параметрах или неизвестных распределениях сигналов и помех. Основная цель заключается в синтезе оптимальной структуры приемного устройства. Синтезированная структура чаще всего практически нереализуема, однако ее эффективность является потенциальной и дает верхнюю границу эффективности любых практически реализуемых структур.

Синтез оптимальных процедур обработки сигналов и помех может производиться с использованием различных методов оптимизации:

1. Использование корреляционной теории:

а) критерий максимума отношения сигнал/помеха;

б) критерий минимума среднеквадратической ошибки.

2. Использование теории информации для максимизации пропускной способности системы. Главное направление – построение наилучших методов кодирования.

Применение теории статистических решений.

Задача оптимизации может быть решена только при наличии критерия, который задается разработчиком системы.

Чтобы воспользоваться теорией статистических решений при синтезе оптимальных приемных устройств, необходимо иметь математические модели сигналов и помех. Эти модели должны включать описание формы сигнала (если она известна). Статистические характеристики и характер взаимодействия сигнала и помехи вплоть до n-мерных плотностей вероятностей.

Теория статистических решений имеет следующие составные части:

1) теорию проверки статистических гипотез:

а)      двухальтернативные задачи обнаружения или распознавания сигналов;

б)      многоальтернативные задачи при различении многих сигналов на фоне помех;

2) теорию оценки параметров, если эти параметры составляют счетное множество;

3) теорию оценки процесса, который необходимо выделить из входной смеси с минимальной ошибкой.

Постановка задачи синтеза оптимального приемного устройства и ее решение существенным образом зависят от объема априорных (доопытных) сведений о характеристиках сигналов и помех. По объему априорных данных различают задачи с полной априорной определенностью (детерминированный сигнал и помеха с полностью известными вероятностными характеристиками), с частичной априорной определенностью (имеются известные параметры сигнала и помехи) и с априорной неопределенностью (известны лишь некоторые сведения о классах сигналов и помех) [5]. Следует заметить, что эффективность разработанных обнаружителей и измерителей параметров существенно зависит от объема априорной информации.

Следует заметить, что, если о сигналах и помехах ничего неизвестно (полностью отсутствует информация о них), то такая задача не может быть решена.


217324396">2. Модели сигналов и помех

Сигнал – это процесс, служащий для передачи информации или сообщения. Остальные процессы, воспринимаемые приемным устройством вместе с сигналом, являются помехами.

Сигналы классифицируются по объему априорных сведений:

а)      детерминированные сигналы (неслучайные);

б) детерминированные по форме сигналы со случайными параметрами (квазислучайные);

в) псевдослучайные, шумоподобные сигналы (они близки по свойствам к случайным процессам, но генерируются детерминированным образом и при воспроизведении полностью повторяются);

г) случайные сигналы.

В зависимости от характера изменения во времени сигналы подразделяются на дискретные и непрерывные. Дискретные сигналы используются в цифровых устройствах, в радиолокации. Непрерывные (континуальные) – в телефонии, радиовещании, телевидении и т.д. В последнее время дискретные сигналы используются и в цифровом телевидении и радиовещании.

Каждый сигнал может быть охарактеризован по степени сложности в зависимости от величины, называемой базой сигнала: B = F∙T, где F – эффективная ширина спектра сигнала; Т – эффективная длительность сигнала. Если B » 1, то сигнал называется простым, при B >> 1 – сложным сигналом. Сложные сигналы получают либо из совокупности простых сигналов, либо с помощью модуляции. К сложным сигналам могут быть отнесены шумовые и шумоподобные сигналы. У таких сигналов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Т – эффективная длительность сигнала (когда сигнал эквивалентен по энергии сигналу с прямоугольной формой); Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – интервал корреляции процесса.

В различных системах, как правило, излучают радиосигналы, отличающиеся по виду модуляции: амплитудно-модулированные, частотно-модулированные, фазомодулированные, сигналы с импульсными видами модуляции; манипулированные (по амплитуде, частоте, фазе и совмещенные) сигналы.

В радиолокации чаще всего излучается последовательность радиоимпульсов.

Упрощенная структура РЛС представлена на рис. 1, где использованы следующие обозначения: РПУ – радиопередающее устройство; РПрУ – радиоприемное устройство; АП – антенный переключатель; s0(t) – зондирующий сигнал; s(t) – отраженный сигнал; А – антенна; О – обнаруживаемый объект; V – скорость сканирования антенны. Облучение пространства производится периодическим зондирующим сигналом.

Импульс отражается от объекта обнаружения и возвращается с задержкой к антенне РЛС. Задержка определяется расстоянием между РЛС и объектом. Интенсивность отраженного сигнала зависит от эффективной поверхности рассеяния (ЭПР) объекта и условий распространения радиосигнала. В РЛС одна и та же антенная система используется при передаче и приеме сигналов. Интенсивность облучения объекта зависит от формы диаграммы направленности антенны и угла между направлением на объект и направлением максимального коэффициента направленного действия. При сканировании антенной системы (механическом или электронном вращении диаграммы направленности) огибающая пачки импульсов отраженного сигнала повторяет форму диаграммы направленности (рис. 1). В режиме сопровождения объекта огибающая пачки импульсов может иметь прямоугольную форму.


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 1

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис 1

При обзоре время облучения ограничено, и принимаемый сигнал представляет собой ограниченную по времени пачку радиоимпульсов. Модуляция по амплитуде импульсов в пачке определяется не только формой диаграммы направленности, но и скоростью V обзора, от нее зависит и число импульсов в пачке. Обычно огибающая пачки – детерминированная функция, поскольку вид диаграммы направленности и скорость обзора известны.

Запаздывание отраженного сигнала зависит от дальности r до объекта – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где c – скорость распространения радиоволны в пространстве. При распространении сигнал ослабляется относительно излученного в 106 – 1010 раз по напряжению. Кроме того, изменение угла между направлением максимума диаграммы направленности антенны и объектом и поворот объекта за время облучения приводит к случайным изменениям амплитуды импульсов принимаемого сигнала. За счет радиальной скорости объекта Vr изменяется и частота отраженного сигнала (доплеровский эффект), при этом приращение частоты несущего колебания Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Изменяются параметры сигнала в канале связи и во входных трактах приемной системы.

При отражении сигнала от объекта происходит изменение поляризации падающей волны. Эти изменения зависят от формы объекта и могут быть использованы при распознавании объектов.

Построить модель сигнала, которая учитывала бы все эти влияния и изменения сложно, поэтому учитывают только часть рассмотренных изменений.

Основные модели сигналов

а) Детерминированный сигнал:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Все параметры сигнала: амплитуда А, закон ее изменения во времени S0(t), частота w0 и закон изменения начальной фазы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. во времени известны, т.е. огибающая S(t) и фаза Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. являются детерминированными функциями времени.

б) Одиночный сигнал со случайной амплитудой и фазой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где А, j, t – случайные параметры.

Случайные параметры задаются плотностями вероятности. Распределение амплитуд А чаще всего полагают релеевским

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,


где s2 – дисперсия флюктуаций амплитуды.

Начальная фаза j и задержка t распределены равномерно, т.е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Т – период зондирования, определяемый максимальной однозначной дальностью действия РЛС.

Функции s0(t) и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – детерминированные.

Для движущихся объектов локации к несущей частоте w0 добавляется доплеровский сдвиг Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – случайная величина, знак которой зависит от направления перемещения объекта в радиальном направлении относительно РЛС.

в) Нефлюктуирующая пачка радиоимпульсов

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; функция H2(t) – функция, обусловленная формой диаграммы направленности (рис. 2б); Т0 – период следования импульсов в пачке; К = const.

г) Флюктуирующая пачка импульсов:

–  дружно-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов в пачке неизменны, но изменяются независимо от пачки к пачке, что соответствует медленному изменению ЭПР отражающего объекта во времени или изменению параметров канала распространения электромагнитной волны и т.д. (рис. 2);

–  быстро-флюктуирующая пачка – амплитуды радиоимпульсов изменяются в пачке от импульса к импульсу независимо (рис. 3).

В зависимости от характера изменения начальной фазы колебаний от импульса к импульсу в пачке различают когерентные и некогерентные пачки радиоимпульсов. Когерентная пачка может быть образована путем вырезания импульсов из непрерывного стабильного гармонического колебания. Начальные фазы в этом случае или одинаковы во всех радиоимпульсах пачки, или изменяются по известному закону. Некогерентная пачка состоит из радиоимпульсов с независимо-изменяющейся начальной фазой.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 2

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 3

Помехи разделяются на естественные (неорганизованные) и искусственные (организованные), внутренние и внешние.

По способу образования помехи могут быть пассивными и активными. Естественные пассивные помехи создаются отражениями от местных предметов (в радиолокации) и земной поверхности, растительности и т.д.; отражениями от метеорных следов и атмосферных неоднородностей (в радиосвязи на УКВ).

Активные помехи имеют самостоятельный источник, в то время как пассивные помехи обусловлены излучением зондирующего сигнала. По характеру изменения во времени помехи бывают флюктуационные (гладкие) и импульсные.

В качестве помех могут быть случайные, шумоподобные или детерминированные процессы. Из всех помех наибольшее воздействие на подавляемую РЛС оказывает белый (широкополосный) шум с нормальным распределением, поскольку он имеет наибольшую информационную емкость.

Чаще всего в качестве моделей помех используется их описание с помощью статистических характеристик. Наиболее полной характеристикой является n-мерная плотность вероятности. Однако в некоторых частных, но очень важных случаях помеха может быть охарактеризована одномерной или двумерной плотностями вероятности.

Сигналы и помехи могут быть представлены в виде некоторых множеств в частотно-временной системе координат (рис. 4).

Каждый сигнал или помехи занимают по осям w и t определенные отрезки, зависящие от полосы частот Dw и длительности t. Чем больше Dw и t, тем эффективнее помеха с точки зрения подавления сигнала. Наилучшей помехой является белый шум, который заполняет всю плоскость w, t, и обладает наибольшими дезинформационными свойствами. Если шум узкополосный, то он занимает ограниченную площадь, поскольку имеет неравномерную спектральную плотность мощности. От такой помехи можно избавиться, перестроив несущую частоту w0 сигнала.

Для пространственно-временных сигналов и помех используются дополнительные координаты: угол места и азимут. И тогда источники помех могут быть точечными по угловым координатам или распределенные в конкретных секторах.


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 4

Геометрическое представление сигналов и помех связано с введением многомерного пространства выборок и широко используется в теории сигналов [7, 8]. Пусть имеется реализация x(t) случайного процесса X(t). В соответствии с теоремой Котельникова эта реализация может быть представлена в виде дискретных отсчетов xi = x(iDt). Число этих отсчетов (единичных измерений) – N, совместно они образуют выборку X размером N – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., i – номер измерения в выборке X. Если представим n-мерное пространство, в котором на каждой оси координат отложим соответствующие по номеру измерения, то вся выборка будет соответствовать точке этого пространства или вектору, конец которого лежит в этой точке. Длина вектора в данном пространстве может быть представлена так:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Эта величина называется нормой вектора в эвклидовом пространстве. В пространстве Хемминга норма выражается иначе:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то в пределе переходим к бесконечному пространству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в котором норма определяется так

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для реальных процессов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и имеет размерность величины x.

Все указанные пространства линейны, и для них определены операции сложения элементов множества и умножения элемента на число. Причем обе эти операции удовлетворяют условиям коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Среди линейных пространств можно выделить метрические пространства, для которых существует метрика Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т.е. норма разности векторов, которая больше или равна нулю. Метрика (расстояние) обладает следующими свойствами:

а) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где x, y, z – элементы пространства.

Для эвклидова конечно-мерного пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. –

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

для непрерывного пространства Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. аналогично

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Важным является понятие скалярного произведения. Оно характеризует собой проекцию одного вектора на другой и определяется в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. так:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

т.е. сумма произведений одноименных проекций векторов на оси координат. В непрерывном пространстве Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. всегда не больше произведения норм векторов (неравенство Шварца).

Угол между векторами определяется так

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если определить норму через скалярное произведение, то говорят, что норма порождена скалярным произведением, а пространство, отвечающее такому произведению, называется гильбертовым.

Введем понятие случайного вектора. Случайный вектор – это такой вектор, координаты которого есть случайные величины. Этот вектор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. в пространстве выборок не занимает какого-либо фиксированного положения. Его конец может оказаться в той или иной области пространства с известной вероятностью, которую можно подсчитать, зная совместное распределение случайных величин Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Конец вектора можно представить себе не как определенную точку, а как облако, переменная плотность которого выражает вероятность нахождения конца вектора в данном элементе объема пространства. Геометрически это облако отображается гиперсферой в n-мерном пространстве (рис. 5).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 5

Элементарный объем в пространстве выборок Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Вероятность попадания конца вектора в этот объем будет равна

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – плотность вероятности случайного процесса X(t).

Если гиперсфера имеет размеры W, то попаданию точки в эту гиперсферу соответствует вероятность

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – проекции гиперсферы W на оси координат системы.

Это выражением может быть записано в векторной форме

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией каждой их независимых компонент, то вероятность попасть в элементарный объем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. пространства выборок равна

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – расстояние от начала системы координат до элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В данном случае облако имеет сферическую форму. При различных дисперсиях облако вытягивается вдоль тех осей, которым соответствуют единичные измерения с большей дисперсией.

Если даны два случайных процесса x и h, то косинус угла между их векторами соответствует нормированному коэффициенту взаимной корреляции. Геометрически он характеризует проекцию единичных векторов одного на другой. Если x = h, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – линейная зависимость, если же они перпендикулярны, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – показывает полное отсутствие коррелированности. В этом случае векторы ортогональны, а процессы некоррелированы.

Для нормальных процессов некоррелированность означает и независимость, поскольку для них иной случайной зависимости, кроме линейной, не существует. Доказывается такое утверждение подстановкой коэффициента корреляции, равного нулю, в двумерную нормальную плотность вероятности. В результате такой подстановки плотность вероятности преобразуется к произведению одномерных плотностей вероятности, что является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух случайных величин, входящих в систему.

217324397

3. Вероятностные характеристики случайных процессов

1. Наиболее полными вероятностными характеристиками случайных процессов (СП) являются различные виды распределений вероятностей мгновенных значений, среди которых основное применение получили интегральная функция распределения вероятностей и плотность вероятности.

Для ансамбля реализаций СП (рис. 6) одномерная интегральная функция распределения определяется как вероятность того, что мгновенные значения реализаций не превысят некоторый фиксированный уровень x в момент времени t.

Аналогично определяется n-мерная интегральная функция распределения как вероятность совместного выполнения неравенств:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (1)

Виды одномерной интегральной функции распределения для различных процессов показаны на рис. 8.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В отличие от интегральных функций распределения случайных величин, эта характеристика СП в общем случае (для нестационарных СП) зависит от времени.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 6

Так же как и для случайных величин, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (ограниченность).


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 7

Хотя интегральная функция распределения вероятности определена и для непрерывных, и для дискретных процессов, большее распространение получила плотность вероятности, определенная только для непрерывных СП.

Одномерная плотность вероятности определяется как производная от интегральной функции по аргументу x:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для n-мерной плотности в соответствии с (1) имеем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                   (2)

Из представления производной в виде предела отношения конечных приращений Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. можно сделать вывод, что плотность вероятности характеризует относительную частоту пребывания мгновенных значений в элементарном интервале Dx.

На рис. 7 приведены графики плотности вероятности для реализаций различной формы.

Аналогичное рассмотрение n-мерной плотности вероятности позволяет интерпретировать ее как вероятность того, что значение функции находятся в пределах n коридоров Dx или, иначе, что реализация примет заданную форму (рис. 8).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 8

Свойства плотности вероятности:

–  положительная определенность – Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство симметрии – значения плотности вероятности не меняются при перестановке аргументов;

–  свойство нормировки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство согласованности (число интегралов в правой части равно n – m)


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

–  плотность вероятности меньшего порядка вычисляется путем интегрирования по «лишним» аргументам;

–  размерность плотности вероятности обратна размерности случайной величины.

Наиболее широко в радиотехнике используются следующие распределения.

1. Нормальной (гауссово) распределение (рис. 9):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 9

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где m – математическое ожидание; s – среднеквадратическое отклонение (СКО).

Для нормального распределения характерна симметрия относительно математического ожидания и большие значения случайной величины встречаются значительно реже малых:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2. Равномерное распределение (рис. 10):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 10

Экспоненциальное распределение (рис. 11):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 

Рис. 11

4. Распределение Рэлея (распределение огибающей узкополосного нормального СП):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 12

2. Распределения вероятностей, хотя и является наиболее употребимыми в теории характеристиками, не всегда доступны для экспериментального определения и во многих случаях слишком громоздки в теоретических исследованиях. Более простыми являются числовые характеристики СП, определяемые как некоторые функционалы от плотности вероятности. Наиболее широко из них используются моментные функции, определяемые как среднее значение различных степенных преобразований СП.

Начальные одномерные моменты определяются в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                                  (3)

Особое значение имеют первый начальный момент – математическое ожидание Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и второй начальный момент

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

сигнал случайный помеха прием

Физический смысл этих характеристик: среднее значение и средняя мощность СП, выделяемая на сопротивлении в 1 Ом, соответственно (если СП есть напряжение, стационарное по постоянной составляющей и мощности). Второй начальный момент характеризует степень разбросанности случайной величины относительно начала координат. Размерность математического ожидания совпадает с размерностью величины x (для x в виде напряжения – вольты), а размерность m2 – с размерностью квадрата величины x.

В случае стационарных СП моменты не зависят от времени, для нестационарных могут быть функциями времени (в зависимости от типа не-стационарности), что поясняется рис. 13.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 13

Центральные моменты определяются аналогично начальным моментам, но для центрированного процесса Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                              (4)

Поэтому всегда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Второй центральный момент – дисперсия СП – определяется в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и характеризует степень разбросанности значений относительно математического ожидания или, иначе, среднюю мощность переменной составляющей процесса, выделяемой на сопротивлении в 1 Ом. Очевидна связь между начальными и центральными моментами:


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отметим, что третий центральный момент (p = 3 в (4)) характеризует асимметрию распределения вероятностей (для симметричных плотностей вероятности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), а четвертый (p = 4) – степень остроты вершины плотности вероятности.

Рассмотрим пример вычисления одномерных моментов распределения.

ПРИМЕР 1. Процесс с треугольной симметричной плотностью вероятности виден на экране осциллографа в виде шумовой дорожки с размахом от -2 до +4 В. При выключенной развертке яркость вертикальной линии в центре экрана равномерна. Оценить математическое ожидание и дисперсию процесса.

Решение примера 1. Сведения о форме распределения и его границах позволяет записать аналитическое выражение для плотности вероятности (рис. 14).

При этом максимальное значение плотности вероятности fm, достигаемое при x=1 В, определяется из условия нормировки, т.е. равенства площади треугольника единице:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

откуда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 14

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Такое симметричное треугольное распределение называют также законом Симпсона.

В соответствии с определениями математическое ожидание и дисперсия равны

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 1 В;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Однако удобнее вычислить вначале второй начальный момент

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 7 В2,


тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = 6 В2.

Смешанные начальные моменты определяются соотношением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                          (5)

Смешанные центральные моменты определяются аналогично, но с заменой x в формуле (5) на центрированное значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ввиду того, что значения x в смешанных моментах определяются в различные моменты времени, появляется возможность оценки статистической взаимозависимости значений процессов, разделенных заданными интервалами. Наиболее важным является простейший из смешанных моментов, отображающий линейную статистическую взаимозависимость и называется корреляционной и ковариационной функцией:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..     (6)

Как видно из определения, размерность корреляционной функции определяется размерностью квадрата величины x (для напряжения – В2).

Для стационарного СП корреляционная функция зависит только от разности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Следует заметить, что при t = 0 максимальное значение K(0) = s2.

На рис. 15 приведены примеры реализаций процессов с разными корреляционными функциями.

Кроме функционалов на основе степенных функций (моментов) возможны и другие типы функционалов в качестве статистических характеристик СП. Важнейшим среди них является функционал, основанный на экспоненциальном преобразовании и называемый характеристической функцией

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..                            (7)

Нетрудно заметить, что данное выражение представляет преобразование Фурье от плотности вероятности, отличающееся от обычного лишь знаком в показателе экспоненты.

Поэтому можно записать и обратное преобразование, позволяющее по характеристической функции восстановить плотность вероятности:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Соответственно для n-мерного случая имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (8)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 15

Основные свойства характеристической функции состоят в следующем:

–  свойство нормировки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство согласованности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  определение характеристической функции суммы независимых случайных величин

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Как видно из анализа перечисленных свойств, различные преобразования характеристической функции проще плотности вероятности. Простая связь также между характеристической функцией и моментами плотности вероятности.

Пользуясь определением характеристической функции (7), продифференцируем ее k раз по аргументу u:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно заметить, что операция дифференцирования намного проще, операция интегрирования при определении моментов плотности вероятности.

ПРИМЕР 2. Может ли существовать процесс с характеристической функцией прямоугольной формы?

Решение примера 2. На рис. 16 представлена характеристическая функция прямоугольной формы (а) и соответствующая ей плотность вероятности (б).


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 16

Так как характеристическая функция является преобразованием Фурье от плотности вероятности, то ее обратное преобразование Фурье должно обладать всеми свойствами плотности вероятности. В данном случае

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

График плотности вероятности представлен на рис. 16б.

Как видно из выражения для f(x) и рисунка, полученная плотность вероятности не удовлетворяет условию положительной определенности (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.), следовательно, процесс с заданной характеристической функцией не может существовать.

217324398">4. Энергетические характеристики случайных процессов

К энергетическим характеристикам СП относят корреляционную функцию, спектральную плотность мощности и непосредственно связанные с ними параметры СП.

В разделе 2 было дано определение корреляционных функций как смешанных центральных моментов второго порядка соответственно автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций, т.е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Основные свойства автокорреляционной функции:

–  свойство симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., для стационарных процессов – четность Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство ограниченности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство неограниченного убывания с ростом аргумента (для эргодических процессов) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  свойство положительной определенности интеграла

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  размерность соответствует квадрату размерности случайного процесса.

Это свойство следует из определения спектральной плотности мощности (для случайных напряжений и тока через сопротивление 1 Ом), которое будет приведено ниже.

Для взаимнокорреляционной функции аналогично можно записать:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Ввиду ограниченности корреляционной функции частот используют нормированные корреляционные функции


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

причем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для более компактного описания свойств случайного процесса вводят понятие интервала корреляции, определяющего интервал времени, на котором существует связь между значениями процесса.

Основные определения интервала корреляции:

–  интегральный (для положительно определенных корреляционных функций) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Геометрически он характеризует ширину основания прямоугольника, равновеликого по площади функции k(t) при t > 0 (рис. 17а);

–  абсолютный интервал корреляции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (в отличие от предыдущего может использоваться для знакопеременных функций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) (рис. 17б);

–  квадратичный интервал корреляции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

–  максимальный интервал корреляции (на уровне a) (рис. 18)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 17

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 18

Обычно уровень a выбирается исходя из рассматриваемой задачи и имеет значения 1/e; 0,1; 9,05; 0,01 и т.д.

Последнее определение не является более произвольным, чем предыдущие, так как выбор конкретного вида функционала протяженности произволен и определяется удобством математического решения конкретной задачи. Практически этот интервал корреляции используется в радиоизмерениях для определения интервала, вне которого случайные величины в сечениях случайного процесса можно считать некоррелированными. Достоверность такого предположения определяется выбором уровня a.

Большое значение в статистической радиотехнике имеют спектральные характеристики СП. При этом используются различные интегральные преобразования процесса вида

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

При исследовании линейных систем с постоянными параметрами особое значение имеет ядро преобразования вида Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., так как отклик линейных систем на гармоническое воздействие также является гармоническим.

Преобразование Фурье от k-й реализации СП дает также случайную функцию частоты, зависящую от номера реализации:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В условиях реального наблюдения можно получить лишь текущий спектр реализации за интервал наблюдения T

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Приведенные выражения в существенной степени формальны, так как для многих СП условия применимости преобразования Фурье не выполняются, и интеграл не сходится к какому-либо определенному пределу.

Определим квадрат модуля спектральной плотности k-й реализации

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Предполагая процесс стационарным и центрированным, заменяя Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и производя статистическое усреднение по множеству реализаций, определим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Разделив обе части полученного равенства на T и беря предел Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Поясним физический смысл этой характеристики. Учитывая теорему Релея

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

определим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, спектральная плотность мощности или энергетический спектр – это усредненная по всем реализациям функция распределения мощности по частотам.

Следовательно, спектральная плотность мощности и корреляционная функция связаны преобразованием Фурье (теорема Винера – Хинчина):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                            (9)

Полагая t = 0, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Учитывая свойство четности корреляционной функции, запишем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В полученных формулах G(w) определялась для положительных значений круговой частоты w, причем G(w) = G(–w). В отличие от такого «двухстороннего» математического спектра, введем односторонний физический спектр:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Тогда формулы теоремы Винера – Хинчина примут вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.                        (10)

Часто используется нормированная спектральная плотность мощности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Из определения G(w) следуют методы его экспериментального определения (рис. 19). А именно: измеряется квадратичным прибором среднеквадратическое отклонение процесса в узкой полосе (с помощью полосового фильтры с прямоугольной АЧХ), возводится в квадрат, а затем делится на эту полосу Dfэ (полоса такая, что S(f0) » const в пределах Dfэ) (рис. 20).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 19                                 Рис. 20

Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для одиночного колебательного контура Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Q – добротность контура, следовательно


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Спектральная плотность мощности не отражает фазовой структуры сигнала. Две совершенно разные зависимости могут иметь одинаковую спектральную плотность мощности.

Поскольку G(w) и K(t) связаны преобразованием Фурье, для них справедливы основные теоремы о спектрах.

Ширина спектра определяется так же, как и интервал корреляции.

Эффективная (или неудачное название – энергетическая) ширина спектра

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Определяют также ширину спектра на уровне a: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Рассмотрим связь интервала корреляции и ширины спектра.

Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..               (11)

Таким образом, произведение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – порядка единицы.

Различают широкополосные и узкополосные процессы (рис. 22а и б).


Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

а                                                       б

Рис. 22

Для узкополосных процессов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Поскольку для узкополосных случайных процессов значение спектральной плотности мощности при нулевой частоте всегда равно нулю (или очень близко к нему), то корреляционная функция является всегда знакопеременной и ее площадь равна нулю (из теоремы Винера – Хинчина).

Один из широко распространенных в теории широкополосных процессов – белый шум с равномерным спектром Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Его корреляционная функция равна

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Противоположный случай – узкополосный процесс – квазидетерминированный СП с дискретным спектром

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где x1, x2 – случайные величины, не зависящие от t, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Функция X(t) представляет собой гармоническое колебание со случайной амплитудой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и фазой Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., распределение которого не зависит от времени. Этот процесс будет стационарным лишь при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. зависит только от t, причем x1 и x2 некоррелированы.

В этом случае Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. (рис. 23)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 23

Для стационарных СП X(t) и Y(t) вводят также взаимную спектральную плотность мощности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Взаимная спектральная плотность мощности двух процессов комплексная, если взаимная корреляционная функция нечетная, действительная часть такой спектральной плотности четная, а мнимая – нечетная функция: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для суммы стационарных и стационарно-связанных процессов существует соотношение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

217324399">5. Узкополосные случайные процессы

Важность этих процессов для статистической радиотехники требуют более подробного их рассмотрения.

Для более подробного анализа определим огибающую Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. узкополосного случайного процесса (УСП). Часто огибающую определяют по формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,                               (12)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. – сопряженный с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. по Гильберту процесс. Применяя преобразование Гильберта к исходному выражению для УСП, получаем <pЗдесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Постановка задачи синтеза оптимальных алгоритмов приема сигналов на фоне помех". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 528

Другие дипломные работы по специальности "Коммуникации и связь":

«Реклама и связи с общественностью», «Маркетинг»

Смотреть работу >>

Ремонт системы управления видеокамер аналогового формата

Смотреть работу >>

Теория электрических цепей

Смотреть работу >>

Роботизированные комплексы (РТК) предназначенные для технологического процесса сборки

Смотреть работу >>

Моделирование и методы измерения параметров радиокомпонентов электронных схем

Смотреть работу >>