Дипломная работа на тему "Криптография"

ГлавнаяИнформатика → Криптография




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Криптография":


Содержание

От автора __________ __________ __________ __________ __________ _________________ 1

Введение __________ __________ __________ __________ __________ __________________ 2

Терминология __________ __________ __________ __________ __________ ____________ 3

Требования к криптосистемам __________ __________ __________ __________________ 4

Симметричные криптосистемы __________ __________ __________ __________________ 6

Перестановки __________ __________ __________ __________ __________ ____________ 7

Системы подстановок __________ __________ __________ __________ _______________ 7

Гаммирование __________ __________ __________ __________ __________ ___________ 13

Датчики ПСЧ __________ __________ __________ __________ __________ ___________ 13

Стандарт шифрования данных ГОСТ 28147-89 __________ __________ _____________ 15

Системы с открытым ключом __________ __________ __________ __________________ 19

Алгоритм RSA __________ __________ __________ __________ __________ __________ 20

Криптосистема Эль-Гамаля __________ __________ __________ __________ __________ 24

Криптосистемы на основе эллиптических уравнений __________ _________________ 25

Электронная подпись __________ __________ __________ __________ ________________ 26

Электронная подпись на основе алгоритма RSA __________ __________ ____________ 27

Цифровая сигнатура __________ __________ __________ __________ ________________ 29

Управление ключами __________ __________ __________ __________ ________________ 32

Генерация ключей __________ __________ __________ __________ _________________ 32

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Специальный банк готовых успешно сданных дипломных проектов предлагает вам приобрести любые работы по нужной вам теме. Правильное выполнение дипломных проектов по индивидуальным требованиям в Нижнем Новгороде и в других городах России.

Накопление ключей __________ __________ __________ __________ ________________ 32

Распределение ключей __________ __________ __________ __________ ______________ 33

Проблемы и перспективы криптографических систем __________ _________________ 36

Шифрование больших сообщений и потоков данных __________ __________________ 36

Использование “блуждающих ключей” __________ __________ __________ __________ 37

Шифрование, кодирование и сжатие информации __________ __________ __________ 39

Реализация криптографических методов __________ __________ __________________ 40

Заключение __________ __________ __________ __________ __________ _______________ 42

От автора

Эта книга - краткое введение в криптографию. С одной стороны, здесь изложен материал, который отвечает на многие вопросы, которые возникают у тех кто делает на ниве этой науке первые шаг, с другой стороны здесь есть тот минимум информации, который достаточен для того чтобы самостоятельно оценивать любые реальные криптосистемы или даже создавать свои собственные.

Язык книги делался по возможности доступным, но не освобождает Читателя от необходимости владения элементарными основами математики, в частности алгебры и теории групп и полей.

Многие вопросы к сожалению остались за обложками этой книги. В частности после долгих сомнений Автор решил отказаться от рассмотрения DES, ввиду его крайней непрактичности и неуживчивости на российской почве[1].

Массу полезной информации можно найти на сервере ftp. rsa. com. В faq5.doc Вы если и не найдете ответ на любой вопрос по криптографии, то обнаружите большое количество ссылок на другие источники.

Автор будет признателен за любые замечания и вопросы, которые проще всего направить по адресу: bar@glasnet. ru

Баричев Сергей

Введение

Про­бле­ма за­щи­ты ин­фор­ма­ции пу­тем ее пре­об­ра­зо­ва­ния, исключающего ее про­чте­ние по­сто­рон­ним ли­цом вол­но­ва­ла че­ло­ве­че­ский ум с дав­них вре­мен. История криптографии - ровесница истории человеческого языка. Более того, первоначально письменность сама по себе была криптографической системой, так как в древних обществах ею владели только избранные. Священные книги Древ­него Егип­та, Древ­ней Индии тому примеры.

С широким распространением письменности криптография стала формироваться как самостоятельная наука. Первые криптосистемы встречаются уже в начале нашей эры. Так, Цезарь в своей переписке использовал уже более менее систематический шифр, получивший его имя.

Бурное раз­ви­тие крип­то­гра­фи­че­ские сис­те­мы по­лу­чи­ли в го­ды пер­вой и вто­рой ми­ро­вых войн. Начиная с послевоенного времени и по нынешний день появление вычислительных средств ускорило разработку и совершенствование криптографических методов.

По­че­му про­бле­ма ис­поль­зо­ва­ния крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов в информационных системах (ИС) ста­ла в на­стоя­щий мо­мент осо­бо ак­ту­аль­на?

С од­ной сто­ро­ны, рас­ши­ри­лось ис­поль­зо­ва­ние ком­пь­ю­тер­ных се­тей, в частности глобальной сети Интернет, по ко­то­рым пе­ре­да­ют­ся боль­шие объ­е­мы ин­фор­ма­ции го­су­дар­ст­вен­но­го, во­ен­но­го, ком­мер­че­ско­го и ча­ст­но­го ха­рак­те­ра, не до­пус­каю­ще­го воз­мож­ность дос­ту­па к ней по­сто­рон­них лиц.

С дру­гой сто­ро­ны, по­яв­ле­ние но­вых мощ­ных ком­пь­ю­те­ров, тех­но­ло­гий се­те­вых и ней­рон­ных вы­чис­ле­ний сде­ла­ло воз­мож­ным дис­кре­ди­та­цию криптографических сис­тем еще не­дав­но счи­тав­ших­ся прак­ти­че­ски не раскрываемыми.

Про­бле­мой защиты информации путем ее преобразования за­ни­ма­ет­ся крип­то­ло­гия (kryptos - тай­ный, logos - нау­ка). Криптология раз­де­ля­ет­ся на два на­прав­ле­ния - крип­то­гра­фию и крип­тоа­на­лиз. Це­ли этих на­прав­ле­ний прямо про­ти­во­по­лож­ны.

Крип­то­гра­фия за­ни­ма­ет­ся по­ис­ком и ис­сле­до­ва­ни­ем ма­те­ма­ти­че­ских ме­то­дов пре­об­ра­зо­ва­ния ин­фор­ма­ции.

Сфе­ра ин­те­ре­сов криптоанализа - ис­сле­до­ва­ние воз­мож­но­сти рас­шиф­ро­вы­ва­ния ин­фор­ма­ции без зна­ния клю­чей.

В этой книге ос­нов­ное вни­ма­ние бу­дет уде­ле­но крип­то­гра­фи­че­ским ме­то­дам.

Современная криптография включает в себя четыре крупных раздела:

1. Симметричные криптосистемы.

2. Криптосистемы с открытым ключом.

3. Системы электронной подписи.

4. Управление ключами.

Основные направления использования криптографических методов - передача конфиденциальной информации по каналам связи (например, электронная почта), установление подлинности передаваемых сообщений, хра­не­ние ин­фор­ма­ции (до­ку­мен­тов, баз данных) на но­си­те­лях в за­шиф­ро­ван­ном ви­де.

Тер­ми­но­ло­гия

Итак, криптография дает возможность преобразовать информацию таким образом, что ее прочтение (восстановление) возможно только при знании ключа.

В качестве информации, подлежащей шифрованию и дешифрованию, будут рассматриваться тексты, построенные на некотором алфавите. Под этими терминами понимается следующее.

Алфавит - конечное множество используемых для кодирования информации знаков.

Текст - упорядоченный набор из элементов алфавита.

В качестве примеров алфавитов, используемых в современных ИС можно привести следующие:

*  алфавит Z33 - 32 буквы русского алфавита и пробел;

*  алфавит Z256 - символы, входящие в стандартные коды ASCII и КОИ-8;

*  бинарный алфавит - Z2 = {0,1};

восьмеричный алфавит или шестнадцатеричный алфавит;

Шиф­ро­ва­ние - пре­об­ра­зо­ва­тель­ный про­цесс: ис­ход­ный текст, ко­то­рый но­сит так­же на­зва­ние от­кры­то­го тек­ста, за­ме­ня­ет­ся шиф­ро­ван­ным тек­стом.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Дешифрование - обратный шифрованию процесс. На основе ключа шифрованный текст преобразуется в исходный.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Ключ - ин­фор­ма­ция, не­об­хо­ди­мая для бес­пре­пят­ст­вен­но­го шиф­ро­ва­ния и де­шиф­ро­ва­ния тек­стов.

Крип­то­гра­фи­че­ская сис­те­ма пред­став­ля­ет со­бой се­мей­ст­во T пре­об­ра­зо­ва­ний от­кры­то­го тек­ста. Чле­ны это­го се­мей­ст­ва ин­дек­си­ру­ют­ся, или обо­зна­ча­ют­ся сим­во­лом k; па­ра­метр k яв­ля­ет­ся клю­чом. Про­стран­ст­во клю­чей K - это на­бор воз­мож­ных зна­че­ний клю­ча. Обыч­но ключ пред­став­ля­ет со­бой по­сле­до­ва­тель­ный ряд букв ал­фа­ви­та.

Криптосистемы разделяются на симметричные и с открытым ключом.

В симметричных криптосистемах и для шифрования, и для дешифрования используется один и тот же ключ.

В системах с открытым ключом используются два ключа - открытый и закрытый, которые математически связаны друг с другом. Информация шифруется с помощью открытого ключа, который доступен всем желающим, а расшифровывается с помощью закрытого ключа, известного только получателю сообщения.

Тер­ми­ны рас­пре­де­ле­ние клю­чей и управ­ле­ние клю­ча­ми от­но­сят­ся к про­цес­сам сис­те­мы об­ра­бот­ки ин­фор­ма­ции, со­дер­жа­ни­ем ко­то­рых яв­ля­ет­ся со­став­ле­ние и рас­пре­де­ле­ние клю­чей ме­ж­ду поль­зо­ва­те­ля­ми.

Электронной (цифровой) подписью называется присоединяемое к тексту его криптографическое преобразование, которое позволяет при получении текста другим пользователем проверить авторство и подлинность сообщения.

Крип­то­стой­ко­стью на­зы­ва­ет­ся ха­рак­те­ри­сти­ка шиф­ра, оп­ре­де­ляю­щая его стой­кость к де­шиф­ро­ва­нию без зна­ния клю­ча (т. е. крип­тоа­на­ли­зу). Имеется несколько показателей криптостойкости, среди которых:

-   количество всех возможных ключей;

-   среднее время, необходимое для криптоанализа.

Пре­об­ра­зо­ва­ние Tk оп­ре­де­ля­ет­ся со­от­вет­ст­вую­щим ал­го­рит­мом и зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра k. Эф­фек­тив­ность шиф­ро­ва­ния с це­лью за­щи­ты ин­фор­ма­ции за­ви­сит от со­хра­не­ния тай­ны клю­ча и криптостойкости шифра.

Требования к криптосистемам

Про­цесс крип­то­гра­фи­че­ско­го за­кры­тия данных мо­жет осу­ще­ст­в­лять­ся как про­грамм­но, так и аппаратно. Ап­па­рат­ная реа­ли­за­ция от­ли­ча­ет­ся су­ще­ст­вен­но боль­шей стои­мо­стью, од­на­ко ей при­су­щи и пре­иму­ще­ст­ва: вы­со­кая про­из­во­ди­тель­ность, про­сто­та, за­щи­щен­ность и т. д. Про­грамм­ная реа­ли­за­ция бо­лее прак­тич­на, до­пус­ка­ет из­вест­ную гиб­кость в ис­поль­зо­ва­нии.

Для со­вре­мен­ных крип­то­гра­фи­че­ских сис­тем за­щи­ты ин­фор­ма­ции сфор­му­ли­ро­ва­ны сле­дую­щие об­ще­при­ня­тые тре­бо­ва­ния:

-   за­шиф­ро­ван­ное сообщение дол­жно под­да­вать­ся чте­нию толь­ко при на­ли­чии клю­ча;

-   чис­ло опе­ра­ций, не­об­хо­ди­мых для оп­ре­де­ле­ния ис­поль­зо­ван­но­го клю­ча шиф­ро­ва­ния по фраг­мен­ту шиф­ро­ван­но­го сообщения и со­от­вет­ст­вую­ще­го ему от­кры­то­го тек­ста, долж­но быть не мень­ше об­ще­го чис­ла воз­мож­ных клю­чей;

-   чис­ло опе­ра­ций, не­об­хо­ди­мых для рас­шиф­ро­вы­ва­ния ин­фор­ма­ции пу­тем пе­ре­бо­ра все­воз­мож­ных ключей долж­но иметь стро­гую ниж­нюю оцен­ку и вы­хо­дить за пре­де­лы воз­мож­но­стей со­вре­мен­ных ком­пь­ю­те­ров (с учетом возможности использования сетевых вычислений);

-   зна­ние ал­го­рит­ма шиф­ро­ва­ния не долж­но вли­ять на на­деж­ность за­щи­ты;

-   не­зна­чи­тель­ное из­ме­не­ние клю­ча долж­но при­во­дить к су­ще­ст­вен­но­му из­ме­не­нию ви­да за­шиф­ро­ван­но­го сообщения да­же при ис­поль­зо­ва­нии од­но­го и то­го же клю­ча;

-   струк­тур­ные эле­мен­ты ал­го­рит­ма шиф­ро­ва­ния долж­ны быть не­из­мен­ны­ми;

-   до­пол­ни­тель­ные би­ты, вво­ди­мые в сообщение в про­цес­се шиф­ро­ва­ния, должен быть пол­но­стью и на­деж­но скры­ты в шиф­ро­ван­ном тек­сте;

-   дли­на шиф­ро­ван­но­го тек­ста долж­на быть рав­ной дли­не ис­ход­но­го тек­ста;

-   не долж­но быть про­стых и лег­ко ус­та­нав­ли­вае­мых зависимостью ме­ж­ду клю­ча­ми, по­сле­до­ва­тель­но ис­поль­зуе­мы­ми в про­цес­се шиф­ро­ва­ния;

-   лю­бой ключ из мно­же­ст­ва возможных дол­жен обес­пе­чи­вать на­деж­ную за­щи­ту ин­фор­ма­ции;

-   ал­го­ритм должен до­пус­кать как про­грамм­ную, так и ап­па­рат­ную реа­ли­за­цию, при этом из­ме­не­ние длины к­лю­ча не долж­но вес­ти к ка­че­ст­вен­но­му ухуд­ше­нию ал­го­рит­ма шифрования.

Симметричные криптосистемы

Все мно­го­об­ра­зие су­ще­ст­вую­щих крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов мож­но све­сти к сле­дую­щим клас­сам пре­об­ра­зо­ва­ний:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Мо­но- и мно­го­ал­фа­вит­ные под­ста­нов­ки.

Наи­бо­лее про­стой вид пре­об­ра­зо­ва­ний, за­клю­чаю­щий­ся в за­ме­не сим­во­лов ис­ход­но­го тек­ста на другие (того же алфавита) по бо­лее или ме­нее слож­но­му пра­ви­лу. Для обес­пе­че­ния вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти тре­бу­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние боль­ших клю­чей.

Пе­ре­ста­нов­ки.

Так­же не­слож­ный ме­тод крип­то­гра­фи­че­ско­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Ис­поль­зу­ет­ся как пра­ви­ло в со­че­та­нии с дру­ги­ми ме­то­да­ми.

Гам­ми­ро­ва­ние.

Этот ме­тод за­клю­ча­ет­ся в на­ло­же­нии на ис­ход­ный текст не­ко­то­рой псев­до­слу­чай­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти, ге­не­ри­руе­мой на ос­но­ве клю­ча.

Блочные шифры.

Пред­став­ля­ют со­бой по­сле­до­ва­тель­ность (с воз­мож­ным по­вто­ре­ни­ем и че­ре­до­ва­ни­ем) ос­нов­ных ме­то­дов пре­об­ра­зо­ва­ния, при­ме­няе­мую к блоку (части) шиф­руе­мого­ тек­ста. Блочные шифры на прак­ти­ке встре­ча­ют­ся ча­ще, чем “чис­тые” пре­об­ра­зо­ва­ния то­го или ино­го клас­са в си­лу их бо­лее вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти. Рос­сий­ский и аме­ри­кан­ский стан­дар­ты шиф­ро­ва­ния ос­но­ва­ны имен­но на этом классе шифров.

Перестановки

Перестановкой s набора целых чисел (0,1,...,N-1) называется его переупорядочение. Для того чтобы показать, что целое i пере­мещено из позиции i в позицию s(i), где 0 £ (i) < n, будем использовать запись

s=(s(0), s(1),..., s(N-1)).

Число перестановок из (0,1,...,N-1) равно n!=1*2*...*(N-1)*N. Введем обозначение s для взаимно-однозначного отображения (гомо­морфизма) набора S={s0,s1, ...,sN-1}, состоящего из n элементов, на себя.

s: S ® S

s: si ® ss(i), 0 £ i < n

Будем говорить, что в этом смысле s является перестановкой элементов S. И, наоборот, автоморфизм S соответствует пере­становке целых чисел (0,1,2,.., n-1).

Криптографическим преобразованием T для алфавита Zm называется последовательность автоморфизмов: T={T(n):1£n<¥}

T(n): Zm, n®Zm, n, 1£n<¥

Каждое T(n) является, таким образом, перестановкой n-грамм из Zm, n.

Поскольку T(i) и T(j) могут быть определены независимо при i¹j, число криптографических преобразований исходного текста размерности n равно (mn)![2]. Оно возрастает непропорционально при увеличении m и n: так, при m=33 и n=2 число различных криптографических преобразований равно 1089!. Отсюда следует, что потенциально существует большое число отображений исходного текста в шифрованный.

Практическая реализация криптогра­фических систем требует, чтобы преобразо­вания {Tk: kÎK} были определены алгоритмами, зависящими от относительно небольшого числа параметров (ключей).

Сис­те­мы под­ста­но­вок

Определение Подстановкой p на алфавите Zm называется автоморфизм Zm, при котором буквы исходного текста t замещены буквами шифрованного текста p(t):

Zm à Zm; p: t à p(t).

Набор всех подстановок называется симметрической группой Zm è будет в дальнейшем обозначаться как SYM(Zm).

Утверждение SYM(Zm) c операцией произведения является группой, т. е. операцией, обладающей следующими свойствами:

  Замкнутость: произведение подстановок p1p2 является подста­новкой:

p: tàp1(p2(t)).

  Ассоциативность: результат произведения p1p2p3 не зависит от порядка расстановки скобок:

(p1p2)p3=p1(p2p3)

  Существование нейтрального элемента: постановка i, опре­деляемая как i(t)=t, 0£t<m, является нейтральным элементом SYM(Zm) по операции умножения: ip=pi для "pÎSYM(Zm).

  Существование обратного: для любой подстановки p существует единственная обратная подстановка p-1, удовлетворя­ющая условию

pp‑1=p‑1p=i.

Число возможных подстановок в симметрической группе Zm называется порядком SYM(Zm) и равно m! .

Определение. Ключом подстановки k для Zm называется последовательность элементов симметрической группы Zm:

k=(p0,p1,...,pn-1,...), pnÎSYM(Zm), 0£n<¥

Подстановка, определяемая ключом k, является крипто­гра­фи­ческим преобразованием Tk, при помощи которого осуществляется преоб­разование n-граммы исходного текста (x0 ,x1 ,..,xn-1) в n-грамму шифрованного текста (y0 ,y1 ,...,yn-1):

yi=p(xi), 0£i<n

где n – произвольное (n=1,2,..). Tk называется моноалфавитной под­ста­новкой, если p неизменно при любом i, i=0,1,..., в противном случае Tk называется многоалфавитной подстановкой.

Примечание. К наиболее существенным особенностям подста­новки Tk относятся следующие:

1. Исходный текст шифруется посимвольно. Шифрования n-граммы (x0 ,x1 ,..,xn-1) и ее префикса (x0 ,x1 ,..,xs-1) связаны соотношениями

Tk(x0 ,x1 ,..,xn-1)=(y0 ,y1 ,...,yn-1)

Tk(x0 ,x1 ,..,xs-1)=(y0 ,y1 ,...,ys-1)

2. Буква шифрованного текста yi является функцией только i-й компоненты ключа pi и i-й буквы исходного текста xi.

Подстановка Цезаря

Подстановка Цезаря является самым простым вариантом подстановки. Она относится к группе моноалфавитных подстановок.

Определение. Подмножество Cm={Ck: 0£k<m} симметрической группы SYM(Zm), содержащее m подстановок

Ck: j®(j+k) (mod m), 0£k < m,

называется подстановкой Цезаря.

Умножение коммутативно, CkCj=CjCk=Cj+k, C0 – идентичная подстановка, а обратной к Cк является Ck-1=Cm-k, где 0<k<m. Семейство подстановок Цезаря названо по имени римского императора Гая Юлия Цезаря, который поручал Марку Туллию Цицерону составлять послания с использованием 50-буквенного алфавита и подстановки C3.

Подстановка определяется по таблице замещения, содержащей пары соответствующих букв “исходный текст – шифрованный текст”. Для C3 подстановки приведены в Табл. 1. Стрелка (à) означает, что буква исходного текста (слева) шифруется при помощи C3 в букву шифрованного текста (справа).

Определение Системой Цезаря называется моноалфа­витная подстановка, преобразующая n-грамму исходного текста (x0, x1 ,..,xn-1) в n‑грамму шифрованного текста (y0 ,y1 ,...,yn-1) в соответствии с правилом

yi=Ck(xi), 0£i<n.

Например, ВЫШЛИТЕ_НОВЫЕ_УКАЗАНИЯ посредством подстановки C3 преобразуется в еюыолхиврсеюивцнгкгрлб.

Таблица 1.

--------------------------------------------------
Аàг | Йàм | Тàх | Ыàю |
---------------------------------------------------------
Бàд | Кàн | Уàц | Ьàя |
---------------------------------------------------------
Вàе | Лàо | Фàч | Эà_ |
---------------------------------------------------------
Гàж | Мàп | Хàш | Юàа |
---------------------------------------------------------
Дàз | Нàр | Цàщ | Яàб |
---------------------------------------------------------
Еàи | Оàс | Чàъ | _àв |
---------------------------------------------------------
Жàй | Пàт | Шàы |
---------------------------------------------------------
Зàк | Рàу | Щàь |
---------------------------------------------------------
Иàл | Сàф | Ъàэ |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

При своей несложности система легко уязвима. Если злоумышленник имеет

1) шифрованный и соответ­ствующий исходный текст или

2) шифрованный текст выбранного злоумыш­ленником исходного текста,

то определение ключа и дешифрование исходного текста тривиальны.

Более эффективны обобщения подстановки Цезаря - шифр Хилла и шифр Плэйфера. Они основаны на подстановке не отдельных символов, а 2-грамм (шифр Плэйфера) или n-грамм[3] (шифр Хилла). При более высокой криптостойкости они значительно сложнее для реализации и требуют достаточно большого количества ключевой информации.

Многоалфавитные системы. Системы одноразового использования.

Слабая криптостойкость моноалфавитных подстановок преодолевается с применением подстановок многоалфавитных.

Многоалфавитная подстановка определяется ключом p=(p1,
p2, ...), содержащим не менее двух различных подстановок. В начале рассмотрим многоалфавитные системы подстановок с нулевым начальным смещением.

Пусть {Ki: 0£i<n} - независимые случайные переменные с одинаковым распределением вероятностей, принимающие значения на множестве Zm

Pкл{(K0, K1, ..., Kn-1)=(k0, k1, ..., kn-1)}=(1/m)n

Система одноразового использования преобразует исходный текст

X=(X0, x1, ..., xn-1)

в шифрованный текст

Y=(Y0, y1, ..., yn-1)

при помощи подстановки Цезаря

Yi=CKi(xi)=(Ki+Xi) (mod m) i=0...n-1 (1)

Для такой системы подстановки используют также термин “одноразовая лента” и “одноразовый блокнот”. Пространство ключей К системы одноразовой подстановки является вектором рангов (K0, K1, ..., Kn-1) и содержит mn точек.

Рассмотрим небольшой пример шифрования с бесконечным ключом. В качестве ключа примем текст

“БЕСКОНЕЧНЫЙ_КЛЮЧ....”.

Зашифруем с его помощью текст “ШИФР_НЕРАСКРЫВАЕМ”. Шифрование оформим в таблицу:

--------------------------------------------------
ШИФРУЕМЫЙ_ТЕКСТ | 24 | 8 | 20 | 16 | 19 | 5 | 12 | 27 | 9 | 32 | 18 | 5 | 10 | 17 | 18 |
---------------------------------------------------------
БЕСКОНЕЧНЫЙ_КЛЮЧ | 1 | 5 | 17 | 10 | 14 | 13 | 5 | 23 | 13 | 27 | 9 | 32 | 10 | 11 | 30 |
---------------------------------------------------------
ЩРДЪАТТССЦЪЫДФЬП | 25 | 13 | 4 | 26 | 0 | 18 | 17 | 17 | 22 | 26 | 27 | 4 | 20 | 28 | 15 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Исходный текст невозможно восстановить без ключа.

Наложение белого шума в виде бесконечного ключа на исходный текст меняет статистические характеристики языка источника. Системы одноразового использования теоретически не расшифруемы[4], так как не содержат достаточной информации для восстановления текста.

Почему же эти системы неприменимы для обеспечения секретности при обработке информации? Ответ простой - они непрактичны, так как требуют независимого выбора значения ключа для каждой буквы исходного текста. Хотя такое требование может быть и не слишком трудным при передаче по прямому кабелю Москва - Нью-Йорк, но для информационных оно непосильно, поскольку там придется шифровать многие миллионы знаков.

Посмотрим, что получится, если ослабить требование шифровать каждую букву исходного текста отдельным значением ключа.

Системы шифрования Вижинера

Начнем с конечной последовательности ключа

k = (k0 ,k1 ,...,kn),

которая называется ключом пользователя, и продлим ее до бесконечной последовательности, повторяя цепочку. Таким образом, получим рабочий ключ

k = (k0 ,k1 ,...,kn), kj = k(j mod r, 0 £ j < ¥ .

Например, при r = ¥ и ключе пользователя 15 8 2 10 11 4 18 рабочий ключ будет периодической последовательностью:

15 8 2 10 11 4 18 15 8 2 10 11 4 18 15 8 2 10 11 4 18 ...

Определение. Подстановка Вижинера VIGk определяется как

VIGk : (x0, x1, ..., xn-1) ® (y0, y1, ..., yn-1) = (x0+k, x1+k,. .., xn-1+k).

Таким образом:

1) исходный текст x делится на r фрагментов

xi = (xi , xi+r , ..., xi+r(n-1)), 0 £ i < r;

2) i-й фрагмент исходного текста xi шифруется при помощи подстановки Цезаря Ck :

(xi , xi+r , ..., xi+r(n-1)) ® (yi, yi+r , ..., yi+r(n-1)),

Вариант системы подстановок Вижинера при m=2 называется системой Вернама (1917 г).

В то время ключ k=(k0 ,k1 ,...,kк-1) записывался на бумажной ленте. Каждая буква исходного текста в алфавите, расширенном некоторыми дополнительными знаками, сначала переводилась с использованием кода Бодо в пятибитовый символ. К исходному тексту Бодо добавлялся ключ (по модулю 2). Старинный телетайп фирмы AT&T со считывающим устройством Вернама и оборудованием для шифрования, использовался корпусом связи армии США.

Очень распространена плохая с точки зрения секретности практика использовать слово или фразу в качестве ключа для того, чтобы k=(k0 ,k1 ,...,kк-1) было легко запомнить. В ИС для обеспечения безопасности информации это недопустимо. Для получения ключей должны использоваться программные или аппаратные средства случайной генерации ключей.

Пример. Преобразование текста с помощью подстановки Вижинера (r=4)

Исходный текст (ИТ1):

НЕ_СЛЕДУЕТ_ВЫБИРАТЬ_НЕСЛУЧАЙНЫЙ_КЛЮЧ

Ключ: КЛЮЧ

Разобьем исходный текст на блоки по 4 символа:

НЕ_С ЛЕДУ ЕТ_В ЫБИР АТЬ_ НЕСЛ УЧАЙ НЫЙ_ КЛЮЧ

и наложим на них ключ (используя таблицу Вижинера):

H+К=Ч, Е+Л=Р и т. д.

Получаем зашифрованный (ЗТ1) текст:

ЧРЭЗ ХРБЙ ПЭЭЩ ДМЕЖ КЭЩЦ ЧРОБ ЭБЮ_ ЧЕЖЦ ФЦЫН

Можно выдвинуть и обобщенную систему Вижинера. ЕЕ можно сформулировать не только при помощи подстановки Цезаря.

Пусть x - подмножество симметрической группы SYM(Zm).

Определение. r-многоалфавитный ключ шифрования есть r-набор p = (p0, p1, ..., pr-1) с элементами в x.

Обобщенная система Вижинера преобразует исходный текст (x0, x1 ,..., xn-1) в шифрованный текст (y0 ,y1 ,...,yn-1) при помощи ключа p = (p0, p1, ..., pr-1) по правилу

VIGk : (x0 ,x1 ,...,xn-1) ® (y0 ,y1 ,...,yn-1) = (p0(х0), p1(х1), ..., pn-1(xn-1)),

где используется условие pi = pi mod r .

Следует признать, что и многоалфавитные подстановки в принципе доступны криптоаналитическому исследованию. Криптостойкость многоалфавитных систем резко убывает с уменьшением длины ключа.

Тем не менее такая система как шифр Вижинера допускает несложную аппаратную или программную реализацию и при достаточно большой длине ключа может быть использован в современных ИС.

Гам­ми­ро­ва­ние

Гам­ми­ро­ва­ние яв­ля­ет­ся так­же ши­ро­ко при­ме­няе­мым крип­то­гра­фи­че­ским пре­об­ра­зо­ва­ни­ем. На са­мом де­ле гра­ни­ца ме­ж­ду гам­ми­ро­ва­ни­ем и ис­поль­зо­ва­ни­ем бес­ко­неч­ных клю­чей и шиф­ров Ви­жи­не­ра, о ко­то­рых речь шла вы­ше, весь­ма ус­лов­ная.

Прин­цип шифрования гам­ми­ро­ва­ни­ем за­клю­ча­ет­ся в ге­не­ра­ции гам­мы шиф­ра с по­мо­щью дат­чи­ка псев­до­слу­чай­ных чи­сел и на­ло­же­нии по­лу­чен­ной гам­мы на от­кры­тые дан­ные об­ра­ти­мым об­ра­зом (на­при­мер, ис­поль­зуя сло­же­ние по мо­ду­лю 2).

Про­цесс дешифрования дан­ных сво­дит­ся к по­втор­ной ге­не­ра­ции гам­мы шиф­ра при из­вест­ном клю­че и на­ло­же­нии та­кой гам­мы на за­шиф­ро­ван­ные дан­ные.

По­лу­чен­ный за­шиф­ро­ван­ный текст яв­ля­ет­ся дос­та­точ­но труд­ным для рас­кры­тия в том слу­чае, ес­ли гам­ма шиф­ра не со­дер­жит по­вто­ряю­щих­ся би­то­вых по­сле­до­ва­тель­ностей. По су­ти де­ла гам­ма шиф­ра долж­на из­ме­нять­ся слу­чай­ным об­ра­зом для ка­ж­до­го шиф­руе­мо­го сло­ва. Фак­ти­че­ски же, ес­ли пе­ри­од гам­мы пре­вы­ша­ет дли­ну все­го за­шиф­ро­ван­но­го тек­ста и не­из­вест­на ни­ка­кая часть ис­ход­но­го тек­ста, то шифр мож­но рас­крыть толь­ко пря­мым пе­ре­бо­ром (про­бой на ключ). Криптостойкость в этом слу­чае оп­ре­де­ля­ет­ся раз­ме­ром клю­ча.

Ме­тод гам­ми­ро­ва­ния ста­но­вит­ся бес­силь­ным, ес­ли зло­умыш­лен­ни­ку ста­но­вит­ся из­вес­тен фраг­мент ис­ход­но­го тек­ста и со­от­вет­ст­вую­щая ему шиф­ро­грам­ма. Про­стым вы­чи­та­ни­ем по мо­ду­лю по­лу­ча­ет­ся от­ре­зок ПСП и по не­му вос­ста­нав­ли­ва­ет­ся вся по­сле­до­ва­тель­ность. Зло­умыш­лен­ни­ки мо­жет сде­лать это на ос­но­ве до­га­док о со­дер­жа­нии ис­ход­но­го тек­ста. Так, ес­ли боль­шин­ст­во по­сы­лае­мых со­об­ще­ний на­чи­на­ет­ся со слов “СОВ. СЕК­РЕТ­НО”, то крип­тоа­на­лиз все­го тек­ста зна­чи­тель­но об­лег­ча­ет­ся. Это сле­ду­ет учи­ты­вать при соз­да­нии ре­аль­ных сис­тем ин­фор­ма­ци­он­ной безо­пас­но­сти.

Ниже рассматриваются наиболее распространенные методы генерации гамм, которые могут быть использованы на практике.

Датчики ПСЧ

Что­бы по­лу­чить ли­ней­ные по­сле­до­ва­тель­но­сти эле­мен­тов гам­мы, дли­на ко­то­рых пре­вы­ша­ет раз­мер шиф­руе­мых дан­ных, ис­поль­зу­ют­ся дат­чи­ки ПСЧ. На ос­но­ве тео­рии групп бы­ло раз­ра­бо­та­но не­сколь­ко ти­пов та­ких дат­чи­ков.

Конгруэнтные датчики

В на­стоя­щее вре­мя наи­бо­лее дос­туп­ны­ми и эф­фек­тив­ны­ми яв­ля­ют­ся кон­гру­энт­ные ге­не­ра­то­ры ПСП. Для это­го клас­са ге­не­ра­то­ров мож­но сде­лать ма­те­ма­ти­че­ски стро­гое за­клю­че­ние о том, ка­ки­ми свой­ст­ва­ми об­ла­да­ют вы­ход­ные сиг­на­лы этих ге­не­ра­то­ров с точ­ки зре­ния пе­рио­дич­но­сти и слу­чай­но­сти.

Од­ним из хо­ро­ших кон­гру­энт­ных ге­не­ра­то­ров яв­ля­ет­ся ли­ней­ный кон­гру­энт­ный дат­чик ПСЧ. Он вы­ра­ба­ты­ва­ет по­сле­до­ва­тель­но­сти псев­до­слу­чай­ных чи­сел T(i), опи­сы­вае­мые со­от­но­ше­ни­ем

T(i+1) = (A*T(i)+C) mod m,

где А и С - кон­стан­ты, Т(0) - ис­ход­ная ве­ли­чи­на, вы­бран­ная в ка­че­ст­ве по­ро­ж­даю­ще­го чис­ла. Оче­вид­но, что эти три ве­ли­чи­ны и об­ра­зу­ют ключ.

Та­кой дат­чик ПСЧ ге­не­ри­ру­ет псев­до­слу­чай­ные чис­ла с оп­ре­де­лен­ным пе­рио­дом по­вто­ре­ния, за­ви­ся­щим от вы­бран­ных зна­че­ний А и С. Зна­че­ние m обыч­но ус­та­нав­ли­ва­ет­ся рав­ным 2n, где n - дли­на машинного сло­ва в би­тах. Дат­чик име­ет мак­си­маль­ный пе­ри­од М до то­го, как ге­не­ри­руе­мая по­сле­до­ва­тель­ность нач­нет по­вто­рять­ся. По при­чи­не, от­ме­чен­ной ра­нее, не­об­хо­ди­мо вы­би­рать чис­ла А и С та­кие, что­бы пе­ри­од М был мак­си­маль­ным. Как по­ка­за­но Д. Кну­том, ли­ней­ный кон­гру­энт­ный дат­чик ПСЧ име­ет мак­си­маль­ную дли­ну М то­гда и толь­ко то­гда, ко­гда С - не­чет­ное, и А mod 4 = 1.

Для шиф­ро­ва­ния дан­ных с по­мо­щью дат­чи­ка ПСЧ мо­жет быть вы­бран ключ лю­бо­го раз­ме­ра. На­при­мер, пусть ключ со­сто­ит из на­бо­ра чи­сел x(j) раз­мер­но­стью b, где j=1, 2, ..., n. То­гда соз­да­вае­мую гам­му шиф­ра G мож­но пред­ста­вить как объ­е­ди­не­ние не­пе­ре­се­каю­щих­ся мно­жеств H(j).

Датчики М-последовательностей[5]

М-последовательности также популярны, благодаря относительной легкости их реализации.

М-последовательности представляют собой линейные рекуррентные последовательности максимального периода, формируемые k-разрядными генераторами на основе регистров сдвига. На каждом такте поступивший бит сдвигает k предыдущих и к нему добавляется их сумма по модулю 2. Вытесняемый бит добавляется к гамме.

Строго это можно представить в виде следующих отношений:

r1:=r0 r2:=r1 ... rk-1:=rk-2

r0:=a0 r1 Å a1 r2 Å ... Å ak-2 rk-1

Гi:= rk-

Здесь r0 r1 ... rk-1 - k однобитных регистров, a0 a1 ... ak-1 - коэффициенты неприводимого двоичного полинома степени k-1. Гi - i-е значение выходной гаммы.

Период М-последовательности исходя из ее свойств равен 2k-1.

Другим важным свойством М-последовательности является объем ансамбля, т. е. количество различных М-последовательностей для заданного k. Эта характеристика приведена в таблице:

--------------------------------------------------

k

| Объем ансамбля |
---------------------------------------------------------
5 | 6 |
---------------------------------------------------------
6 | 8 |
---------------------------------------------------------
7 | 18 |
---------------------------------------------------------
8 | 16 |
---------------------------------------------------------
9 | 48 |
---------------------------------------------------------
10 | 60 |
---------------------------------------------------------
16 | 2048 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Очевидно, что такие объемы ансамблей последовательности неприемлемы.

Поэтому на практике часто используют последовательности Голда, образующиеся суммированием нескольких М-последовательно­стей. Объем ансамблей этих последовательностей на несколько порядков превосходят объемы ансамблей порождающих М-последовательностей. Так при k=10 ансамбль увеличивается от 1023 (М-последовательности) до 388000.

Также перспективными представляются нелинейные датчики ПСП (например сдвиговые регистры с элементом И в цепи обратной связи), однако их свойства еще недостаточно изучены.

Воз­мож­ны и дру­гие, бо­лее слож­ные ва­ри­ан­ты вы­бо­ра по­ро­ж­даю­щих чи­сел для гам­мы шиф­ра.

Шиф­ро­ва­ние с по­мо­щью дат­чи­ка ПСЧ яв­ля­ет­ся до­воль­но рас­про­стра­нен­ным крип­то­гра­фи­че­ским ме­то­дом. Во мно­гом ка­че­ст­во шиф­ра, по­стро­ен­но­го на ос­но­ве дат­чи­ка ПСЧ, оп­ре­де­ля­ет­ся не толь­ко и не столь­ко ха­рак­те­ри­сти­ка­ми дат­чи­ка, сколь­ко ал­го­рит­мом по­лу­че­ния гам­мы. Один из фун­да­мен­таль­ных прин­ци­пов крип­то­ло­ги­че­ской прак­ти­ки гла­сит, да­же слож­ные шиф­ры мо­гут быть очень чув­ст­ви­тель­ны к про­стым воз­дей­ст­ви­ям.

Стан­дарт шиф­ро­ва­ния дан­ных ГОСТ 28147-89[6]

Важ­ной за­да­чей в обес­пе­че­нии га­ран­ти­ро­ван­ной безо­пас­но­сти ин­фор­ма­ции в ИС яв­ля­ет­ся раз­ра­бот­ка и ис­поль­зо­ва­ния стан­дарт­ных ал­го­рит­мов шиф­ро­ва­ния дан­ных. Пер­вым сре­ди по­доб­ных стан­дар­тов стал аме­ри­кан­ский DES, пред­став­ляю­щий со­бой по­сле­до­ва­тель­ное ис­поль­зо­ва­ние за­мен и пе­ре­ста­но­вок. В на­стоя­щее вре­мя все ча­ще го­во­рят о не­оп­рав­дан­ной слож­но­сти и не­вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти. На прак­ти­ке при­хо­дит­ся ис­поль­зо­вать его мо­ди­фи­ка­ции.

Бо­лее эф­фек­тив­ным яв­ля­ет­ся оте­че­ст­вен­ный стан­дарт шиф­ро­ва­ния дан­ных.

Он ре­ко­мен­до­ван к ис­поль­зо­ва­нию для за­щи­ты лю­бых дан­ных, пред­став­лен­ных в ви­де дво­ич­но­го ко­да, хо­тя не ис­клю­ча­ют­ся и дру­гие ме­то­ды шиф­ро­ва­ния. Дан­ный стан­дарт фор­ми­ро­вал­ся с уче­том ми­ро­во­го опы­та, и в ча­ст­но­сти, бы­ли при­ня­ты во вни­ма­ние не­дос­тат­ки и не­реа­ли­зо­ван­ные воз­мож­но­сти ал­го­рит­ма DES, по­это­му ис­поль­зо­ва­ние стан­дар­та ГОСТ пред­поч­ти­тель­нее. Ал­го­ритм дос­та­точ­но сло­жен и ни­же бу­дет опи­са­на в ос­нов­ном его кон­цеп­ция.

Вве­дем ас­со­циа­тив­ную опе­ра­цию кон­ка­те­на­ции, ис­поль­зуя для нее муль­ти­п­ли­ка­тив­ную за­пись. Кро­ме то­го бу­дем ис­поль­зо­вать сле­дую­щие опе­ра­ции сло­же­ния:

-   AÅB - побитовое сложение по модулю 2;

-   A[+]B - сложение по модулю 232;

-   A{+}B - сложение по модулю 232-1;.

Алгоритм криптографического преобразования предусматривает несколько режимов работы. Во всех режимах используется ключ W длиной 256 бит, представляемый в виде восьми 32-разрядных чисел x(i).

W=X(7)X(6)X(5)X(4)X(3)X(2)X(1)X(0)

Для дешифрования используется тот же ключ, но процесс дешифрования является инверсным по отношению к исходному.

Самый простой из возможных режимов - замена.

Пусть открытые блоки разбиты на блоки по 64 бит в каждом, которые обозначим как T(j).

Очередная последовательность бит T(j) разделяется на две последовательности B(0) и A(0) по 32 бита (правый и левый блоки). Далее выполняется итеративный процесс шифрования описываемый следующими формулами, вид который зависит от :i:

-   Для i=1, 2, ..., 24, j=(i-1) mod 8;

A(i) = f(A(i-1) [+] x(j)) Å B(i-1)

B(i) = A(i-1)

-   Для i=25, 26, ..., 31, j=32-i;

A(i) = f(A(i-1) [+] x(j)) Å B(i-1)

B(i) = A(i-1)

-   Для i=32

A(32) = A(31)

B(32) = f(A(31) [+] x(0)) Å B(31).

Здесь i обозначает номер итерации. Функция f – функция шифрования.

Функция шифрования включает две операции над 32-разрядным аргументом.

Первая операция является подстановкой K. Блок подстановки К состоит из 8 узлов замены К(1)...К(8) с памятью 64 бита каждый. Поступающий на блок подстановки 32-разрядный вектор разбивается на 8 последовательно идущих 4-разрядных вектора, каждый из который преобразуется в 4-разрядный вектор соответствующим узлом замены, представляющим из себя таблицу из 16 целых чисел в диапазоне 0...15. Входной вектор определяет адрес строки в таблице, число из которой является выходным вектором. Затем 4-разрядные векторы последовательно объединяются в 32-разрядный выходной.

Вторая операция - циклический сдвиг влево 32-разрядного вектора, полученного в результате подстановки К. 64-разрядный блок зашифрованных данных Т представляется в виде

Т=А(32)В(32).

Остальные блоки открытых данных в режиме простой замены зашифровываются аналогично.

Следует учитывать, что данный режим шифрования обладает ограниченной криптостойкостью.

Другой режим шифрования называется режимом гаммирования.

Открытые данные, разбитые на 64-разрядные блоки T(i) (i=1,2,...,m) (m определяется объемом шифруемых данных), зашифровываются в режиме гаммирования путем поразрядного сложения по модулю 2 с гаммой шифра Гш, которая вырабатывается блоками по 64 бит, т. е.

Гш=(Г(1),Г(2),....,Г(m)).

Уравнение шифрования данных в режиме гаммирования может быть представлено в следующем виде:

Ш(i)=A(Y(i-1) Å C2, Z(i-1)) {+} C(1) Å T(i)=Г(i) Å T(i)

В этом уравнении Ш(i) обозначает 64-разрядный блок зашифрованного текста, А - функцию шифрования в режиме простой замены (аргументами этой функции являются два 32-разрядных числа). С1 и С2 - константы, заданные в ГОСТ 28147-89. Величины y(i) и Z(i) определяются итерационно по мере формирования гаммы следующим образом:

(Y(0),Z(0))=A(S), S - 64-разрядная двоичная последовательность

(Y(i),Z(i))=(Y(i-1) [+] C2, Z(i-1) {+} C(1)), i=1, 2, ..., m.

64-разрядная последовательность, называемая синхропосылкой, не является секретным элементом шифра, но ее наличие необходимо как на передающей стороне, так и на приемной.

Режим гаммирования с обратной связью очень похож на режим гаммирования. Как и в режиме гаммирования открытые данные, разбитые на 64-разрядные блоки T(i), зашифровываются путем поразрядного сложения по модулю 2 с гаммой шифра Гш, которая вырабатывается блоками по 64 бит:

Гш=(Г(1), Г(2), ..., Г(m)).

Уравнение шифрования данных в режиме гаммирования с обратной связью выглядят следующим образом:

Ш(1)=A(S)ÅT(1)=Г(1)ÅT(1),

Ш(i)=A(Ш(i-1)ÅT(i)=Г(i)ÅT(i), i=2, 3, ..., m.

В ГОСТ 28147-89 определяется процесс выработки имито­вставки, который единообразен для всех режимов шифрования. Имитовставка - это блок из р бит (имитовставка Ир), который вырабатывается либо перед шифрованием всего сообщения. либо параллельно с шифрованием по блокам. Параметр р выбирается в соответствии с необходимым уровнем имитозащищенности.

Для по­лу­че­ния ими­тов­став­ки от­кры­тые дан­ные пред­став­ля­ют­ся так­же в ви­де бло­ков по 64 бит. Пер­вый блок от­кры­тых дан­ных Т(1) под­вер­га­ет­ся пре­об­ра­зо­ва­нию, со­от­вет­ст­вую­ще­му пер­вым 16 цик­лам ал­го­рит­ма ре­жи­ма про­стой за­ме­ны. При­чем в ка­че­ст­ве клю­ча ис­поль­зу­ет­ся тот же ключ, что и для шиф­ро­ва­ния дан­ных. По­лу­чен­ное 64-раз­ряд­но чис­ло сум­ми­ру­ет­ся с от­кры­тым бло­ком Т(2) и сум­ма вновь под­вер­га­ет­ся 16 цик­лам шиф­ро­ва­ния для ре­жи­ма про­стой за­ме­ны. Дан­ная про­це­ду­ра по­вто­рят­ся для всех m бло­ков со­об­ще­ния. Из по­лу­чен­но­го 64-раз­ряд­но­го чис­ла вы­би­ра­ет­ся от­ре­зок Ир дли­ной р бит.

Ими­тов­став­ка пе­ре­да­ет­ся по ка­на­лу свя­зи по­сле за­шиф­ро­ван­ных дан­ных. На при­ем­ной сто­ро­не ана­ло­гич­ным об­ра­зом из при­ня­то­го со­об­ще­ния выделяется? ими­тов­став­ка и срав­ни­ва­ет­ся с по­лу­чен­ной откуда?. В слу­чае не­сов­па­де­ния ими­тов­ста­вок со­об­ще­ние счи­та­ет­ся лож­ным.

Сис­те­мы с от­кры­тым клю­чом

Как бы ни бы­ли слож­ны и на­деж­ны крип­то­гра­фи­че­ские сис­те­мы - их сла­бое ме­ст при прак­ти­че­ской реа­ли­за­ции - про­блема рас­пре­де­ле­ния клю­чей. Для то­го, что­бы был воз­мо­жен об­мен кон­фи­ден­ци­аль­ной ин­фор­ма­ци­ей ме­ж­ду дву­мя субъ­ек­та­ми ИС, ключ дол­жен быть сге­не­ри­ро­ван од­ним из них, а за­тем ка­ким-то об­ра­зом опять же в кон­фи­ден­ци­аль­ном по­ряд­ке пе­ре­дан дру­го­му. Т. е. в об­щем слу­чае для пе­ре­да­чи клю­ча опять же тре­бу­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние ка­кой-то крип­то­си­сте­мы.

Для ре­ше­ния этой про­бле­мы на ос­но­ве ре­зуль­та­тов, по­лу­чен­ных классической и со­вре­мен­ной ал­геб­рой, бы­ли пред­ло­же­ны сис­те­мы с от­кры­тым клю­чом.

Суть их со­сто­ит в том, что ка­ж­дым ад­ре­са­том ИС ге­не­ри­ру­ют­ся два клю­ча, свя­зан­ные ме­ж­ду со­бой по оп­ре­де­лен­но­му пра­ви­лу. Один ключ объ­яв­ля­ет­ся от­кры­тым, а дру­гой за­кры­тым. От­кры­тый ключ пуб­ли­ку­ет­ся и дос­ту­пен лю­бо­му, кто же­ла­ет по­слать со­об­ще­ние ад­ре­са­ту. Секретный ключ сохраняется в тайне.

Ис­ход­ный текст шиф­ру­ет­ся от­кры­тым клю­чом адресата и пе­ре­да­ет­ся ему. За­шиф­ро­ван­ный текст в прин­ци­пе не мо­жет быть рас­шиф­ро­ван тем же от­кры­тым клю­чом. Де­шиф­ро­ва­ние со­об­ще­ние воз­мож­но толь­ко с ис­поль­зо­ва­ни­ем за­кры­то­го клю­ча, ко­то­рый из­вес­тен толь­ко са­мо­му ад­ре­са­ту.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Крип­то­гра­фи­че­ские сис­те­мы с от­кры­тым клю­чом ис­поль­зу­ют так называемые не­об­ра­ти­мые или од­но­сто­рон­ние функ­ции, ко­то­рые об­ла­да­ют сле­дую­щим свой­ст­вом: при за­дан­ном зна­че­нии x от­но­си­тель­но про­сто вы­чис­лить зна­че­ние f(x), од­на­ко ес­ли y=f(x), то нет про­сто­го пу­ти для вы­чис­ле­ния зна­че­ния x.

Мно­же­ст­во клас­сов не­об­ра­ти­мых функ­ций и по­ро­ж­да­ет все раз­но­об­ра­зие сис­тем с от­кры­тым клю­чом. Од­на­ко не вся­кая не­об­ра­ти­мая функ­ция го­дит­ся для ис­поль­зо­ва­ния в ре­аль­ных ИС.

В са­мом оп­ре­де­ле­нии не­об­ра­ти­мо­сти при­сут­ст­ву­ет не­оп­ре­де­лен­ность. Под необратимостью понимается не теоретическая необратимость, а практическая невозможность вычислить обратное значение используя современные вычислительные средства за обозримый интервал времени.

По­это­му что­бы га­ран­ти­ро­вать на­деж­ную за­щи­ту ин­фор­ма­ции, к сис­те­мам с от­кры­тым клю­чом (СОК) предъ­яв­ля­ют­ся два важ­ных и оче­вид­ных тре­бо­ва­ния:

1. Пре­об­ра­зо­ва­ние ис­ход­но­го тек­ста долж­но быть не­об­ра­ти­мым и ис­клю­чать его вос­ста­нов­ле­ние на ос­но­ве от­кры­то­го клю­ча.

2. Оп­ре­де­ле­ние за­кры­то­го клю­ча на ос­но­ве от­кры­то­го так­же долж­но быть не­воз­мож­ным на со­вре­мен­ном тех­но­ло­ги­че­ском уров­не. При этом же­ла­тель­на точ­ная ниж­няя оцен­ка сложности (ко­ли­че­ст­ва опе­ра­ций) рас­кры­тия шиф­ра.

Ал­го­рит­мы шиф­ро­ва­ния с от­кры­тым клю­чом по­лу­чи­ли ши­ро­кое рас­про­стра­не­ние в со­вре­мен­ных ин­фор­ма­ци­он­ных сис­те­мах. Так, ал­го­ритм RSA стал ми­ро­вым стан­дар­том де-фак­то для от­кры­тых сис­тем и ре­ко­мен­до­ван МККТТ.

Вообще же все предлагаемые сегодня криптосистемы с открытым ключом опираются на один из следующих типов необратимых преобразований:

1. Разложение больших чисел ан простые множители.

2. Вычисление логарифма в конечном поле.

3. Вычисление корней алгебраических уравнений.

Здесь же сле­ду­ет от­ме­тить, что ал­го­рит­мы криптосистемы с открытым ключом (СОК) мож­но ис­поль­зо­вать в трех на­зна­че­ни­ях.

1. Как са­мо­стоя­тель­ные сред­ст­ва за­щи­ты пе­ре­да­вае­мых и хра­ни­мых дан­ных.

2. Как сред­ст­ва для рас­пре­де­ле­ния клю­чей. Ал­го­рит­мы СОК бо­лее тру­до­ем­ки, чем тра­ди­ци­он­ные крип­то­си­сте­мы. По­это­му час­то на прак­ти­ке ра­цио­наль­но с по­мо­щью СОК рас­пре­де­лять клю­чи, объ­ем ко­то­рых как ин­фор­ма­ции не­зна­чи­те­лен. А по­том с по­мо­щью обыч­ных ал­го­рит­мов осу­ще­ст­в­лять об­мен боль­ши­ми ин­фор­ма­ци­он­ны­ми по­то­ка­ми.

3. Сред­ст­ва ау­тен­ти­фи­ка­ции поль­зо­ва­те­лей. Об этом бу­дет рас­ска­за­но в главе «Электронная подпись».

Ниже рассматриваются наиболее распространенные системы с открытым ключом.

Ал­го­ритм RSA

Не­смот­ря на до­воль­но боль­шое чис­ло раз­лич­ных СОК, наиболее популярна - криптосистема RSA, разработанная в 1977 году и по­лу­чив­шая на­зва­ние в честь ее соз­да­те­лей: Рона Ри­ве­ста[7], Ади Ша­ми­ра и Леонарда Эй­дель­ма­на.

Они вос­поль­зо­ва­лись тем фак­том, что на­хо­ж­де­ние боль­ших про­стых чи­сел в вы­чис­ли­тель­ном от­но­ше­нии осу­ще­ст­в­ля­ет­ся лег­ко, но раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли про­из­ве­де­ния двух та­ких чи­сел прак­ти­че­ски не­вы­пол­ни­мо. До­ка­за­но (тео­ре­ма Ра­би­на), что рас­кры­тие шиф­ра RSA эк­ви­ва­лент­но та­ко­му раз­ло­же­нию. По­это­му для лю­бой дли­ны клю­ча мож­но дать ниж­нюю оцен­ку чис­ла опе­ра­ций для рас­кры­тия шиф­ра, а с уче­том про­из­во­ди­тель­но­сти со­вре­мен­ных ком­пь­ю­те­ров оце­нить и не­об­хо­ди­мое на это вре­мя.

Воз­мож­ность га­ран­ти­ро­ван­но оце­нить за­щи­щен­ность ал­го­рит­ма RSA ста­ла од­ной из при­чин по­пу­ляр­но­сти этой СОК на фо­не де­сят­ков дру­гих схем. По­это­му ал­го­ритм RSA ис­поль­зу­ет­ся в бан­ков­ских ком­пь­ю­тер­ных се­тях, осо­бен­но для ра­бо­ты с уда­лен­ны­ми кли­ен­та­ми (об­слу­жи­ва­ние кре­дит­ных кар­то­чек).

В настоящее время алгоритм RSA используется во многих стандартах, среди которых SSL, S-HHTP, S-MIME, S/WAN, STT и PCT.

Рас­смот­рим ма­те­ма­ти­че­ские ре­зуль­та­ты, по­ло­жен­ные в ос­но­ву это­го ал­го­рит­ма.

Теорема 1. (Малая теорема Ферма.)

Если р - простое число, то

xp-1 = 1 (mod p) (1)

для любого х, простого относительно р, и

xp = х (mod p) (2)

для любого х.

Доказательство. Достаточно доказать справедливость уравнений (1) и (2) для хÎZp. Проведем доказательство методом индукции.

Очевидно, что уравнение (8.2.2) выполняется при х=0 и 1. Далее

xp=(x-1+1)p= å C(p,j)(x-1)j=(x-1)p+1 (mod p),

0£j£p

так как C(p,j)=0(mod p) при 0<j<p. С учетом этого неравенства и предложений метода доказательства по индукции теорема доказана.

Определение. Функцией Эйлера j(n) называется число положительных целых, меньших n и простых относительно n.

--------------------------------------------------
n | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---------------------------------------------------------
j(n) | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 | 4 |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Теорема 2. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа), то

j(n)=(p-1)(q-1).

Теорема 3. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и х - простое относительно р и q, то

xj(n) = 1 (mod n).

Следствие. Если n=pq, (p и q - отличные друг от друга простые числа) и е простое относительно j(n), то отображение

Еe, n: x®xe (mod n)

является взаимно однозначным на n.

Очевиден и тот факт, что если е - простое относительно j(n), то существует целое d, такое, что

ed = 1 (mod j(n)) (3)

На этих математических фактах и основан популярный алгоритм RSA.

Пусть n=pq, где p и q - различные простые числа. Если e и d удовлетворяют уравнению (8.2.3), то отображения Еe, n и Еd, n являются инверсиями на Zn. Как Еe, n, так и Еd, n легко рассчитываются, когда известны e, d, p, q. Если известны e и n, но p и q неизвестны, то Еe, n представляет собой одностороннюю функцию; нахождение Еd, n по заданному n равносильно разложению n. Если p и q - достаточно большие простые, то разложение n практически не осуществимо. Это и заложено в основу системы шифрования RSA.

Пользователь i выбирает пару различных простых pi и qi и рассчитывает пару целых (ei, di), которые являются простыми относительно j(ni), где ni=pi qi. Справочная таблица содержит публичные ключи {(ei, ni)}.

Предположим, что исходный текст

x =(x0, x1, ..., xn-1), xÎZn, 0 £ i < n,

сначала представлен по основанию ni :

N = c0+ci ni+....

Пользователь i зашифровывает текст при передаче его пользователю j, применяя к n отображение Edi, ni :

N ® Edi, ni n = n’.

Пользователь j производит дешифрование n’, применяя Eei, ni :

N’ ® Eei, ni n’= Eei, ni Edi, ni n = n .

Очевидно, для того чтобы найти инверсию Edi, ni по отношению к Eei, ni, требуется знание множителей n=pi qi. Время выполнения наилучших из известных алгоритмов разложения при n=10100 на сегодняшний день выходит за пределы современных технологических возможностей.

Рассмотрим небольшой пример, иллюстрирующий применение алгоритма RSA.

Пример Зашифруем сообщение “САВ”. Для простоты будем использовать маленькие числа (на практике применяются гораздо большие).

1.  Выберем p=3 и q=11.

2.  Определим n=3*11=33.

3.  Найдем (p-1)(q-1)=20. Следовательно, в качестве d, взаимно простое с 20, например, d=3.

4.  Выберем число е. В качестве такого числа может быть взято любое число, для которого удовлетворяется соотношение (е*3) (mod 20) = 1, например 7.

5.  Представим шифруемое сообщение как последовательность целых чисел с помощью отображения: А®1, В®2, С®3. Тогда сообщение принимает вид (3,1,2). Зашифруем сообщение с помощью ключа {7,33}.

ШТ1 = (37) (mod 33) = 2187 (mod 33) = 9,

ШТ2 = (17) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ШТ3 = (27) (mod 33) = 128 (mod 33) = 29.

6.  Расшифруем полученное зашифрованное сообщение (9,1,29) на основе закрытого ключа {3,33}:

ИТ1 = (93) (mod 33) = 729 (mod 33) = 3,

ИТ2= (13) (mod 33) = 1 (mod 33) = 1,

ИТ3 = (293) (mod 33) = 24389 (mod 33) = 2.

Итак, в реальных системах алгоритм RSA реализуется следующим образом: каждый пользователь выбирает два больших простых числа, и в соответствии с описанным выше алгоритмом выбирает два простых числа e и d. Как результат умножения первых двух чисел (p и q) устанавливается n.

{e, n} образует открытый ключ, а {d, n} - закрытый (хотя можно взять и наоборот).

От­кры­тый ключ пуб­ли­ку­ет­ся и дос­ту­пен ка­ж­до­му, кто же­ла­ет по­слать вла­дель­цу клю­ча со­об­ще­ние, ко­то­рое за­шиф­ро­вы­ва­ет­ся ука­зан­ным ал­го­рит­мом. По­сле шифрования, со­об­ще­ние не­воз­мож­но рас­крыть с по­мо­щью от­кры­то­го клю­ча. Вла­де­лец же за­кры­то­го клю­ча без тру­да мо­жет рас­шиф­ро­вать при­ня­тое со­об­ще­ние.

Практическая реализация RSA

В настоящее время алгоритм RSA активно реализуется как в виде самостоятельных криптографических продуктов[8], так и в качестве встроенных средств в популярных приложениях[9].

Важная проблема практической реализации - генерация больших простых чисел. Решение задачи «в лоб» - генерация случайного большого числа n (нечетного) и проверка его делимости на множители от 3 вплоть до n0.5. В случае неуспеха следует взять n+2 и так далее.[10]

В принципе в качестве p и q можно использовать «почти» простые числа, то есть числа для которых вероятность того, что они простые, стремится к 1. Но в случае, если использовано составное число, а не простое, криптостойкость RSA падает. Имеются неплохие алгоритмы, которые позволяют генерировать «почти» простые числа с уровнем доверия 2-100.

Другая проблема - ключи какой длины следует использовать?

Для прак­ти­че­ской реа­ли­за­ции ал­го­рит­мов RSA по­лез­но знать оцен­ки тру­до­ем­ко­сти раз­ло­же­ния про­стых чи­сел раз­лич­ной дли­ны, сде­лан­ные Шроппелем.

--------------------------------------------------

log10 n

| Число операций | Примечания |
---------------------------------------------------------
50 |

1.4*1010

| Раскрываем на суперкомпьютерах |
---------------------------------------------------------
100 |

2.3*1015

| На пределе современных технологий |
---------------------------------------------------------
200 |

1.2*1023

| За пре­де­ла­ми со­вре­мен­ных тех­но­ло­гий |
---------------------------------------------------------
400 |

2.7*1034

| Тре­бу­ет су­ще­ст­вен­ных из­ме­не­ний в тех­но­ло­гии |
---------------------------------------------------------
800 |

1.3*1051

| Не раскрываем |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

В кон­це 1995 го­да уда­лось прак­ти­че­ски реа­ли­зо­вать рас­кры­тие шиф­ра RSA для 500-знач­но­го клю­ча. Для это­го с по­мо­щью се­ти Ин­тер­нет бы­ло за­дей­ст­во­ва­но 1600 ком­пь­ю­те­ров.

Сами авторы RSA рекомендуют использовать следующие размеры модуля n:

-   768 бит - для частных лиц;

-   1024 бит - для коммерческой информации;

-   2048 бит - для особо секретной информации.[11]

Третий немаловажный аспект реализации RSA - вычислительный. Ведь приходится использовать аппарат длинной арифметики. Если используется ключ длиной k бит, то для операций по открытому ключу требуется О(k2) операций, по закрытому ключу - О(k3) операций, а для генерации новых ключей требуется О(k4) операций.

Криптографический пакет BSAFE 3.0 (RSA D. S.) на компьютере Pentium-90 осуществляет шифрование со скоростью 21.6 Кбит/c для 512-битного ключа и со скоростью 7.4 Кбит/c для 1024 битного. Самая «быстрая» аппаратная реализация обеспечивает скорости в 60 раз больше.

По сравнению с тем же алгоритмом DES, RSA требует в тысячи и десятки тысяч раз большее время.

Криптосистема Эль-Гамаля

Данная система является альтернативой RSA и при равном значении ключа обеспечивает ту же криптостойкость[12].

В отличие от RSA метод Эль-Гамаля основан на проблеме дискретного логарифма. Этим он похож на алгоритм Диффи-Хелмана. Если возводить число в степень в конечном поле достаточно легко, то восстановить аргумент по значению (то есть найти логарифм) довольно трудно.

Основу системы составляют параметры p и g - числа, первое из которых - простое, а второе - целое.

Александр генерирует секретный ключ а и вычисляет открытый ключ y = gа mod p. Если Борис хочет послать Александру сообщение m, то он выбирает случайное число k, меньшее p и вычисляет

y1 = gk mod p и

y2 = m Å yk,

где Å означает побитовое сложение по модулю 2. Затем Борис посылает (y1,y2) Александру.

Александр, получив зашифрованное сообщение, восстанавливает его:

m = (y1a mod p) Å y2.

Алгоритм цифровой подписи DSA, разработанный NIST (National Institute of Standard and Technology) и являющийся частью стандарта DSS частично опирается на рассмотренный метод.

Криптосистемы на основе эллиптических уравнений

Эллиптические кривые - математический объект, который может определен над любым полем (конечным, действительным, рациональным или комплексным). В криптографии обычно используются конечные поля. Эллиптическая кривая есть множество точек (x, y), удовлетворяющее следующему уравнению:

y2 = x3 + ax + b,

а также бесконечно удаленная точка. Для точек на кривой довольно легко вводится операция сложения, которая играет ту же роль, что и операция умножения в криптосистемах RSA и Эль-Гамаля.

В реальных криптосистемах на базе эллиптических уравнений используется уравнение

y2 = x3 + ax + b mod p,

где р - простое.

Проблема дискретного логарифма на эллиптической кривой состоит в следующем: дана точка G на эллиптической кривой порядка r (количество точек на кривой) и другая точка Y на этой же кривой. Нужно найти единственную точку x такую, что Y = xG, то есть Y есть х-я степень G.

Электронная подпись

В чем со­сто­ит про­бле­ма ау­тен­ти­фи­ка­ции дан­ных?

В кон­це обыч­но­го пись­ма или до­ку­мен­та ис­пол­ни­тель или от­вет­ст­вен­ное ли­цо обыч­но ста­вит свою под­пись. По­доб­ное дей­ст­вие обыч­но пре­сле­ду­ет две це­ли. Во-пер­вых, по­лу­ча­тель име­ет воз­мож­ность убе­дить­ся в ис­тин­но­сти пись­ма, сли­чив под­пись с имею­щим­ся у не­го об­раз­цом. Во-вто­рых, лич­ная под­пись яв­ля­ет­ся юри­ди­че­ским га­ран­том ав­тор­ст­ва до­ку­мен­та. По­след­ний ас­пект осо­бен­но ва­жен при за­клю­че­нии раз­но­го ро­да тор­го­вых сде­лок, со­став­ле­нии до­ве­рен­но­стей, обя­за­тельств и т. д.

Ес­ли под­де­лать под­пись че­ло­ве­ка на бу­ма­ге весь­ма не­про­сто, а ус­та­но­вить ав­тор­ст­во под­пи­си со­вре­мен­ны­ми кри­ми­на­ли­сти­че­ски­ми ме­то­да­ми - тех­ни­че­ская де­таль, то с под­пи­сью элек­трон­ной де­ло об­сто­ит ина­че. Под­де­лать це­поч­ку би­тов, про­сто ее ско­пи­ро­вав, или не­за­мет­но вне­сти не­ле­галь­ные ис­прав­ле­ния в до­ку­мент смо­жет лю­бой поль­зо­ва­тель.

С ши­ро­ким рас­про­стра­не­ни­ем в со­вре­мен­ном ми­ре элек­трон­ных форм до­ку­мен­тов (в том чис­ле и кон­фи­ден­ци­аль­ных) и средств их об­ра­бот­ки осо­бо ак­ту­аль­ной ста­ла про­бле­ма ус­та­нов­ле­ния под­лин­но­сти и ав­тор­ст­ва без­бу­маж­ной до­ку­мен­та­ции.

В раз­де­ле крип­то­гра­фи­че­ских сис­тем с от­кры­тым клю­чом бы­ло по­ка­за­но, что при всех пре­иму­ще­ст­вах со­вре­мен­ных сис­тем шиф­ро­ва­ния они не по­зво­ля­ют обес­пе­чить ау­тен­ти­фи­ка­цию дан­ных. По­это­му сред­ст­ва ау­тен­ти­фи­ка­ции долж­ны ис­поль­зо­вать­ся в ком­плек­се и крип­то­гра­фи­че­ски­ми ал­го­рит­ма­ми.

Итак, пусть име­ют­ся два поль­зо­ва­те­ля Александр и Борис. От ка­ких на­ру­ше­ний и дей­ст­вий зло­умыш­лен­ни­ка долж­на за­щи­щать сис­те­ма ау­тен­ти­фи­ка­ции.

От­каз (ре­не­гат­ст­во).

Александр за­яв­ля­ет, что он не по­сы­лал со­об­ще­ние Борису, хо­тя на са­мом де­ле он все-та­ки по­сы­лал.

Для ис­клю­че­ния это­го на­ру­ше­ния ис­поль­зу­ет­ся элек­трон­ная (или циф­ро­вая) под­пись.

Мо­ди­фи­ка­ция (пе­ре­дел­ка).

Борис из­ме­ня­ет со­об­ще­ние и ут­вер­жда­ет, что дан­ное (из­ме­нен­ное) со­об­ще­ние по­слал ему Александр.

Под­дел­ка.

Борис фор­ми­ру­ет со­об­ще­ние и ут­вер­жда­ет, что дан­ное (из­ме­нен­ное) со­об­ще­ние по­слал ему Александр.

Ак­тив­ный пе­ре­хват.

Владимир пе­ре­хва­ты­ва­ет со­об­ще­ния ме­ж­ду Александром и Борисом с це­лью их скры­той мо­ди­фи­ка­ции.

Для за­щи­ты от мо­ди­фи­ка­ции, под­дел­ки и мас­ки­ров­ки ис­поль­зу­ют­ся циф­ро­вые сиг­на­ту­ры.

Мас­ки­ров­ка (ими­та­ция).

Владимир по­сы­ла­ет Борису со­об­ще­ние от име­ни Александра.

В этом случае для за­щи­ты так­же ис­поль­зу­ет­ся элек­трон­ная под­пись.

По­втор.

Владимир по­вто­ря­ет ра­нее пе­ре­дан­ное со­об­ще­ние, ко­то­рое Александра по­сы­лал ра­нее Борису. Не­смот­ря на то, что при­ни­ма­ют­ся все­воз­мож­ные ме­ры за­щи­ты от по­вто­ров, имен­но на этот ме­тод при­хо­дит­ся боль­шин­ст­во слу­ча­ев не­за­кон­но­го сня­тия и тра­ты де­нег в сис­те­мах элек­трон­ных пла­те­жей.

Наи­бо­лее дей­ст­вен­ным ме­то­дом за­щи­ты от по­вто­ра яв­ля­ют­ся

* ис­поль­зо­ва­ние ими­тов­ста­вок,

* учет вхо­дя­щих со­об­ще­ний.

--------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. | Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
---------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

Возможные нарушения защиты сообщений,. посылаемых пользователем А пользователю В.

Электронная подпись на основе алгоритма RSA

Наи­бо­лее про­стым и рас­про­стра­нен­ным ин­ст­ру­мен­том элек­трон­ной под­пи­си яв­ля­ет­ся уже зна­ко­мый ал­го­ритм RSA. Ни­же оно бу­дет рас­смот­ре­на в ка­че­ст­ве при­ме­

Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Криптография". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 657

Другие дипломные работы по специальности "Информатика":

Web-сайт для учителей информатики: анализ существующих и разработка нового приложения

Смотреть работу >>

Поиск фотооборудования

Смотреть работу >>

Автоматизированная система складского учета в ЗАО "Белгородский бройлер"

Смотреть работу >>

Автоматизированная система учета договоров страхования предпринимательских рисков

Смотреть работу >>

Создание информационно-справочной системы "Методический кабинет"

Смотреть работу >>