Дипломная работа на тему "Сравнительный анализ численных методов"

ГлавнаяИнформатика → Сравнительный анализ численных методов




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Сравнительный анализ численных методов":


Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Методы решения нелинейных уравнений

2.1 Общие сведения

2.2 Метод касательных (метод Ньютона)

2.2.1 Общие сведения

2.2.2 Решение нелинейного уравнения методом касательных

2.3 Метод хорд

2.3.1 Общие сведения

2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд

2.4 Вывод

2.5 Метод простых итераций

2.5.1 Общие сведения

2.5.2 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

2.6 Программа для решения нелинейных уравнений

3. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования

3.1 Интерполяция

3.2 Многочлен Лагранжа

3.3 Интерполяция сплайнами

3.4 Использование интерполяции на практике

3.4.1 Интерполяция с помощью многочлена Лагранжа

3.4.2 Обратная интерполяция

3.4.3 Интерполяция сплайнами

3.5 Программа для использования интерполяции

4. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4.1 Общие сведения

4.2 Метод простой итерации

4.2.1 Описание метода

4.2.2 Решение СЛАУ методом простых итераций

4.2.3 Программа для решения СЛАУ методом простых итераций

4.3 Метод Зейделя

4.3.1 Описание метода

4.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя

4.3.3 Программа дл решения СЛАУ методом Зейделя

4.4 Сравнительный анализ

5. Сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования

5.1 Методы численного дифференцирования

5.1.1 Описание метода

5.1.2 Нахождение производной

5.2 Методы численного интегрирования

5.2.1 Общие сведения

5.2.2 Нахождение определенного интеграла

5.3 Решение ОДУ

5.3.1 Решение ОДУ методом Эйлера

5.3.2 Решение ОДУ методом Рунге-Кутты

6.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1 Общие сведения

6.2 Метод Эйлера

Заключение

Список использованной литературы

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам скачать любые проекты по требуемой вам теме. Мастерское выполнение дипломных работ по индивидуальному заказу в Екатеринбурге и в других городах РФ.

Введение

На практике в большинстве случаев найти точное решение возникшей математической задачи не удается. Это происходит главным образом не потому, что мы не умеем этого сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное значение приобрели численные методы, особенно в связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ.

Под численными методами подразумеваются методы решения задач, сводящиеся к арифметическим и некоторым логическим действиям над числами, т. е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (MathCAD, MathLAB и т. д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Конечно, использование таких программных продуктов значительно сокращает время и ресурсы по решению ряда важных задач. Однако, использование этих программ без тщательного анализа метода, с помощью которого решается задача, нельзя гарантировать, что задача решена правильно. Поэтому для более полного понимания того, как осуществляется расчет различного вида уравнений и их систем, необходимо теоретически изучить методы их решения и на практике их проработать.

Целью выполнения данного курсового проекта является приобретение практических навыков решения нелинейных уравнений, системы линейных алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений различными численными методами.


1. Постановка задачи

Порядок выполнения:

По итерационным методам решения нелинейных уравнений:

Определить корень в заданном или любом выбранном отрезке методом хорд, касательных, простых итераций.

Используя результаты решений, указать наименьший полученный отрезок, в котором содержится корень уравнения.

Для каждого метода и каждой задачи построить график функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.на [a,b] и убедиться в выполнении условия сходимости итерационной процедуры.

Используя функции f (x) из п.1, построить интерполяционный многочлен L4 (x) на [a,b], использовав в качестве узловых a и b, остальные необходимые узловые точки выбрать, разделив промежуток [a,b] на почти равные части. Вычислить значения f (x) и L4 (x) в двух точках, одна из которых - середина крайней части, а вторая - середина части, содержащей точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Сравнить полученные величины. Используя эти же узловые точки, провести обратную интерполяцию и определить значение х при y=0. Полученный результат сравнить с ранее найденным решением уравнения.

Сравнить результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации.

Провести сравнительный анализ различных методов численного дифференцирования и интегрирования.

Найти численное решение обыкновенного дифференциального уравнения методом Эйлера и уточненным методом Эйлера с 5-ю и 20-ю шагами и сравнить их, если возможно с результатом точного решения ОДУ.


2. Методы решения нелинейных уравнений 2.1 Общие сведения

Рассмотрим уравнение вида f (x) =0, (2.1), где f (x) - любая нелинейная функция.

Корнем уравнения (2.1) называется значение Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., при которомРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Способы приближенного решения, т. е. алгоритм решения, предполагает определение x* c некоторой наперед заданной точностью.

Для нахождения корней уравнения (2.1) различают следующие два этапа.

Отделения (локализации) корней, т. е. нахождение таких интервалов по аргументу x, внутри каждого из которых существует только один корень уравнения (2.1). Если у функции на концах исследуемого отрезка [a, b] функция имеет разные знаки, то на этом отрезке функция имеет не менее одного корня. Если же одинаковые знаки, то функция может не иметь корней или иметь четное число корней. Следовательно, локализация заключается в том, что необходимо установить отрезки, на которых есть смена знаков функции и, кроме того, выполнено условие единственности корня, т. е. функция на этом отрезке должна иметь первую производную с постоянным знаком. Из условия сходимости итерационной последовательности также требуется, чтобы вторая производная не меняла знак, т. е. на исследуемом отрезке функция бала бы только выпуклой или вогнутой.

Уточнение корней заключается в применении некоторого итерационного метода, в результате которого корень уравнения (2.1) может быть получен с любой наперед заданной точностью ε. При этом, останавливая процесс на какой-либо конечной итерации, необходимо оценить погрешность по сравнению с точным корнем, который неизвестен. Выбранный метод позволяет построить последовательность х1, х2, х3, …, хk, … приближений к корню. Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, х3, …, хk, … Если эти значения с ростом k стремятся к истинному значению корня Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то итерационный процесс сходится.

Основными методами решения нелинейных уравнений, реализованных в виде численной процедуры, являются итерационные методы.

2.2 Метод касательных (метод Ньютона) 2.2.1 Общие сведения

Метод Ньютона, называемый также методом касательных, состоит в следующем. Рассмотрим в точке x0 касательную к кривой y=f (x), задаваемую уравнением

y= f (x0) + (x-x0) f ’ (x0).

За начальное приближение x0 принимается один из концов отрезка [a, b], где значение функции имеет такой же знак, что и 2-я производная. Функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a, b] следующим условиям:

1) существование производных 1-го и 2-го порядков;

2) f ’ (x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0;

3) производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на отрезке [a, b].

Положим y=0, находим точку x1 пересечения касательной с осью абсцисс:

x1= х0 - f (х0) /f ’ (х0).

Построив касательную в точке x1 (рисунок 2.1), получаем по аналогичной формуле точку x2 пересечения этой касательной с осью x и т. д. Формула для n-го приближения имеет вид:

хn=хn-1 - F (хn-1) /F’ (хn-1), n=1,2,…

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.1 - Метод касательных

В этом методе на n-й итерации проводится касательная к кривой y =f (x) при х=xn-1 и ищется точка пересечения касательной с точкой абсцисс. При этом необязательно задавать отрезок [a, b], содержащий корень уравнения, а достаточно лишь найти некоторое начальное приближение корня х.

Итерационный процесс останавливают при выполнении условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; где ε - заданная точность.

2.2.2 Решение нелинейного уравнения методом касательных

1. Дано уравнение tg (0.36*x +0.4) =x2. Решить его методом касательных с точностью решенияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0,001.

Для нахождения корня исследуем функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

График функции представлен на рисунке 2.2

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.2 - График исследуемой функции

Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.

Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.3

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.3 - График функции на выбранном отрезке

Проверяем существование корня на отрезке по условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

f (-1) = - 0,95998

f (0) =0,42279

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

0,405869<0, следовательно, на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Находим первую производную функции:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В точке a первая и вторая производные равны:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В точке b первая и вторая производные равны:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., x0=-1, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-0,95998* (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) =1,90998;Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=4, т. е. на 4-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рисунок 2.4).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.4 - График функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для исследуемой функции

2. Дано уравнение

x3-0,2x2+0,4x-1,4=0.

Решить его методом касательных с точностью решенияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0,001.

Для нахождения корня исследуем функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

График функции представлен на рисунке 2.5

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.5 - График исследуемой функции

Находим отрезок, в котором функция монотонно возрастает или убывает, а также где концы отрезка будут иметь разные знаки.

Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.6

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.6 - График функции на выбранном отрезке

Проверяем существование корня на отрезке по условию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-3,066375

3,066375 <0, следовательно, на данном промежутке корень есть.

Исследуем функцию на монотонность:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

6,2225>0

Экстремумов на выбранном отрезке нет.

Находим первую производную функции:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В точке a первая и вторая производные равны:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В точке b первая и вторая производные равны:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Выбираем тот конец отрезка, значение функции в котором совпадает со знаком 2-ой производной.

Принимаем:

x0= 1,5 Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.2.125*6.55=13,91875, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

По формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=4, т. е. на 4-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рисунок 2.7).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.7 - График функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для исследуемой функции


2.3 Метод хорд 2.3.1 Общие сведения

Как и в методе хорд, функция f (x) должна удовлетворять на отрезке [a, b] следующим условиям:

1) существование производных 1-го и 2-го порядков;

2) f ’ (x) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. 0;

3) производные 1-го и 2-го порядков знакопостоянны на отрезке [a, b].

За начальное приближение x0 принимается один из концов отрезка [a, b], где значение функции имеет такой же знак, что и 2-я производная. За x1 выбирается второй край отрезка. В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения х0, х1,… точек пересечения хорды с осью абсцисс (рисунок 2.8).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.8 - Метод хорд

Формула для n-го приближения имеет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Итерационный процесс останавливают при выполнении условия Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; где ε - заданная точность.


2.3.2 Решение нелинейного уравнения методом хорд

1. Дано уравнение

tg (0.36*x +0.4) =x2.

Решить его методом хорд с точностью решенияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0,001.

Как в предыдущем методе для нахождения корня исследуем функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.9

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.9 - График функции на выбранном отрезке

По данным из п.2.2.2 за x0 выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной. А за x1 второй конец отрезка.

x0=-1; x1=0.

По формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=7, т. е. на 6-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рисунок 2.10).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.10 - График функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для исследуемой функции

2. Дано уравнение x3-0,2x2+0,4x-1,4=0. Решить его методом хорд с точностью решенияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0,001.

Как в предыдущем методе для нахождения корня исследуем функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

График функции представлен на рисунке 2.5

Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.11

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.11 - График функции на выбранном отрезке.

По данным из п.2.2.2 за x0 выбираем тот конец отрезка, который совпадает со знаком 2-ой производной и удовлетворяет условию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. А за x1 второй конец отрезка.

x0=1,5; x1=0,5.

По формуле

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

находим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x>0.001

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.x<0.001

Необходимая точность достигнута при n=9, т. е. на 8-й итерации.

Так как заданная точность достигнута, то процесс можно прекратить.

Теперь строим график функции x=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. последовательность xn, стремящаяся к x* и условием сходимости здесь является Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рисунок 2.12).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.12 - График функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для исследуемой функции.


2.4 Вывод

Судя по графикам и сравнивая эти два метода, можно сделать вывод, что искомый корень находится в промежутке между найденными приближенными корнями, т. е. для функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на отрезке [-0.48059; - 0.48028], а для для функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на отрезке [1,0627; 1,06289]

На рисунках 2.12, 2.13 приведены графики функций на данных отрезках.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.12 - График функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.13 - График функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Анализируя эти два метода, можно отметить, что в методе хорд, чтобы достичь заданной точности, необходимо выполнять больше итераций, чем в методе касательных. Так, в первом примере, в методе хорд мы выполнили 6 итераций, а в методе касательных всего 4; во втором примере в методе хорд мы выполнили 8 итераций, а в методе касательных всего 4. С другой стороны, в методе хорд не нужно вычислять производную функции на каждом шаге. Таким образом, как мне кажется, метод касательных является более трудоемким.

2.5 Метод простых итераций 2.5.1 Общие сведения

Пусть дано уравнение f (x) =0, (1)

Метод простых итераций уточнения корней уравнения (1) состоит в замене этого уравнения эквивалентным ему уравнением

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

и построении последовательности

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3),

где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Например

x0 = (а + b) /2

Если не удается выразить х из уравнения (1), то эквивалентное уравнение и эквивалентную функцию можно построить, например, так:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Последовательность (3) называют методом простых итераций уточнения корней уравнения (1).

Теорема (достаточное условие сходимости метода простых итераций). Пусть функция Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.в эквивалентном уравнении (2) определена и дифференцируема на отрезке Тогда, если существует число q такое, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

но отрезке [а, b], то последовательность (3) сходится к единственному корню уравнения (2) при любом начальном приближении x0.

Критерий окончания итерационного процесса. При заданной точности Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.>0 вычисления следует вести до тех пор, пока не окажется выполненным неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если величина Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., то можно использовать более простой критерий окончания итераций:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2.5.2 Решение нелинейного уравнения методом простых итераций

1. Дано уравнение tg (0.36*x +0.4) =x2. Решить его методом простых итераций с точностью решенияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0,001. Как в предыдущих методах для нахождения корня исследуем функцию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выбираем концы отрезка: a= -1; b = 0. График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.14.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.14 - График функции на выбранном отрезке

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Приведем уравнение к виду x=x-af (x), где итерационная функция  (x) =x-af (x), a - итерационный параметр.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Максимальное и минимальное значения производной достигаются на концах отрезка:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Применяем формулу x=x - af (x) =f (x):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Дано уравнение x3-0,2x2+0,4x-1,4=0. Решить его методом методом простых итераций с точностью решенияРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=0,001.

Для нахождения корня исследуем функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выбираем концы отрезка: a= -0.1; b = 1.5 График функции на этом отрезке представлен на рисунке 2.15.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.15 - График функции на выбранном отрезке.

Найдем корень с помощью встроенной функции root:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Приводим уравнение к виду x=f (x), где

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Проверим условие сходимости:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Максимальное по модулю значение производной итерационной функции достигается в левом конце отрезка:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Применяем формулу x=  (x):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.


2.6 Программа для решения нелинейных уравнений

На рисунках 2.16, 2.17 представлены программы для решения нелинейных уравнений методами хорд и касательных.

Пользователь вводит необходимые данные и при нажатии кнопки "Решить" выводится результат.

Листинги программ представлены в приложениях А, Б.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.16 - Программа для решения методом касательных

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 2.17 - Программа для решения методом хорд


3. Решение нелинейных уравнений методом интерполирования 3.1 Интерполяция

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функции. Смысл аппроксимации заключается в том, что производится замена одной функции другой в некотором смысле близкой.

Такая задача возникает по многим соображениям в частности, из-за удобства вычисления значений функции, вычисления производных и т. д.

Допустим, в n+1 точке заданы значения x0,x1,…xn и соответствующие им значения f (x0), f (x1), …, f (xn). Значения f (xi) вычисляются только в случае, если известна функция f (x), но эти значения могут быть получены, например, экспериментальным путем как значение некой неизвестной функции.

Точки xi, в которых известны значения функции, носят названия узлов интерполяции.

Интерполяция заключается в выборе функции φ (х), значения которой в узлах интерполяции совпадают со значениями f (xi).

φ (хi) = f (xi)

Между узлами значения этих функций могут отличаться (рисунок 3.1).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок 3.1 – Интерполяция

Мы рассмотрим простейший случай, когда в качестве интерполируемой функции используется полином степени n. Преимущества такой интерполяции очевидны. Значения полинома легко вычисляются, имеют непрерывную производную.

3.2 Многочлен Лагранжа

Пусть известны значения некоторой функции f в n+1 различных точках. Возникает задача приближенного восстановления функции f в произвольной точке x. Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен Ln (x) степени n, который в точках xi принимает заданные значения, т. е.

Ln (xi) =fi, i=0,1,…,n

и называется интерполяционным.

В частности, мы рассматриваем построение интерполирующего многочлена Лагранжа.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

fi - значения интерполируемой функции в i-том узле;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коэффициент интерполяции Лагранжа

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Можно сказать, что L1 (x) - линейная функция x, поэтому такую интерполяцию называют линейной (она производится для двух точек).

Интерполяционный многочлен Лагранжа обладает тем недостатком, что в случае, когда добавляются новые узлы интерполяции, все слагаемые необходимо пересчитывать. Но, с другой стороны, он обладает тем достоинством, что интервалы между узлами могут быть неравномерными.

Обратная интерполяция заключается в построении зависимости x (y) и, затем, с помощью такого многочлена легко можно найти корень нелинейного уравнения.

Многочлен Лагранжа в этом случае выглядит следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

где

xi - значения узлов;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - коэффициент интерполяции Лагранжа

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Если задано достаточно много узлов на отрезке [a, b], то интерполирующие функции на отрезке [a, b] представляют собой непрерывную функцию, уже первая производная которой является кусочно-непрерывной.

В узлах, где происходит стыковка отдельных интерполяционных многочленов, производная рвется. Этого недостатка не имеет интерполяция сплайнами.


3.3 Интерполяция сплайнами

Пусть отрезок [a, b] разбит на n одинаковых частей точками x0, x1,…xn.

Примем

x0=а, xn=b, h= (b-a) /n, xi= a+ih.

Сплайном называется непрерывная на [a, b] и имеющая непрерывные производные функция, на каждом из частичных участков представляющая собой алгебраический многочлен. Порядком сплайна называется старший порядок многочлена, а дефектом сплайна называется разность между порядком сплайна и старшей непрерывной производной.

Например, линейная интерполяция - это сплайн первого порядка с дефектом 1.

Наиболее широкое распространение на практике имеет кубический сплайн. Если сплайн используется для интерполяции некоторой функции и ее производных, т. е. в узлах интерполяции значение сплайна и ее производных некоторых порядков совпадают со значениями функции и ее производных соответствующих порядков, то такой сплайн называется интерполяционным.

Если интерполяционный сплайн на заданном отрезке рассматривать как совокупность кубических сплайнов для каждой пары точек, такая интерполяция носит название локальной интерполяции.

Этот сплайн не прерывен вместе с первой производной, но непрерывность второй производной не гарантируется, т. е. дефект сплайна равен 2. Если этот сплайн имеет непрерывную вторую производную на отрезке [a, b], т. е. имеет дефект 1, то такой сплайн носит название глобального.

Для построения кубического сплайна используется формула:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для построения глобального сплайна, т. е. сплайна с дефектом 1 необходимо, начиная со 2-го узла, поставить условие непрерывности 2-й производной, т. е.2-я производная при подходе к точке 2 и дальше слева (x1-0) должна равняться второй производной при подходе справа (x1+0).

Такие равенства можно составить для всех внутренних узлов x1 до xn-1. Затем используем условия на краях x0 и xn, получаем систему уравнений, которая и обеспечит дефект 1.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Очевидно, что при наличии S3 на соответствующих участках, построение таких равенств не представляет особого труда.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Приравнивая эти значения, для определения m получим СЛАУ.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В двух крайних точках:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если функция задана в виде таблиц, то для вычисления производных используеться результаты, получаемые при численном диференцировании, порядок точности которых не ниже 3-ей степени.

3.4 Использование интерполяции на практике 3.4.1 Интерполяция с помощью многочлена Лагранжа

Задание: найти приближенное значение функции при данном значении аргумента с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в неравносторонних узлах таблицы. Дана функция:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Составляем таблицу узлов интерполяции:

Поскольку n=5 строим интерполяционный многочлен L5 (x):

L5 (x) =P50*f (x0) +P51*f (x1) + P52*f (x2) + P53*f (x3) + P54*f (x4) + P55*f (x5) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В результате получаем многочлен:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

L5 (x) = 1.049*10-3*x5+5.4373*10-3*x4 +0.027*x3 - 0,936*x2 + 0,424*x +0.42278, X= - 0.48051

Подставляя заданное значение аргумента, получаем ответ:

L5 (x) = 0,00011

При подстановки того аргумента в заданную функцию, получаем такой же результат:

f (-0.48051) =0.00011

3.4.2 Обратная интерполяция

Задание: найти приближенное значение корня данном значении функции с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа, если функция задана в равносторонних узлах таблицы.

Дана функция:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Составляем таблицу узлов интерполяции:

--------------------------------------------------
i |

Xi

|

Yi

|
---------------------------------------------------------
0 | -0,7 | -0.34091 |
---------------------------------------------------------
1 | -0,5 | -0.02638 |
---------------------------------------------------------
2 | -0,3 | 0.21059 |
---------------------------------------------------------
3 | -0,1 | 0.37098 |
---------------------------------------------------------
4 | 0,1 | 0.4559 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Поскольку n=4 строим интерполяционный многочлен L4 (y):

L4 (y) =P40*x0+P41*x1+ P42*x2+ P43*x3+ P44*x4

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

В результате получаем многочлен:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

L4 (y) = 7.99*y4-0.8176*y3 - 0.4932* y2 +0.9008*y - 0.4759

y= 0

Подставляя заданное значение функции, получаем ответ:

L4 (y) = - 0.47591

Таким образом, получаем приближенное значение корня:

X= - 0.47591

При подстановки этого аргумента в заданную функцию, получаем результат:

f (-0,47591) = 0.00625


3.4.3 Интерполяция сплайнами

Задание:

На участке [b, b+2] выбрать 3 точки (b, b+1,b+2), построить два сплайна на двух отрезках, убедиться в том, что в точке b+1 производная не терпит разрыва.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Построим таблицу:

--------------------------------------------------
i | 1 | 2 | 3 |
---------------------------------------------------------

xi

| 0 | 1 | 2 |
---------------------------------------------------------

yi

| 0.42279 | -0.4955 | -1.93404 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для построения сплайна используем формулы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

h=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Таким образом, нам необходимо, чтобы вторая производная была непрерывна, т. е. получить сплайн с дефектом 1.

Для построения глобального сплайна необходимо, начиная со второго узла поставить условие непрерывности 2-ой производной, т. е.2-ая производная при подходе к точке 2 и дальше слева (x1-0) должна равняться 2-ой производной при подходе справа (x1+0):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Приравнивая эти значения, получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для нашей функции получаем:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 604

Другие дипломные работы по специальности "Информатика":

Web-сайт для учителей информатики: анализ существующих и разработка нового приложения

Смотреть работу >>

Поиск фотооборудования

Смотреть работу >>

Автоматизированная система складского учета в ЗАО "Белгородский бройлер"

Смотреть работу >>

Автоматизированная система учета договоров страхования предпринимательских рисков

Смотреть работу >>

Создание информационно-справочной системы "Методический кабинет"

Смотреть работу >>