Дипломная работа на тему "Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках"

ГлавнаяИнформатика → Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках":


Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Якутский государственный университет имени М. К. Аммосова

Институт математики и информатики

Кафедра прикладной математики

Дипломная работа

“Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках”

“Специальность 010501.65-

Прикладная математика и информа тика”

Специализация “Математическое моделирование”

Едисеева Зоя Никитична

Научный руководитель: Охлопков Н. М

к. ф-м. н. профессор

Рецензент: Николаев Владимир Егорович

к. ф.-м. н., доцент

Якутск 2009

Содержание

Введение

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых успешно сданных дипломных работ предлагает вам скачать любые работы по необходимой вам теме. Качественное написание дипломных работ по индивидуальным требованиям в Иркутске и в других городах РФ.

Глава I. Основные понятия разностных схем

1.1 Сеточная область

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

1.4 Разностная схема

1.5 Корректность разностной схемы

1.6 Аппроксимация и сходимость

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

1.7.2 Формирование сетки

Глава II. Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

2.2 ”Явные” схемы

2.3 Неявные схемы

2.3.1 Центрально-разностная схема

2.3.2 Трехточечная схема с весом

Глава III. Одномерное уравнение переноса с постоянными коэффициентами

3.1 Постановка задачи

3.2 Схема бегущего счета

3.3 Неявные схемы

3.3.1 Центрально-разностная схема

3.3.2 Трехточечная схема весом

3.3.3 Схема “прямоугольник”

3.3.4 Схема со сглаживанием

3.3.5 Схема прямоугольник со сглаживанием

3.3.6 “Шахматная ” схема

Заключение

Использованная литература

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

Введение

Вычислительную математику в узком смысле понимают как теорию численных методов и алгоритмов решения широкого круга математических задач.

В этом смысле теория разностных схем – это раздел вычислительной математики, изучающий методы приближенного решения дифференциальных уравнений путем их замены конечно-разностными уравнениями (разностными схемами).

Разностная схема должна удовлетворять следующим основным требованиям:

1.Определенный порядок аппроксимации, устойчивость экономичность, консервативность, однородность.

2.Важной характеристикой разностной схемы, устанавливающей ее связь с исходным дифференциальным уравнением, является погрешность аппроксимации, определенная как величина невязки, возникающей при подстановке в разностную схему решение исходной задачи.

От того, в каком смысле данная схема аппроксимирует задачу, зависит выбор метода исследования точности схем и тип априорных оценок, выражающих устойчивость по правой части.

Устойчивость является внутренним свойством разностной схемы, которая изучается независимо от аппроксимации и сходимости.

Объектом исследования выбраны разностные схемы, аппроксимирующие исходную задачу.

Цель дипломной работы – выбор наиболее устойчивой разностной схемы.

Для достижения цели поставлены следующие задачи:

- рассмотреть разностные методы решения для уравнений переноса с переменными и постоянными коэффициентами на неравномерных сетках;

- выполнить численный эксперимент рассматриваемых схем.

Глава Основные понятия теории разностных схем

Для численного решения задач по дифференциальным уравнениям методом сеток (конечных разностей) необходимо проделать следующее. Область непрерывного изменения аргумента (аргументов) искомой функции заменяется конечным дискретным множеством точек ,называемых узлами сетки. Все производные, входящие в дифференциальную задачу, заменяются разностными производными. Это осуществляется тем или иным методом конструирования разностных схем. В конечном итоге получаем систему алгебраических уравнений. Таким образом, сущность метода сеток, в настоящее время самого универсального решателя дифференциальных уравнений, состоит в замене исходных дифференциальных задач системами алгебраических уравнений, их приближенно заменяющими.

Если при измельчении шагов сетки решение разностной схемы сходится к решению исходной дифференциальной задачи, то за решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. После конструирования разностной схемы необходимо провести теоретические исследования разрешимости задач. Внутренними свойствами разностной схемы являются аппроксимация и устойчивость. Эти свойства разностной схемы должны исследоваться для каждой схемы.

Получающиеся разностные схемы решаются теми или иными методами решения систем алгебраических уравнений. Разрешающий алгоритм должен быть экономичным и этим же требованиям должна обладать и разностная схема.

1.1 Сеточная область

Для построения разностной схемы необходимо построить сетку Gh-конечное множество точек, принадлежащих G, плотность распределения которых характеризуется параметрами h-шагом сетки. Пусть область изменения аргумента x есть отрезок G={0≤x≤1}. Разобьем этот отрезок точками xi=i∙h, i=0,n на n равных частей длины h=1/n каждая. Множество точек xi=i∙h, называется равномерной сеткой на отрезке 0≤x≤1 и обозначим Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.={xi=i∙h, i=0,n} , а число h-расстояние между точками (узлами) сетки называется шагом сетки. Разбиение отрезка 0≤x≤1 точками xi, i=0,n можно производить произвольным образом - 0<x1<…<xn-1<1. Тогда получаем сетку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.={xi, i=0,n, x0=0, xn=1} c шагами hi=xi-xi-1, которое зависит от номера узла сетки. Если hi≠hi+1 хотя бы в одной точке, то сетка называется неравномерной и такую сетку обозначают ŵРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Точки x0 и xn назовем граничными узлами и обозначим их гh. Остальные узлы назовем внутренними и обозначим их wh. Узлы соседние с граничащими назовем приграничными. Тогда имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=wh Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.гh.

1.2 Сеточная функция. Пространство сеточных функций. Нормы сеточных функций

Функция y=y(xi) дискретного аргумента xi называется сеточной функцией, определенной на сетке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Сеточные функции можно рассматривать как функции целочисленного аргумента, являющегося номером узла сетки, т. е. y=y(xi)=y(i). Далее мы будем писать y(xi)=yi.

Сеточная область wh зависит от параметра h. При различных значениях параметра h имеем различные сеточные области. Поэтому и сеточные функции yh(x) зависят от параметра h.

Функции u(x) непрерывного аргумента являются элементами функционального пространства H. Множество сеточных функций yh(x) образует пространство Hh. Таким образом, в методе сеток пространство H, заменяется пространством Hh сеточных функций yh(x).

Так как рассматривается множество сеток {wh}, то мы получаем множество {Hh} пространств сеточных функций, определенных на {wh}.

Пусть u(x) - решение исходной непрерывной задачи

Lu(x)=f(x), (1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; yh - решение разностной задачи, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Для теории приближенных вычислений представляет большой интерес оценка близости u(x) и yh(x), но u(x) и yh(x) являются элементами из различных пространств. Пространство H отображается на пространство Hh. Каждой функции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ставится в соответствие сеточная функция yh(x), x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.wh, так что yh=Phu Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh, где Ph - линейный оператор из H в Hh. Это соответствие можно осуществить различными способами, т. е. зависит от выбора оператора Ph. Теперь, имея сеточную функцию uh, образуем разность yh-uh, которая является вектором пространства Hh. Близость yh и uh характеризуется числом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.yh-uhРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh, где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh – норма на Hh.

Соответствие функций u(x) и uh можно установить различными способами, например,

uh=u(x), x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. wh.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве Hh введем норму Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh, которая является аналогом нормы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве Hh так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т. е. чтобы выполнялось условие

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.H, (2)

где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Н - норма в пространстве функций, определенных на отрезке, которому принадлежит решение.

Условие (2) называют условием согласования в пространствах Hh и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в Hh для случая сеток

wh={xi=i∙h} на отрезке 0≤x≤1.

1. Норма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

удовлетворяет условию (2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.H=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., H=[a, b],

а сеточную функцию определять в виде (2), т. е.

yh(x)=uh(x), x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. wh

2. Норма Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

удовлетворяют условию (2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.H=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.u2(x)dx, H=C[a, b] ,

а сеточную функцию определять в виде

yh=uh(x), x Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. wh.

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - правая разностная производная; (3)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - левая разностная производная; (4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (6) где у - вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h0,x+h0) точки х, h<h0,h0- фиксированное число.

Подставляя это разложение в (3),(4),(5), получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда видно, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пусть L - дифференциальный оператор, Lh - разностный оператор, заданный на сетке wh. Говорят, что разностный оператор Lh:

1)  аппроксимируем дифференциальный оператор L в узле xi Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. wh, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где v(x)- достаточно гладкая функция, стремится к нулю при h→0;

2)  аппроксимируем L с порядком n >0 в узле xi Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. wh если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.G (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Г. (9)

Введем в области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Г сетку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

Lhyh=fh, xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.wh, (10)

Lhyh=цh, xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.гh. (11)

Функция yh(x), fh(x), цh(x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций {yh}, {fh}, {цh}, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., 0<x≤1, л = const

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Используем аппроксимации:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

После этого имеем разностную схему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Расчетный алгоритм имеем вид

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Воспользуемся следующими аппроксимациями:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

После этого имеем разностную схему

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.5 Корректность разностной схемы

Пусть имеем дифференциальную задачу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (12)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (13) и на сетке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. аппроксимируем ее разностной схемой

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (14)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (15)

Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1)  задача однозначно разрешима при любых правых частях Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2)  решение задачи непрерывно зависит от правых частей Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.H ≤ M1∙Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.H +M2∙Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.H.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (14), (15). Говорят, что разностная схема (14), (15) корректна, если при всех достаточно малых │h│< h0:

1) решение yh разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f hРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh, цh Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Hh;

2) существуют постоянные M1>0, M2>0 не зависящие от h и такие, что при любых f hРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Hh, цh Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Hh справедлива оценка

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh ≤ M1∙Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh +M2∙Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh. (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (17)

Точным решением задачи (17) является функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Если ввести новую функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. то получим задачу

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.(18)

Решением задачи (18) является функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = {xi=ih, i=0,n} схемой:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (19)

Перепишем схему (19) в виде

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рассмотрим фиксированную точку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и выберем последовательность сеток Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. таких, чтобы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. = i0 ∙ h, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. является узлом сетки Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при h→0.

Вычислим значение у в этой точке y(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.) = yi0=si0y0. Так как │s│< 1 при б>0

и любых h, то│ y(Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.)│≤│si0│∙│y0│< │y(0)│ при любом h. Из этого

неравенства видно, что решение разностной схемы (19) непрерывно зависит от вход€ных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (20)

Точным решением задачи (20) является функция

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда следует неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (21)

при л>0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (23)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Неравенство (22) будет выполнено, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (24)

Отсюда

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (25)

Отсюда имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Условие (22) будет выполнено, если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. т. е Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда получаем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Схема абсолютно устойчива при

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

т. е. схема (25) условно устойчива при Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть uh значение функции u(x) на сеточной области Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. uh Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сеткеРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

zh = yh –uh,

где yh – решение схемы (14), (15), uh - решение задачи (12), (13) на сетке ͞wh. Подставив yh = zh +uh в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (26)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (27)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h0 выполняется неравенство

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Hh =Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.HhM ∙ hn,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

шh = O(hn),

т. еРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.M∙hn

Теорема. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство.Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh = Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.HhM1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh + M2Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh. (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖zh‖Hh→0 при h→0, если Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh→0 и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Hh→0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hn), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т. е.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh = О(hn), Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Hh = O(hn).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для zi получаем схему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (30)

Разложим ui+1 по формуле Тейлора в точке xi, имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (31)

Подставляя (31) в шi, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

т. е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

При Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Выражая zi через z0, получим:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда видно, что при h→0, │zi│→0. Для точности схемы имеем

│zi+1│≤ Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. h∙│шs│≤ h ∙ i ∙ O(h) = xi∙O(h) ≤ M ∙ h,

т. е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения zi = yi –ui получаем разностную схему:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Подставляя разложение (31) в шi, получим

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

т. е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для zi:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Множитель Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. при л > 0. Выражая zi через z0, имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Отсюда │zi│≤ M∙h, т. е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}. Ее аппроксимируем сеточной областью:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- средний шаг}- сетка по х;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- средний шаг}- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - правая разностная производная по х; (1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-сеточная функция;

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - левая разностная производная по х; (2)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- центральная разностная производная по х; (3)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- аппроксимация с весом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; (4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- правая разностная производная по t; (5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - левая разностная производная по t; (6)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; (8)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Найдем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и подставим в (1).

Имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Функцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. разложим по формуле Тейлора

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

и подставим в Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Имеем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

1.7.2 Формирование сетки

I вариант

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. ,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , q>1-возраст. геометр. прогрессия

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , q<1-убыв. геометр. прогрессия

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (2)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. , q>1. (3)

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., (4)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., q<1. (5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.- задаем сами.

Пример Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

q>1 и по формуле (3) nРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Пример Пусть Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

вычисляем по формуле (5)

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Действительно

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

II вариант

Можно использовать другой подход:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

a) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., q<1 - убывающая геом. прогрессия n и q-задаем сами.

в) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., q>1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1)  Равномерная сетка Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2)  Квазиравномерная сетка (Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.…).

3)  Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

4)  Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

5)  Среднеарифметический метод 3) и 4) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Глава II Одномерное уравнение переноса с переменными коэффициентами

2.1 Постановка задачи

Рассмотрим уравнение вида:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

удовлетворяющий начальным условиям

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

и граничным условиям:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (3)

Входные данные:

1) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. l=1, T=1

точное решение: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

точное решение: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

3) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

точное решение: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

4) Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

точное решение: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Для решения задачи (1) – (3) используем различные разностные схемы, вернее, явную и неявную.

2.2 “Явные ” схемы

Явные схемы для нашей задачи используются тогда, когда p(x, t) > 0, (p0>0, pN>0) или p(x, t)<0, (p0<0, pN<0). На практике часто используют схему бегущего счета. В зависимости от знака функции p(x, t) используют правую или левую разностные схемы.

Итак, рассмотрим схему бегущего счета в обоих случаях.

1) p(x, t)>0, (p0>0, pN>0)

Разностная схема (правая) имеет в

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 612

Другие дипломные работы по специальности "Информатика":

Web-сайт для учителей информатики: анализ существующих и разработка нового приложения

Смотреть работу >>

Поиск фотооборудования

Смотреть работу >>

Автоматизированная система складского учета в ЗАО "Белгородский бройлер"

Смотреть работу >>

Автоматизированная система учета договоров страхования предпринимательских рисков

Смотреть работу >>

Создание информационно-справочной системы "Методический кабинет"

Смотреть работу >>