Дипломная работа на тему "Теория симметрии молекул"

ГлавнаяХимия → Теория симметрии молекул




Не нашли то, что вам нужно?
Посмотрите вашу тему в базе готовых дипломных и курсовых работ:

(Результаты откроются в новом окне)

Текст дипломной работы "Теория симметрии молекул":


Министерство общего и профессионального образования РФ

Дипломная работа

«Теория симметрии молекул»

Содержание

Введение

Глава 1 Элементы теории групп симметрии молекул

1.1 Операции симметрии молекул

1.2 Групповые постулаты

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов

1.4 Факторизация групп

Глава 2 Введение в теорию представлений групп симметрии молекул

2.1 Векторные (линейные) пространства

2.2 Эвклидовы и унитарные пространства

2.3 Матрицы

2.4 Представления групп

2.5 Характеры представлений

2.6 Операторы проектирования

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Понятие симметрии играет важную роль во всех естественных науках. Свойствами симметрии обладают структуры многих молекул, ионов, образуемых ими реагирующих систем.

Математической основой теории симметрии является теория групп. Понятие группы – предмет теории групп.

Множество G с бинарной операцией называется группой, если:

1. Операция ассоциативна, т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любых a, b, c из G.

2. Операция гарантирует единицу, т. е. в G существует такой элемент е – он называется единицей, - что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. для любого а из G.

Заказать написание дипломной - rosdiplomnaya.com

Актуальный банк готовых оригинальных дипломных работ предлагает вам написать любые проекты по требуемой вам теме. Оригинальное написание дипломных проектов под заказ в Волгограде и в других городах России.

3. Операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из G существует в G такой элемент а-1 – он называется обратным к а, - что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

В теории молекулярной симметрии понятие представления группы играет центральную роль. Учитывая это, дадим определение представления группы, используя различные математические объекты, представляющие группу.

Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Задача настоящей работы состояла в самостоятельном изучении основных понятий и методов данной области и рассмотрении примеров по изучаемым темам.

В процессе написания были проработаны следующие разделы: операции симметрии молекул; классы смежности и факторизация групп; векторные, эвклидовы и унитарные пространства; представления групп и характеры представлений; операторы проектирования. Материал разбит на две главы, которые в свою очередь разбиваются на параграфы. На протяжении всего теоретического материала рассматриваются примеры, которые иллюстрируют применение изучаемых вопросов. Так большинство примеров показаны на множестве операций симметрии молекул аммиака NH3 – группе C3V.

Глава 1 Элементы теории групп симметрии молекул

1.1 Операции симметрии молекулы

1. Элементы и операции симметрии молекулы

Под геометрической конфигурацией молекулы или иона будем понимать пространственное расположение ядер атомов в молекуле или ионе относительно друг друга. Геометрическую конфигурация молекулы можно охарактеризовать, построив модель молекулы. Впервые модели молекул из шаров и стержней были построены в 1810 г. Джоном Дальтоном. Современные представления о структуре молекулы являются более точными благодаря применению точных экспериментальных методов определения этой структуры (оптические и дифракционные методы). Использовав эти методы, мы можем построить геометрическую модель молекулы в виде конечной фигуры.

Важной особенностью современных представлений о строении молекул является наличие симметрии молекул.

Определение 1. Отображением множества M на множество N называется правило f, которое каждому элементу m из множества M ставит в соответствие элемент n из множества N, называемый образом элемента m, при этом каждый элемент множества N является образом хотя бы одного элемента из множества M.

Если M=N, то говорят об отображении множества М на себя.

Определение 2. Операцией симметрии конечной фигуры называется ее изомерическое (т. е. сохраняющее расстояние между точками фигуры) отображение на себя.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы – прямую C3 и плоскость Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны

Операции симметрии пространственной фигуры, соответствующей молекуле, называются операциями симметрии молекулы.

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(3)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(1)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

C3

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(2)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(1)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(2)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(3)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------

---------------------------------------------------------
Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------
В качестве примера рассмотрим молекулу аммиака NH3. Ее геометрическая конфигурация имеет форму правильной треугольной

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

О1

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рис. 1 пирамиды.

К числу операций симметрии правильной треугольной пирамиды относятся повороты, совмещающие ее с собой. Точки N и O определяют ось поворота, которую обозначим через С3. Повернем пирамиду вокруг этой оси на 120о против часовой стрелки. Указанный поворот обозначим через Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. На рис. 1, б изображена фигура (результат поворота), которая совмещается с исходной (рис. 1, а) при наложении. Рассмотрим отражение в плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., совмещающее фигуру с собой, и обозначим его Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Очевидно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., как и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., является операцией симметрии молекулы аммиака, так как операции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не изменяют расстояний между точками фигуры NH3.

Рассматривая эти примеры, приходим к заключению, что помимо геометрической модели, с молекулой аммиака необходимо связать геометрические образы – прямую C3 и плоскость Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., которые не принадлежат модели хотя бы потому, что они бесконечны.

Определение 3. Элементом симметрии молекулы называется вспомогательный геометрический образ (точка, прямая, плоскость), характеризующий некоторое множество операций симметрии фигуры, изображающей молекулу.

Например, ось C3 характеризует множество операций симметрии, состоящее из рассмотренного нами поворота Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а также поворотов Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на 240о и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. на 360о против часовой стрелки молекулы аммиака. Поворот Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. называется тождественной операцией симметрии. При этой операции симметрии все точки геометрической модели молекулы отображаются в себя. Плоскость Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. характеризует множество операций симметрии, состоящее из Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Элементы симметрии не следует путать с операциями симметрии. Элементы симметрии будем обозначать буквами, а операции симметрии – буквами «со шляпками» над ними.

Рассмотрим множество, элементами которого являются всевозможные операции симметрии молекулы, для случая молекулы аммиака. Четыре элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. этого множества мы уже нашли. Кроме плоскости Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (рис. 1, а), молекула аммиака имеет еще две плоскости симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., содержащие прямые NH(2) и NH(3) соответственно. С плоскостями Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. связаны операции симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Множество операций симметрии молекулы аммиака может быть обозначено следующим образом:

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

2. Классификация элементов симметрии молекулы

1. Поворотная ось Cn порядка n. Поворотной осью симметрии n-го порядка называется ось Cn, при повороте вокруг которой на угол a=2p/n молекула совмещается сама с собой. Примеры: C3 – для случая молекулы аммиака; C2 (рис. 2, а) – для случая молекулы воды; C6 – для случая молекулы бензола (рис. 2, б).

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

б

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

С¥

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------
О |
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

2. Поворотная ось бесконечного порядка C¥. Это поворотная ось, при повороте вокруг которой на любой угол молекула совмещается с собой. Примером может служить любая линейная молекула, например, молекула ацетилена C2H2 (рис. 3).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 2

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

sd

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

sd

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 3

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- 3. Плоскость симметрии. Плоскостью симметрии молекулы называется плоскость, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой. Пример молекулы с вертикальной плоскостью симметрии уже приведен (молекула аммиака). У бензола C6H6 (рис. 2, б) есть плоскость симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. - плоскость, в которой лежат атомы этой молекулы. При этом следует иметь ввиду, что поворотная ось высшего порядка всегда условно принимается за вертикальную.

Диагональную плоскость симметрии имеет молекула метана (рис. 4). Геометрической моделью CH4 является тетраэдр, в вершине которого расположены атомы водорода. Диагональная плоскость симметрии sd заштрихована. При отражении в плоскости sd атомы водорода, находящиеся в плоскости, переходят в себя, а атомы, расположенные симметрично этой плоскости, переходят друг в друга.

4. Центр симметрии. Это точка i, при отражении в которой молекула совмещается сама с собой, например, молекула трансдихлорэтилена C2Cl2H2 (рис. 5).

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 5

5. Зеркально-поворотная ось n-го порядка Sn. Зеркально-поворотной осью n-го порядка называется ось, при повороте вокруг которой на угол a=2p/n с последующим --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(1)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(2)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

S4

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- отражением в плоскости, перпендикулярной к этой оси, молекула совмещается сама с собой.

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(3)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Примером молекул, обладающих такой осью, может служить молекула метана CH4.

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

Н(3)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

Рис. 6

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(1)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(2)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(4)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- --------------------------------------------------
--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- На рис. 6 показана зеркально-поворотная ось симметрии четвертого порядка S4. Из рис. 6 можно видеть, что при повороте на угол a=2p/4 вокруг оси S4 против часовой стрелки атомы H(i) переходят в места, указанные звездочками. Совершив затем отра -

--------------------------------------------------
--------------------------------------------------

H(3)

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------   |
--------------------------------------------------------- -------------------------------------------------- жение в заштрихованной горизонтальной плоскости, получим, что все звездочки перейдут в соответствующие атомы, т. е. в результате зеркального поворота S4 атом H(1) перейдет в H(3), H(2) – в H(4), H(3) – в H(2), H(4) – в H(1).

1.2 Групповые постулаты

1. Алгебраические операции

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно которому каждые два элемента a и b множества М, взятые в определенном порядке, однозначно сопоставляются с элементом с из этого множества, называемым результатом выполнения операции.

Рассмотрим в качестве общего примера множество операций симметрии молекулы. Под произведением операций симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. будем понимать их последовательное выполнение. Первые два требования к алгебраической операции, очевидно, выполняются. Проверим выполнение третьего условия из определения алгебраической операции.

Операция симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. совмещает геометрическую модель с собой, и если после выполнения операции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. мы выполнили операцию Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., модель снова совместится сама с собой. Проверим изометричность произведения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Пусть геометрическая модель молекулы изображена на рисунке в виде фигуры F. Операции симметрии этой фигуры являются операциями симметрии молекулы. Пусть x и y – любые две точки фигуры F и пусть при операции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. точки x и y переходят в точки x¢ и y¢ соответственно, что запишем в виде x¢=xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., y¢=yРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Аналогично, пусть x¢¢=x¢Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., y¢¢=y¢Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Тогда при последовательном выполнении операций Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., т. е. в результате выполнения операции Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., получаем x¢¢=xРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., y¢¢=yРисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Так как Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. изометрично, то r(x, y)=r(x¢, y¢), где r(x, y) обозначает расстояние между точками x и y, а r(x¢, y¢) – расстояние между точками x¢, y¢. Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.тоже изметрично, то r(x¢, y¢)=r(x¢¢, y¢¢). Из полученных равенств следует, что r(x, y) =r(x¢¢, y¢¢), т. е. Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. изометрично. Так как самосовмещение фигуры есть ее отображение на себя, то Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть изометрическое отображение фигуры F на себя, т. е. операция симметрии фигуры. Поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.можно считать любыми элементами множества операций симметрии молекулы, третье условие из определения алгебраической операции выполнено.

2. Таблица Кэли

Подобно тому, как существует таблица умножения натуральных чисел, можно составить таблицу умножения в множестве операций симметрии молекулы. Эта таблица называется таблицей Кэли (или квадратом Кэли). Для того, чтобы понять общий принцип составления таких таблиц, запишем таблицу Кэли для случая множества операций симметрии молекулы аммиака NH3 (табл. 1).

Таблица 1

Квадрат Кэли группы C3V

--------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
---------------------------------------------------------

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.

|
--------------------------------------------------------- --------------------------------------------------

3. Определение группы

Определение 2. Множество G называется группой, если в этом множестве определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая следующим аксиомам (в мультипликативной записи операций):

1. Для всех элементов a, b, c из множества G Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (аксиома ассоциативности).

2. Для всех элементов а из множества G существует элемент e из этого множества, такой, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (е называется единичным элементом группы).

3. Для каждого элемента а для множества G существует элемент а-1 из этого из этого множества, такой, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (а-1 называется обратным элементом к элементу а).

Рассмотрев таблицу Кэли для множества C3V, можно убедиться, что множество операций симметрии молекулы аммиака является группой относительно введенной нами операции умножения в этом множестве.

Определение 3. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если H само является группой относительно операции, введенной в группе G.

Для проверки того, что H является подгруппой группы G, надо проверить два условия: произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и вместе с элементом h обратный к нему элемент из группы G (он должен существовать) также принадлежит Н. В самом деле, тогда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.; ассоциативность же умножения, будучи верной во всей группе G, будет иметь место и в подгруппе Н.

Теорема 1. Множество всех операций симметрии молекулы является группой. Эта группа является подгруппой симметрической группы перестановок фигуры, изображающей геометрическую модель молекулы.

Определение 4. Группой симметрии молекулы называется множество S всех операций симметрии молекулы, на котором введена структура группы относительно умножения операций симметрии молекулы.

4. Гомоморфизмы и изоморфизмы

Определение 5. Отображение множества М в множество N – это правило f, по которому каждому элементу m из множества M ставится в соответствие однозначно определенный элемент mf=n из множества N.

Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу G¢ называется отображение j множества G в множество G¢ такое, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (1)

В качестве примера рассмотрим группу C3V и группу {-1}2, состоящую всего из двух элементов {-1}2={-1, 1}.

Построим отображение j группы C3V в группу {-1}2 (записываем это в виде j: C3V®{-1}2) по следующему правилу: элементам Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сопоставим 1, а элементам Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.сопоставим -1. Отображение j построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}2 есть три прообраза, т. е. три элемента группы C3V, образом каждого из которых является 1: у элемента –1 также три прообраза – это не запрещено определением отображения.

Покажем теперь, что j есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C3V видно, что произведение любых двух элементов множества C3={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.} принадлежит этому же множеству, в то же время Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Из этой таблицы видно, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C3, но с другой стороны, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Наконец, произведения Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., с другой стороны Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Таким образом для любых двух операций симметрии Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. из множества C3V получаем, что Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., где Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. есть 1 или –1, т. е. отображение j, действительно есть гомоморфизм.

Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.

Определение 8. Две группы G и G¢ называются изоморфными (обозначение G@G¢), если существует взаимно однозначное отображение q группы G на группу G¢ такое, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. (2)

Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.

Определение 9. Если группа G содержит конечное число элементов, то число n элементов группы называется порядком группы и обозначается n=|G|.

Например, |C3V|=6; |{-1}2|=2.

Определение 10. Группа называется абелевой или коммутативной, если для всех элементов a и b этой группы выполняется равенство ab=ba.

Так, группа {-1}2 является абелевой, а группа C3V не абелева.

Теорема 2. Если две конечные группы G и G¢ изоморфны, то их порядки равны.

Теорема 3. Если G – абелева группа и G@G¢, то и G¢ - абелева группа.

Теорема 4. Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе перестановок и некоторой группе матриц.

Приведем пример. Пронумеруем элементы группы C3V в виде Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=1; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=2; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=3; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=4; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=5; Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=6. Используя таблицу Кэли группы C3V, запишем

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Далее, Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. получим, используя правило умножения перестановок. Ясно, что

Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

Аналогично получаем остальные четыре перестановки искомой группы: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Мы получили другое выражение группы C3V: ее представление в виде группы перестановок.

1.3 Классы смежности и классы сопряженных элементов

Пусть G – группа, H – ее подгруппа.

Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g – фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.

Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g – представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egÎHg.

Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:

Hg1+Hg2+…+Hgm=G (3)

Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.

Рассмотрим пример. В группе C3V выберем подгруппу {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и по таблице Кэли группы C3V найдем второй правый смежный класс {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}. Элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}. Таким образом, правостороннее разложение группы C3V по подгруппе {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2 имеет вид

C3V={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}+{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}+{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}. (4)

Аналогично левостороннее разложение группы C3V по подгруппе {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2 имеет вид

C3V={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}+{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}+{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.,Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}. (5)

Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.

Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C3V, имеющие приведенные порядки – это подгруппы {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}, {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}, {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}3={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.} и сама C3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.

Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство

a=x-1bx (6)

Например, в группе C3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.-1Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., поэтом элементы Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сопряжены с помощью элемента Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле..

С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg1, Kg2, …, Kgt все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде

Kg1+ Kg2+ …+ Kgt=K1+K2+…+Kt=G, (7)

где Kgi=Ki; i=1, 2, …, t – непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Найдем эти классы для группы C3V. Очевидно, что единица Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Обозначим этот класс R1. Второй класс сопряженных элементов – это {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}, поскольку Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. не сопряжено с Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}, в итоге

C3V= K1+K2+K3={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}+{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}+{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.} (8)

1.4 Факторизация групп

Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.

Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n – множество N.

Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.

Рассмотрим примеры. В группе C3V перемножим подгруппы {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}3 и {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2. Используя таблицу Кэли для C3V, получаем, что C3V факторизуема: C3V={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}3 {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2. По таблице Кэли группы C3V находим {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}. Но это не подгруппа группы C3V. Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2¹{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2. Действительно, перемножая, получим

{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}.

Определение 2. Группа G называется прямым произведением подгруппы А и В, если элементы подгрупп А и В перестановочны: ab=ba, "aÎA, "bÎB и каждый элемент gÎАВ однозначно представляется в виде произведения g=ab. Обозначается прямое произведение подгруппы как G=A´B.

Определение 3. Подгруппа Н группы G называется циклической, порожденной элементом h, если все ее элементы являются степенями элемента h. Если же сама группа G совпадает со своей циклической подгруппой, то она называется циклической группой.

Элементом симметрии называется вспомогательный геометрический образ, характеризующий циклическую группу преобразования симметрии.

Теорема 2. Каждая конечная абелева группа G является прямым произведением конечных циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.

Определение 4. Множество элементов a, b, c… группы G называется системой образующих групп G, если каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения степеней элементов указанного множества

akblcm…=g.

Например, для циклической группы {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}3 образующим элементом или генератором группы является элемент Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. У группы C3V два образующих элемента: Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле., в чем можно убедиться, рассматривая факторизацию C3V={Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}3´{Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}2.

Определение 5. Соотношения вида

apbqcr…=e,

связывающие образующие элементы группы G, называются ее определяющими соотношениями.

Совокупность всех образующих элементов и определяющих соотношений, полностью описывающих группу, называется генетическим кодом группы.

Например, группа {Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.}3 задается одним образующим элементом Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и одним определяющим соотношением Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.=Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле.. Группа C3V задается двумя образующими Рисунок убран из работы и доступен только в оригинальном файле. и Здесь опубликована для ознакомления часть дипломной работы "Теория симметрии молекул". Эта работа найдена в открытых источниках Интернет. А это значит, что если попытаться её защитить, то она 100% не пройдёт проверку российских ВУЗов на плагиат и её не примет ваш руководитель дипломной работы!
Если у вас нет возможности самостоятельно написать дипломную - закажите её написание опытному автору»


Просмотров: 805

Другие дипломные работы по специальности "Химия":

Исследование фазовых эффектов в бинарных азеотропных смесях

Смотреть работу >>

Исследование физико-химических и прикладных свойств новых полимерных композиционных материалов на основе слоистых силикатов и полиэлектролитов

Смотреть работу >>

Методы разделения азеотропных смесей

Смотреть работу >>

Химический язык

Смотреть работу >>

Моделирование газофазных процессов, протекающих при гетерогенно-каталитическом восстановлении оксидов азота

Смотреть работу >>